從風向標到羅馬路
——例談反比例函數(shù)的平積比性質(zhì)

華南師范大學附屬黃埔實驗學校(510898) 周健鴻

培養(yǎng)核心素養(yǎng)能力是當下的潮流話題,素養(yǎng)不等同于能力,不可復(fù)制但可嫁接.嫁接的前提是成功的因素已經(jīng)得到了萃取.嫁接的結(jié)果是得到檢驗的被認可的經(jīng)驗?zāi)Ｐ湍軌虺晒Φ囊浦驳讲煌耐寥乐腥?而學生在不同的土壤中運用經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷倪^程就是二次生長的過程,變提供支持的“外援式”模型為實現(xiàn)自身發(fā)展的“內(nèi)生性”系統(tǒng),模型就得到了自我升華與構(gòu)建.本文將著力于總結(jié)反比例的“平積比”性質(zhì),為教育者提供一條經(jīng)驗反哺、自我迭代、共創(chuàng)價值的嬗變之路.希望在這樣的反比例模型迭代中,實現(xiàn)漸進式的創(chuàng)新和螺旋式的上升,在扎扎實實的模型系統(tǒng)生長中,不斷撬動變式轉(zhuǎn)型的杠桿,邁向素養(yǎng)培養(yǎng)的變革新高度.打造反比例函數(shù)“平積比”性質(zhì)圖譜,為真實任務(wù)和深度體驗提供孵化器.

1 反比例函數(shù)的等積性質(zhì)

例1 如圖, 已知點A,B是反比例函數(shù)第一象限圖象上的任意兩點(不重合),連接AB,OA,OB.過點A,B分別作x軸的垂線, 垂足為C,D,AC,OB交于點E.求證:S?AOB=S梯形ABDC.

①方法1: 由反比例函數(shù)k的幾何意義得到S?AOC-S?EOC=S?BOD-S?EOC, ∴S?AOE=S梯形BDCE,∴S?AOE+S?ABE=S梯形BDCE+S?ABE, ∴S?AOB=S梯形ABDC.

②方法2: 由反比例函數(shù)k的幾何意義得到S?AOC=S?BOD,∴SOABD-S?BOD=SOABD-S?AOC,∴S?AOB=S梯形ABDC.

等面積法是初中階段的重要方法,而等積法又分和差構(gòu)造兩大類,若我們定義反比例函數(shù)圖象上的任意兩點A、B與坐標原點O圍成的三角形為反比例懸空三角形,則此懸空三角形的面積與A、B兩點向x、y軸作垂線段圍成的梯形面積相等.上面例1 中往x軸上作的垂線段AC和BD同樣可往y軸上作,結(jié)論相同.

2 反比函數(shù)的比例性質(zhì)

例2 如圖,已知點A,B是反比例函數(shù)第一象限圖象上的任意兩點(不重合),連接AB.過點A作y軸的垂線,過點B作x軸的垂線,垂足分別為E,D,直線AE與BD相交于點G.求證:

如上, 反比例函數(shù)將矩形的長寬兩邊分線段成比例, 我們將其定義為反比例函數(shù)的比例性質(zhì).若連接ED, 我們可以進一步推出?GAB?GED.從而推出∠GAB=∠GED所以就有反比例函數(shù)的平行性質(zhì).

[綜合運用] 如圖, 矩形OABC的頂點A,C分別在y軸、x軸的正半軸上,D為AB的中點, 反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點D,且與BC交于點E,連接OD,OE,DE,若?ODE的面積為6,則k的值為____.

3 反比函數(shù)的平行性質(zhì)

例3 如圖,已知點A,B是反比例函數(shù)第一象限圖象上的任意兩點(不重合),連接AB.過點A作y軸的垂線,過點B作x軸的垂線,垂足分別為E,D,直線AE與BD相交于點G.連接ED,求證:AB//ED.

①方法1: 由上面提到的反比函數(shù)的比例性質(zhì)可以證明?GAB?GED.∴∠GAB=∠GED,∴AB//ED.

②方法2: 借助斜率的算法, 可以求出AB的斜率和ED的斜率,通過證明KAB=KED得到∴AB//ED.

方法1 構(gòu)造正A 字相似后對應(yīng)角相等得平行,下面例子則是8 字相似得平行.

