凸顯工具價值,滲透研究意識*
——以人教A 版新教材“用向量法探究三角形性質”教學為例

四川省成都市第七中學(610041) 羅文力 尹軒睿 楊 力

1 引言

《普通高中數學課程標準2017 年版(2020 年修訂)》中指出: 進一步精選了學科內容,重視以學科大概念為核心,使課程內容結構化,以主題為引領,使課程內容情境化,促進學科核心素養的落實.由此,可以看出,數學學科本身的知識結構化、方法普適性是新教學中落實學科核心素養的關鍵.數學探究能夠很好的將數學課程的結構化和情境化落實到位.故此,《課程標準》中對教材編寫意見中指出: 數學建模活動與數學探究活動是數學內容的主線之一.這條主線不僅能夠幫助學生更好地掌握知識技能,更能幫助學生學會數學地思考和實踐,是學生形成和發展數學學科核心素養的有效載體.

向量既是代數研究對象,也是幾何研究對象,是溝通幾何與代數的橋梁.向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數學問題的基本工具, 是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎,在解決實際問題中發揮重要作用.“用向量法探究三角形性質”是人教A 版2019 年版新教材與舊教材相比增加的板塊.這個板塊的增加,從課程標準的視角來看,回應了課標中從“基本知識、基本技能”的雙基到“基本知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經驗”四基,印證了新課程教學更應注重數學探究活動等理念;從知識方法層面來看,凸顯了向量作為現代數學的重要工具,用向量工具探索數學問題的研究意識.然而對于數學探究活動課程而言,不同的學生能力水平有一定的差異性,在實施任務和要求上應該設定彈性的標準,讓不同學生在數學探究活動中得到不同的參與體驗,獲得不同層次的發展.

2 教學實施設計

(一)教材分析

本節課選自人教A 版(2019 年版)高中數學必修第二冊第六章數學探究: 用向量法研究三角形的性質第二課時.在第一課時中我們已用向量法分析過三角形中三線共點的特殊性質,明確向量的作用,體會向量的先進性.本節課主要是中期匯報,流程為分小組展示發現、提出問題的脈絡,分享交流、開拓思路,完善論證過程.

(二)學情分析

從知識層面來看,學生已學向量、三角形等相關基礎知識,對于本節課的公式推導與結論發現具有積極的作用;

從能力上來看,作為高一下期的學生,對于發現問題、解決問題的能力還有待加強,這使得數學探究程序的抽象概括環節需要進行難點突破;

(三)教學目標

1.通過展示與交流學生小組探究成果,分享體會問題發現、提出的過程,相互借鑒和學習,積累用向量法“研究一個幾何對象”經驗;

2.能通過質疑、辯論、評價,梳理出發現和提出問題的脈絡,為進一步的探究奠基;

達成上述目標的標志是:

(1)能用向量語言恰當表達、證明自己發現的結論,能依據平面向量基本定理選擇恰當的基底表示三角形中的幾何元素,對三角形的一些要素關系提出量化表達猜想,并通過向量運算證明或證偽;

(2)能清楚表達探究成果的形成過程,能用自己的語言闡釋向量方法的主要特征,能撰寫較為規范的研究報告,并對結果做出自我評價;

(四)教學重點

展示本組探究問題的發現與提出過程.

(五)教學難點

梳理發現、提出問題的脈絡,形成一以貫之的探究與發現的路徑.

(六)教學策略與媒體分析

啟發式教學、合作探究式學習、多媒體、ppt、幾何畫板.

(七)教學過程

1.復習引入

教師提問: 昨天我們從三角形的四心入手,學習了什么知識內容與思想方法?

學生回答:

知識內容: 三角形的三條中線共點、三條垂線共點; 外心、重心、垂心三點共線(未證明)……都使用了向量這一工具.

思想方法: 三線共點問題可以轉化為三點共線問題;合情推理(大膽猜測,大膽驗證)……

教師提問: 回憶證明重心與垂心三線共點的中心思想.

學生回答:

設計意圖 通過復習,幫助學生梳理知識框架與思想方法,教會學生掌握用向量法研究三角形性質的一般方法,讓學生嘗試著去尋找問題,引導學生學會將自己提出的有關三角形性質的問題用向量法解決,進一步培養學生提出問題解決問題的能力.

2.學生展示

三角形的豐富性質蘊涵在“邊與角、頂點與邊、特殊的點與邊、點與線、線與線等要素之間”,于是我們把主要研究對象確定為上述幾何量.通過觀察它們之間的聯系,采用一般化、特殊化、類比等方法發現值得研究的問題.教科書中論證了勾股定理,我們可以把三角形的形狀一般化并探究出余弦定理;上節課我們論證了三條中線交于一點即重心,三條垂線交于一點即垂心等, 我們可以類比研究角平分線與內心,中垂線與外心……因此我們把主要研究路徑確定為“類比,特殊——一般——特殊”.

追問1: 如果把中點一般化呢?

追問2: 如果是角平分線,是否能求長度呢?

追問1: 是否能把λ量化呢?

追問2: 聯系中線與角平分線的軌跡,是否垂線與中垂線也有類似的表達式呢?

學生成果3 “奔馳定理”: 在?ABC內任意一點P,

追問1: 如果點P在三角形外部呢?

追問2:“奔馳定理”有沒有什么應用?

