“不等式與不等式組”學(xué)法指導(dǎo)

“不等式與不等式組”包括不等式及其解集、不等式的性質(zhì)等知識(shí)．同學(xué)們可以類比等式學(xué)習(xí)不等式．

一、認(rèn)識(shí)不等式

用不等號(hào)（“l(fā)t;”或“gt;”或“≥”或“≤”或“≠”）表示不等關(guān)系的式子，叫作不等式．

不等式有兩類：

一類是不等式中不含有字母，比如3gt;2，-3lt;-1．另一類是不等式中含有字母，比如x+2gt;3，1/2xlt;5．

含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是l的不等式，叫作一元一次不等式．

我們把使不等式成立的未知數(shù)的值叫作小等式的解，我們可以發(fā)現(xiàn)，一元一次不等式的解有無數(shù)個(gè)，一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個(gè)不等式的解集，像不等式x+2gt;3，當(dāng)xgt;1時(shí)，不等式x+2gt;3總成立：而當(dāng)x=1或xlt;1時(shí)，不等式x+2gt;3不成立．所以我們說xgt;1是x+2gt;3的解集，這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖1所示，在數(shù)軸上表示不等式的解集，由于1不是不等式x+2gt;3的解，所以數(shù)軸上表示1的點(diǎn)的位置應(yīng)畫空心圓圈.

二、解一元一次不等式（組）

求不等式的解集的過程叫作解不等式．

解方程的依據(jù)是等式的性質(zhì)：（1）等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；（2）等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．

類似地，解一元一次不等式要依據(jù)不等式的性質(zhì)：

（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子）．不等號(hào)的方向不變；

（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；

（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，比如3gt;2，兩邊同乘-1．左邊的數(shù)變?yōu)?3．右邊的數(shù)變?yōu)?2，它們的大小關(guān)系與原來左右兩邊數(shù)的大小關(guān)系反過來了，不等號(hào)必須改變方向．

解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程的步驟幾乎相同：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1．需要注意的是：如果不等式的兩邊乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，那么不等號(hào)要改變方向！另外同學(xué)們要養(yǎng)成在數(shù)軸L表示不等式的解集的習(xí)慣，這會(huì)為后續(xù)學(xué)習(xí)不等式組打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

例1 解不等式x+1/6≥x-2/4+1，并在數(shù)軸上表示其解集．

解析：去分母（不等式兩邊同乘12），得2（x+1）≥3（x-2）+12．去括號(hào)，得2x+2≥3x-6+12.移項(xiàng)，得2x-3x≥-6+12-2．合并同類項(xiàng)，得-x≥4．系數(shù)化為1，得x≤-4（根據(jù)不等式的性質(zhì)3，不等式兩邊同乘負(fù)數(shù)-1．不等號(hào)要改變方向）．

這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖2所示．

提醒：解此不等式與解一元一次方程x+1/6=x-2/4+1的步驟大致相同：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1．一定要注意：①去分母時(shí)，不等式兩邊都乘最小公分母12，不要漏乘，②去括號(hào)時(shí)，利用分配律展開，不要漏乘，③移項(xiàng)要注意變號(hào)，④合并同類項(xiàng)要細(xì)心．特別地，系數(shù)化為1時(shí)，不等式兩邊同乘負(fù)數(shù)-1，不等號(hào)要改變方向，⑤在數(shù)軸上表示不等式的解集時(shí)，由于本題中-4是不等式的解，所以數(shù)軸上表示-4的點(diǎn)的位置畫實(shí)心圓點(diǎn)．解不等式時(shí)，每一步都需要小心謹(jǐn)慎！

例2 已知一個(gè)鈍角的大小為（2x-70）°，求x的取值范圍，并在數(shù)軸上表示出來．

提醒：把幾個(gè)含有同一未知數(shù)的一次不等式合起來，組成一個(gè)一元一次不等式組．解一元一次不等式組時(shí)，可以先分別求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再在數(shù)軸上把它們表示出來，然后找到各個(gè)不等式的解集的公共部分，就是不等式組的解集．

解析：解第一個(gè)不等式，得xgt;-l，解第二個(gè)不等式，得xlt;3.

所以原不等式組的解集是-1lt;xlt;3．其在數(shù)軸上的表示如圖4所示．它的所有整數(shù)解有：0，1，2．

提醒：本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，正確解不等式組并在數(shù)軸上表示其解集是解題的關(guān)鍵，畫數(shù)軸有利于同學(xué)們更好地解決問題．

試一試

A.-1

C.xlt;3 D.3

參考答案：D