例4 已知點A,B是反比例函數(shù)第一象限圖象上的任意兩點(不重合).如圖,過點A作AA′⊥x軸于點A′,過點B作BB′⊥y軸于點B′,AA′與BB′交于點C, 連接AB,A′B′.求證:AB//A′B′.

[變式1]如圖,若直線AB與x軸交于點M,與y軸交于點N,猜想AN與BM之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

思路: 由例4,可證四邊形ANB′A′和BMA′B′為平行四邊形,∴AN=A′B′=BM.

[變式2]如圖,在變式1 的條件下,連接AO,BO,猜想?AON和?BOM的面積之間的關(guān)系并說明理由.

思路: ?AON和?BOM是等底(AN=BM) 同高(OH)的三角形,∴面積相等.

以例4 為代表的模型是反比例函數(shù)的“平行性質(zhì)”,其有三個“變中不變”特征: ①不管k是正還是負,這個結(jié)論始終成立; ②不管點A和B的位置如何分布(在同一支上或在兩支上),這個結(jié)論始終成立; ③不管如何作垂線,這個結(jié)論始終成立,即可以由A向x軸作垂線、由B向y軸作垂線,也可以由A向y軸作垂線、由B向x軸作垂線.如下圖所示.

4 關(guān)于反比例函數(shù)模型教學的三點思考

4.1 掌控風向標,在坐標軸中眺望教與學的價值

學科育人的坐標軸,橫向成列按照年段遞進,縱向成序按照要素進階,最終形成低、中、高的育人目標.在每一個要素維度中,老師清楚地知道所要抵達的方向,心中有了軸,自然就有了進階的梯,實踐起來更能夠有抓手.我們在教授反比例函數(shù)知識的時候不能只關(guān)注函數(shù)解析式和k 的幾何意義,更應(yīng)該拓寬視野與思路,與幾何圖形融匯貫通,實現(xiàn)代數(shù)幾何的綜合運用的同時也要注重模型的提煉,這樣才有助于學生嫁接問題解決的成功經(jīng)驗、構(gòu)建有自我特性的概念模型.

4.2 把握方向盤,在疾馳攀登中確定教與學的目標

單元教學是當下的熱門概念,一個單元好比是一個課程的細胞.所以要把握這個細胞的關(guān)鍵、結(jié)構(gòu)和核心,建構(gòu)相應(yīng)的學習群,需要以主題任務(wù)為載體,通過情境,內(nèi)容方式,資源的整合形成知識系統(tǒng)、方法系統(tǒng)和思維系統(tǒng).在駕駛疾馳的過程中要牢牢把控方向盤, 設(shè)計好教學目標與梯度題組,借助恰如其分的變式教學將知識系統(tǒng)化,以任務(wù)群、項目組帶動知識的教授與能力的鍛造.

4.3 蹚出羅馬路,在更寬的行走中探索普適路徑

時代的呼喚之下讓教師的角色更加的多元,我們不僅是深諳學科核心素養(yǎng)、掌握深度教學內(nèi)容、靈活開展多種教學方式、組織教學和管理的教學者,而且還要是教學過程的設(shè)計者、學生成長的支持者、思維意識的開拓者、共享發(fā)展的行動者.我們要把教育的本質(zhì)回歸,看到知識與知識之間的彼此關(guān)聯(lián).但教育的路不能只有教師的教與學生的學,反比例函數(shù)的教授同樣也是,尋找合適的模型,尋找更多在日常教育中發(fā)生蝴蝶效應(yīng)的契機,讓學生的學習更加簡單、純粹、有溫度.所以我們需要蹚出一條路,在更寬的行走中尋求教育的本真.

頂峰不是休息的地方,成長的過程就像一條曲線,有起有伏宛如登山.為了保持不斷向上生長的趨勢,就要在最高點消失之前,開啟第二曲線.在尋找第二曲線的路上,需要一次次越過那些由成功鋪設(shè)的陷阱,開辟一條與當前完全不同的新道路,反比例函數(shù)的知識教與學也是如此,需要不斷的探索,不斷的深挖,不斷的融合,不斷的創(chuàng)新.讓反比例函數(shù)的雙曲線圖形二次生長,成為跨越式增長的第二曲線.