結合地域特色的高等數學教學案例

摘?要：近年來，結合地域特色進行教學設計的想法逐漸興起，但專門針對高等數學課程的此類研究很少。本文討論了結合地域特色進行高等數學教學設計的意義及優勢。結合高等數學中的函數、極限、導數、定積分和解析幾何給出了帶有天津特色的具體題目。最后結合所給案例進一步分析了地域特色對教學效果的促進作用，并給出了本文案例設計思想在其他省市的拓展思路。

關鍵詞：高等數學；地域特色；教學案例

高等數學是一門理論性較強的課程，其教學內容是實際問題高度提煉后的結果，為了更好地實現育人效果，本文以天津市為例，給出結合地域特色設計高等數學案例的方法，以此拉近學生距離，理論聯系實際的過程更加順暢。

一、結合地域特色進行高等數學案例設計的優勢

地域文化是中華文化的重要組成部分，具有重要的思想教育價值。天津擁有復雜的歷史，蘊含著大量獨具特色的文化資源，承載著深厚的傳統基因，它們在培育民族特色社會主義文化自信方面發揮著重要作用。在實際教學中，高等數學的理論授課內容過于抽象，要想更好地吸引學生的注意力，需要在授課過程穿插一些實際案例，既能提升教學效果，又能體現數學的實際應用。另一方面，受課時等多種因素影響，為了保證課堂效果，讓學生在學習理論的同時能夠有足夠時間進行題目練習，可能會擠壓具體案例的講解時間，因此需要優化案例的選取及其切入方法。結合地域特色進行教學案例的設計，可以更快速地引起學生的興趣，拉近學生與課程內容的距離，使學生更真切地感受到數學的價值。

二、結合地域特色的高等數學教學案例

本節以天津市為例，結合高等數學課程不同章節知識點，給出幾個結合天津地域特色的高等數學教學案例。

（一）函數表示與空氣質量

在高等數學中，函數的概念有兩個基本要素——定義域和法則，因此函數本質上是一個非常寬泛的概念，并不局限于y=f（x）這種表達式的形式。通過函數定義的教學，除了讓學生掌握基本的概念和性質外，還應讓學生意識到函數不僅是數學中的概念，要把它看成一種工具，它可以不只作用于抽象的變量x，還可以以表格、圖像等形式體現，甚至可以直接將實際生活中的某些數據看成一種函數。因此，可以在函數概念這一小節引入帶有地域特色的實際案例，體現函數的另一種呈現方式。

例1：天津市近年來在環保方面采取了一系列舉措來改善環境質量。例如在減排治污方面，天津市加大了大氣污染治理力度，通過推行清潔能源、減少高污染車輛、加強工業排放管理等措施，有效降低了大氣污染物排放量。在多方面的努力下，天津市近幾年的PM2.5年均濃度如下表，可以看出天津市的空氣質量在近幾年持續提升，說明現行的減排治污方案是有效果的。

上表中的數據也可以看作一個自變量為時間，因變量為PM2.5年均濃度的一個函數，其定義域可看作是D={2017，2018，2019，2020，2021，2022}，對應法則就是不同年份測量出的數據，如規定f（2017）=62等，這樣也可以是一種函數的表現形式，在數學中還可以以這種函數為基礎，對后續年份的空氣質量進行預測。

本案例將天津市的環保成效與函數表示相結合，既體現了函數表示形式的多樣性，讓學生更深入理解函數的思想，又反映了函數思想在實際生活中的廣泛應用，對于學生后續課程的學習有很大的激勵作用。

（二）極限與垃圾處理

極限思想是微積分整個學科的基礎，其定義的完善促進了第二次數學危機的解除，微積分中的導數和積分的概念都是極限形式體現的，因此極限是微積分的重要研究對象。在學習極限時，同學們具有高中階段的學習背景，對極限的運算等有一定的了解，但對于極限的內涵和實踐應用理解得并不深入，因此，在高等數學階段，對學生的教育目標會從為了應試，向培養思維方面傾斜，這就更需要引入一些貼近學生生活的教學案例，帶動學生思考。下面給出一個以城市垃圾處理為背景的極限問題設計思路。

