圓與三角形綜合問題的分析與探究

謝子婧

【摘要】綜合問題的求解是數學學習中的重要環節，需要學生掌握圓的直徑、弦、切線等，以及三角形的角平分線、中位線、高線等性質，在實際求解中，要求學生能夠結合所學知識和方法進行分析和推理.本文對圓與三角形的綜合問題進行分析與探究，并列舉了實例進行講解，分析了其解題思路，以期望通過不斷地練習和思考，幫助學生加深對幾何學的理解，提高解題能力.

【關鍵詞】圓；三角形；綜合問題

1 三角形的內心的應用方法

由于三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，所以在題目中遇到三角形的內心時，連接內心和三角形的頂點就可以得到三角形的角平分線.又由于三角形的內切圓與三角形各邊都相切，所以連接三角形的內心、切點以及頂點可得到直角三角形.另外內心到三邊的距離相等，且等于三角形內切圓的半徑.

例1 如圖1所示，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，交BC于F，連接BD，已知∠ABC=40°，∠C=80°.

（1）求∠CBD的度數；

（2）求證DB=DE.

解 （1）因為∠ABC=40°，∠C=80°，

所以∠BAC=180°－80°－40°=60°.

因為點E是△ABC的內心，

所以∠CAD=∠BAD=12∠BAC=30°，

所以∠CBD=∠CAD=30°.

（2）如圖1所示，連接BE.

因為點E是△ABC的內心，

所以∠1=∠2，∠3=∠4.

因為∠2=∠6，所以∠1=∠6.

因為∠DBE=∠6+∠4=∠1+∠3，

而∠5=∠1+∠3，所以∠DBE=∠5.

所以證得DB=DE.

2 三角形翻滾軌跡與路線長

求解此類三角形翻滾的路線長的問題時，應先理清圖形的運動規律，畫出運動路線，找準每段圓弧所對應的圓心和半徑，再利用弧長公式求出運動的路線長.

例2 如圖2所示，把Rt△ABC的斜邊AB放在直線l上，按順時針方向轉動兩次，使它轉到△A″B′C′的位置，已知BC=1，AC=3.

（1）求點A經過的路線長；

（2）求點A經過的路線與直線l圍成的圖形的面積.

解 由題意知BA=BA′，C′A′=C′A″，以點B為圓心，AB的長為半徑作弧AA′，以點C′為圓心，C′A′的長為半徑作弧A′A″，如圖2所示.

（1）在Rt△ABC中，BC=1，AC=3，

則AB=AC2+BC2=2，則∠CAB=30°，

所以∠ABC=60°，∠A′BC′=60°，

所以∠ABA′=120°，∠A′C′A″=90°.

所以l弧AA′=120π×2180=4π3，

l弧A′A″=90π×3180=3π2，

所以點A經過的路線長為4π3+3π2.

（2）因為

S扇形BAA′=12l弧AA′·AB=12×4π3×2=4π3，

S扇形CA′A″=12l弧A′A″·C′A′

=12×3π2×3=3π4，

S△A′BC′=12×1×3=32.

所以點A經過的路線與直線l圍成的圖形的面積為4π3+3π4+32=25π12+32.

3 切線的性質（判定）定理的應用

運用切線的性質時，常常“作過切點的半徑”構造直角三角形，利用勾股定理求解.判斷一條直線是不是圓的切線時，若已知點在圓上，則“連半徑，證垂直”，否則“作垂直，證半徑”.

例3 如圖3所示，△ABC是圓O的內接三角形，AC是圓O的直徑，已知點D是弧BC的中點，DE與BC平行，且交AC的延長線于點E.

（1）求證：直線DE與圓O相切；

（2）若圓O的直徑為10，∠A=45°，求CE的長.

解 （1）如圖3，連接OD交BC于點F.

因為點D是弧BC的中點，所以OD⊥BC.

因為DE∥BC，所以OD⊥DE.

因為OD是圓O的半徑，所以直線DE與圓O相切.

（2）因為AC是圓O的直徑，且AC=10，

所以∠ABC=90°，OC=OA=12AC=5.

因為OD⊥BC，所以∠OFC=90°，所以OD∥AB.

因為∠BAC=45°，所以∠DOE=45°.

因為∠ODE=90°，所以∠OED=45°，

所以DE=OD=OC=5.

由勾股定理，得OE=52，

所以CE=OE－OC=52－5.

4 結語

圓與三角形是幾何學中常見的形狀，在解決圓與三角形綜合問題時，需要綜合運用幾何知識和數學技巧，如利用圓的直徑、弦、切線等性質來解決與三角形相關的問題，以及利用三角形的角平分線、中位線、高線等性質來解決與圓相關的問題.同時，還會運用到勾股定理、相似三角形性質、圓的面積和周長公式等知識來輔助求解.因此需要多加練習提高解題能力，以及加深對幾何學的理解.

參考文獻：

［1］秦燦燦.圓與三角形的邂逅——對一道教材例題的思考［J］.初中生世界，2023（Z3）.

［2］張國川，任曉紅.解三角形“圓”來如此精彩［J］.福建中學數學，2022（09）.

［3］陳燕萍.圓中相似三角形模型問題的探究［J］.數理天地（初中版），2022（24）.