學生成果4 “奔馳定理”的應用,銳角三角形的外心、垂心的向量形式:

追問1: 如果不是銳角三角形還有相同的結論么?

追問2:“奔馳定理”還有沒有什么應用?

預設成果5 “歐拉線”: ?ABC的外心O、重心G、垂心H三點共線,且OG:GH=1:2.

追問1: 三角形還有沒有其他的心?

追問2: 這些心之間有沒有其他的共線? 或者特殊圖形?

設計意圖 數學探究活動不同于常規數學教學,對教師和學生都是一個挑戰.教師認真研究如何開展數學探究活動,理解探究活動是基礎.針對該探究活動的主題,教師梳理清楚三角形性質的層級、向量法的“三步曲”、不同向量運算方法的作用,是推進探究的保障.

3.反思總結

研究價值表述及反思:

上述結論具有完美的統一性,有較強的審美價值.不斷轉化基底,可以獲得向量結論.其中坐標法表示也是選擇單位正交基底的有價值體現.下一步可以沿著向量的數量積運算方向繼續探索,繼續研究三角形的性質.

設計意圖 通過總結,提煉開展用向量法研究三角形性質的經驗,梳理成果,歸納方法,并給予學生精神鼓勵,讓其感受數學探究的樂趣和達到成功的喜悅.以成功激勵成功,以成功激勵興趣.

4.拓廣探索

1.基礎性作業: 改進探究報告,做好結題準備.

2.拓展性作業: 根據課堂上所提出的新的猜想與結論,自選角度再用向量法進行研究.

3 教學設計思考

章建躍博士早就指出,“理解數學,理解學生,理解教學”是教師專業化發展的基石,也是提高數學教學質量的根本保證.在此基礎上,他又根據課程改革的新發展,增加了“理解技術,理解評價”等要素.下面我們從“五個理解”的視角對本堂數學探究課進行簡單探討分析.

從理解數學的角度看,本節課的核心是用向量法探究三角形的性質,充分體現了向量的工具價值.在數學中,向量是溝通數與形的橋梁,在現代數學發展體系中,向量也具有十分廣泛的應用,本節課的定位符合當前數學學科發展的實際,引導學生用數學工具解決數學學科內部問題的意識,培養學生學以致用的能力.同時,學生所得到的結論也可以作為今后研究其余數學問題的基礎,為學生今后的研究奠定了知識基礎.

從理解教學的角度看,《普通高中育人方式改革指導意見》、《普通高中數學課程標準2017 年版(2020 年修訂)》等多個文件中均指出,高中課堂教學應根據實際需要采取啟發式、探究式、體驗式的教學方式,促進學生的深度體驗,積淀學生的數學基本活動經驗,本課按照新教材的設計思路,以數學探究的形式展開教學活動,能夠更好地讓學生參與到課堂中,課堂上學生的展示分享、師生間的交流對話、教師對于學生的不斷追問都讓學生全身心的參與課堂,學生在動腦動手中進入深度學習,讓學生的學習真實發生.

從理解學生的角度看,執教老師充分考慮學情特點,學生在此之前已學平面向量等相關數學知識、在學校的研究性學習課程中,學生已明白基本的研究性學習的環節,這使得這樣的學習方式能夠推行.同時,執教班級的數學功底扎實、表達能力較好,這使得課下的探究任務的質與量能夠得到保障,課堂上的展示交流具有一定的研究性.

從理解技術的角度看,新課程強調數學日常教學和信息技術的深度融合.考慮到數學學科的特殊性,信息技術的使用不僅可以在課堂上在解決問題、課堂評價反饋中予以使用,在數學發現問題、提出猜想環節也能進行融合.從展示學生的情況來看,個別學生利用幾何畫板發現、驗證自己的猜想,真正實現了用技術解決問題的能力.

從理解評價的角度看,一種教學方式必然倡導一種教學文化,數學教學應該重視學生的綜合發展與主體作用,本堂課不僅從研究性學習的開展環節視角進行呈現,更是考慮到學生在學習過程中,教師對學生的學習成果進行重視,以課堂上展示交流、追問反思等形式對學生的學習開展過程性評價,這種評價促進了學生的對于學習的更進一步渴望,以評價促進學習發生.

4 教學實施的不足

當然在本課的教學過程中,還存在一些可以值得改進的方面:

(1)作為競賽教練的執教老師對于學生發現的數學結論能夠很好地從數學知識的邏輯性和專業性上給與指導,但因教學經驗的不足,在語言上的簡潔性、精準性上還有待加強,同時我們也可以思考,學生在進行作品展示時,除了以投影方式呈現以外,是否可以采用分小組制作ppt 進行交流匯報,更體現研究性學習的規范性.

(2)由于課時限制學生未能將探究的整個過程、探究過程中存在的想法全部呈現出來,對于一些還沒有能夠證明的猜想,教師也應在課下繼續與學生溝通交流點燃學生數學研究的熱情.

5 結語

當今社會,拔尖創新人才的培養是教育急需解決的重要問題.作為培養學生理性思維的數學學科,要想通過數學培育拔尖創新人才,教師應當多在日常教學中給予學生探究的機會、激發學生探究的熱情、引導學生探究的態度、培養學生探究的品質,才能更好地彰顯數學學科的育人價值.