例2：根據官方給出的數據可知，2022年天津市全年生活垃圾產生量432萬噸。現假設城市當前待處理垃圾總量為A，未來每年新增生活垃圾產量和2022年一致，城市每年可處理上一年堆積垃圾的80%，那長此以往，天津市的垃圾能否被完全處理完？

針對上面的問題，2022年末若待處理垃圾量為A0，則按照上述假設；2023年末待處理垃圾量為A1=A0（1-80%）+432；2024年末待處理垃圾A2=A1（1-80%）+432=0.22A+0.2×432+432；以此類推，n年后，城市待處理垃圾為An=0.2nA+432（0.2n-1+0.2n-2+…+0.2+1）。這里An包括兩個部分，第一部分在n→∞時趨近于0，第二部分是一個公比q=0.2<1的等比數列求和，在n→∞時有極限，通過計算可得An→432/（1-0.2）=540萬噸。

按照上述假設，可以得到若干年后，城市垃圾總量并不會減少至0，也不會增加至無限大，而是受垃圾增長速度和垃圾處理能力影響，而穩定在一個固定值。另外這個固定值和城市最初的垃圾積累量無關，減少垃圾產生量，提高垃圾處理能力才是問題的關鍵，這種現象與一些同學最初的設想可能并不一致，這也正是極限的魅力，不管基數有多大，只要趨勢是趨于0的，那經過足夠長時間的演化，就能變得很小，直至無限小。

極限思想是抽象的，但極限的應用是豐富的。類似上述這種以年為單位的迭代過程可以通過極限去預測按當前形勢保持不變，未來會如何發展，這種應用不止存在于垃圾處理上，還可應用于傳染病發展、人口增長等方面。但是如果單純以人口增長為例，難免有些空洞，學生會感覺這種舉例更像是應用題，依舊停留在書本上的內容，將地域特色引入進來既能引起學生興趣，又能增加說服力，讓學生受教育的同時以實際為背景列式并求解極限值，加深了知識點的印象，做到學以致用。

（三）導數應用與大沽口炮臺

導數是微積分中的一個重要概念，具有非常豐富的實際應用，最常見也是學生最容易理解的就是用來描述變速運動的速度和加速度。另外，導數可以用來解決函數的極值和最值問題，這使得它可以應用于很多實踐中的最優化問題。在講解導數時，如果只是引用基本的抽象的變速直線運動的例子，不容易引起學生的興趣，學生也沒有熟悉感，因此可以在學習導數應用時，以天津市的大沽口炮臺為例，讓學生通過題目分析最大射程與發射角度的聯系。

例3：天津的大沽口炮臺作為歷史悠久的早期炮臺，其設計并不完美。在忽略空氣阻力的影響時，炮彈的發射軌跡有其數學規律，若炮彈以初始速度v，初始角度θ發射，它的水平方向速度為vx=vcosθ，垂直方向速度為vy=vsinθ，又受重力加速度影響，炮彈運行時間為t=2vy/g，根據上述條件討論如何發射炮彈能使炮彈射程達到最大值。

綜合以上條件，首先可得炮彈發射距離為L=2v2sinθcosθ/g。在此基礎上，如果想在初始速度不變的情況下達到射程最遠，需要將發射角度θ作為自變量對射程L進行求導，當導數為0時，可解的得θ=45°時射程最遠。另外，如果希望炮彈能夠命中射程內的任意目標，可以通過調整θ值來實現。

通過上面的例子和具體題目，可以引導學生以實際問題為背景計算出最優發射角度θ，并且借此理解現實生活中經常提到的扔東西呈45°角扔的最遠的現象。另外該案例反映出國防科技的重要性和數學之于其他理工科目的重要性，讓學生看到高等數學的實踐應用，如果不以大沽口炮臺做引，可能學生會覺得案例空洞，不容易想到炮臺的真實樣貌；或者教師只以拋物線為題目，讓學生去求極限，即便最終也能得到45°角的最優拋物角度，但其過程難免乏味枯燥。而本案例通過天津特色的歷史遺跡，讓學生真聽真看，真正理解科學習數學的實踐意義。同一個數學結論可以應用于日常拋物，也可以應用于軍事領域，這也是數學這門極度抽象學科的意義所在，通過這個案例也可以讓學生感受數學的魅力，提高學習興趣。

（四）定積分與治水

高等數學的主要內容就是微積分，而微積分分為微分和積分兩大部分。其中微分就是導數，它用來描述事物的變化速度，微分的逆運算即為積分。在學生高中時期，對導數是非常熟悉的，而隨著高等數學課程內容的推進，積分的出現會讓學生有很突然的陌生感。在一般授課過程中，定積分經常會與求面積、求體積這類問題聯系到一起，體現出積分的積累效果，但實際上其應用不止于此。對于實際中的很多變化過程，如曲線斜率、瞬時速度等都可以用導數去描述，而反過來，如果一個變化過程能夠采集到他的變化速度，也可以通過求積分來得到總量的變化。下面給出一個以天津市為背景的，不同于體積面積這類數學形狀的定積分的應用案例。

例4：天津市地處海河下游、九河下梢，人民日常生產活動和河流息息相關。千百年來，海河兒女通過筑堤防、浚河道、開減河和建閘涵等方式取得了輝煌的治水業績。天津境內的著名水閘，歷史悠久者有九宣閘、馬圈閘（洋閘）、耳閘“三老”；重要的入海口防潮閘，有海河防潮閘等。在現代化技術不斷發展的今天，對于日常水位的控制離不開各項指標的精準監測，若想測量河流排入大海的總水量，直接去獲得流水的總體積是不現實的，那要怎么對該數據進行計算呢？

針對該問題，可以通過采集水流速去計算瞬時的流量。假設某段河流的瞬時流速函數為v（t），可以借此得到瞬時流出函數Q（t），如果想測量從t1至t2時刻之間經過該處的總水量，就可以利用定積分的思想，即總水量為Q（t）函數在區間［t1，t2］上的定積分。

上述案例以更貼近學生生活的形式體現了定積分的豐富應用，同時引發學生思考，天津的治水工作離不開幕后的專業技術人員，他們通過各種科學的方法實現實時地監控數據、匯總計算、分析趨勢，保障了我們生活的平穩進行。數學理論及其相關科技的發展在實際生活中的一個重要作用就是為保護人民的生命財產安全提供理論依據。本案例從地域上讓學生有熟悉感，學生在上課時更容易代入進去，通過案例進行思考，理解定積分的本質。

（五）坐標系與水滴體育館

解析幾何是高等數學課程中的一個重要分支，是一種將函數、方程等形式與曲面、曲線這類幾何圖形相結合的學科。在解析幾何中將數與形相聯系的關鍵工具就是坐標系，一般高等數學課程中涉及的解析幾何內容都是以空間直角坐標系為背景進行展開的。由于解析幾何這一部分相對比較獨立，很多內容也是直接將高中的二維平面中的結論直接推廣到三維空間，因此這一部分內容學生學起來相對容易，但是會做題和真正理解并不能完全等同。學習解析幾何的重要意義在于培養學生的空間想象力。例如，空間直角坐標系中關于某個坐標軸或坐標平面對稱的點，其坐標有一定規律性，學生按照規律可以完成相關題目，但如果不知道規律，通過空間想象力找到點所在位置，也應該能得到正確的結果，學生最終的學習目標就是要這樣“知其然，知其所以然”。

為了讓學生更好地理解空間直角坐標系，可以在授課過程中以天津特有的水滴體育館作為切入點。像水滴體育館這樣的大型建筑工程，一定是通過精確的設計后才開始動工的，這其中很大一部分工作是通過電腦軟件建模實現的，在電腦軟件中，設計者們會在軟件中構造一個等比例的體育館模型，而這個模型也要滿足各方面的設計要求及標準，需要精確其多方面的數據，在此坐標系是必須的工具。這種虛擬的設計過程，其實就是在軟件中有一個內在的空間直角坐標系，以這個坐標系的各坐標軸數據作為標尺，在設計中結合其他方面，如受力分析等，最終逐步完成的。

教師在引入上述案例時，可以展示水滴體育館的三維模型圖片，體現解析幾何在實際生活中的具體應用，讓學生認識到提升空間想象力的重要性。相對于其他一般化的案例來說，由于大部分高等數學課程設置中，解析幾何部分屬于大一下半學期的內容，很多同學可能之前去過水滴體育館，再聽這樣的案例時更容易有畫面感，教師也可以通過網絡資料的搜集及水滴體育館三維模型的圖片展示，提問學生，按照這樣的建模方法，設計者將坐標系的原點放在了哪個位置，是體育館的中心還是體育館的一端；如果將體育館地面看作xOy平面，則體育館表面的坐標滿足什么特點，處于哪幾個卦線；若體育館對稱軸取在yOz平面方向，則兩側對稱位置上的點坐標有什么規律等。以一個實際案例為基礎，通過提問，認識教科書上的定義，總結原本教科書上抽象的結論，活躍課堂氣氛。

三、總結

本文結合高等課程具體知識點，給出了五個結合天津地域特色的高等數學教學案例，這些案例不僅豐富了教學內容，還結合了地域特色，以比較新穎的角度展示了知識點的應用價值，使學生對知識點的認識更加豐富，對知識點的理解更加深入。結合地域特色實踐案例不再生硬，教師在課堂上如果持續不斷地輸出知識，學生會感到疲憊，在此期間如果教師偶然說一些個人經歷、自身感悟之類的“題外話”，學生經常會瞬間被吸引。把地域特色融入教學案例中，使得案例內容更接近教師和學生當下的生活，教師可以用類似聊天的形式順利地把知識點的實踐應用展示出來，與傳統“應用題”相比更生動自然。

本文展示的教學案例均以作者所在地天津為出發點，但這些案例也有很大的拓展性。對于函數表示的案例，各個省市的發展都伴隨著各項民生方面的數據，如地區生產總值、農作物產量、創新成果數量等，這些都可以看作是函數的一種表現形式。前文極限部分的案例是從城市垃圾處理的角度引出的，該角度對各個城市都能適用，教師根據自己所在地的政府公開數據，結合極限的問題背景設計對應的案例即可。在導數案例中，雖然其他省市沒有大沽口炮臺這樣的遺址，但很多當地發展數據也可以利用導數去觀察其變化趨勢，另外我國在投標槍和投鉛球等項目上均取得過較為顯著的成績，如果當地有從事這些領域的代表人物，也可以作為一個出發點引出投擲角度最優的問題。定積分如果在聯系實際時沒有類似本文的情況，可以從最基礎的面積出發，校園面積、湖泊面積、著名景點占地面積等，結合當地特點，將定積分與實際地點相結合，也能形成有當地特色的教學案例。在解析幾何方面，各地都存在類似體育館等現代特色建筑，這些建筑在設計之初都是有模型的，都可以作為坐標系的一個實踐應用去展示。

最后，本文中提到的防汛抗洪案例是以當前時事為背景的，更能夠提升案例的真實感。教學設計不能拘泥于某個案例不變，要經常更新，緊跟當下熱點，多了解學生感興趣的內容，才能更好地引起學生的共鳴。在后續的研究過程中，作者還將繼續結合地域特色擴充高等數學教學案例，同時挖掘其可拓展性。

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課題信息：天津市職業教育與成人教育學會、天津職業院校聯合學報課題（XHXB2023B020）

作者簡介：趙文雯（1989—?），女，漢族，天津人，碩士，講師，研究方向：數學教育。