控制變量法在二次函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用解析

侯立峰

【摘要】在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常會采用控制變量法來探究某一因素對實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響.在數(shù)學(xué)研究中適當(dāng)?shù)匾肟刂谱兞糠梢詭椭鉀Q一些研究的困頓點(diǎn)，便于觀測，促進(jìn)理解，讓思維更具條理性.本文就將結(jié)合具體的教學(xué)案例，解析控制變量法在二次函數(shù)教學(xué)中的具體應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】控制變量法；二次函數(shù)；應(yīng)用解析

1 引言

細(xì)讀人教版教材我們知道在二次函數(shù)這一章節(jié)，教材先是從實(shí)際生活情境中引出各種形式的二次函數(shù)（有不含一次項(xiàng)的、不含常數(shù)項(xiàng)的等），接著對特殊的情形進(jìn)行一般化的處理，歸納出二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）.但是在探究二次函數(shù)圖象和性質(zhì)時教材卻沒有從一般式入手，而是從頂點(diǎn)式進(jìn)行研究，這樣的研究方法其實(shí)是受限于二次函數(shù)圖象的復(fù)雜形式，如果直接從一般式入手，學(xué)生可能無法正確畫圖，更不用談借助函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì).但是這樣的研究脈絡(luò)顯然和一次函數(shù)有所不同，一次函數(shù)在研究時是直接根據(jù)解析式多點(diǎn)畫圖，然后在觀測完圖象特征后，才采取與正比例函數(shù)進(jìn)行融合，從而引出用平移研究函數(shù)圖象的方法，但在二次函數(shù)這里，卻是一開始就用平移法研究一般化的圖象，而不是用多點(diǎn)作圖，這會對學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生沖突，所以“用頂點(diǎn)式研究函數(shù)”的合理性和必要性需要教師在起始課就要闡明，引入控制變量法可以很好地解決這個問題，同時控制變量法也是二次函數(shù)應(yīng)用中的常見分析方法.

2 變中不變，數(shù)形結(jié)合

基于核心素養(yǎng)的要求，我們應(yīng)該在教學(xué)中教會學(xué)生研究數(shù)學(xué)問題的一般套路，以及幫助學(xué)生建立對研究方法科學(xué)性的認(rèn)識.所以“用頂點(diǎn)式研究二次函數(shù)”的合理性和必要性是二次函數(shù)教學(xué)的難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn).我們不妨先讓本章延續(xù)一次函數(shù)的研究思路，用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，但是因?yàn)槎魏瘮?shù)的形式過于多樣，學(xué)生畫圖存在困難，哪怕順利畫出圖象，也難以對所畫出的圖象進(jìn)行分類和歸納，總結(jié)出共性（函數(shù)性質(zhì)）.在一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中，“系數(shù)變量”只有兩個，基于正比例y=kx（k≠0）的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生基本能聯(lián)想到k的正負(fù)影響圖象的增減，至于b影響圖象與y軸的交點(diǎn)位置，也是比較直觀的一種數(shù)形轉(zhuǎn)化，學(xué)生可能會沒有注意到x的次數(shù)對圖象形狀的影響.到了二次函數(shù)，“系數(shù)變量”變成了3個，x的次數(shù)也發(fā)生改變，為確保學(xué)生擁有研究函數(shù)的一般經(jīng)驗(yàn)，按照一次函數(shù)的研究邏輯，我們需要運(yùn)用控制變量法完成以下關(guān)鍵教學(xué)環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)一 類比學(xué)習(xí)

師 面對新類型的函數(shù)，我們將如何進(jìn)行研究？

生 類比于之前學(xué)過的一次函數(shù).

師 你們還記得一次函數(shù)研究的模式嗎？請類比說出二次函數(shù)接下來可能的研究思路.

生1 從最簡單的二次函數(shù)y=x2入手.

生2 研究它的圖象和性質(zhì).

生3 研究a、b、c對函數(shù)圖象的影響.

生4 用它的圖象和性質(zhì)解決一些綜合應(yīng)用問題（比如方程、不等式、幾何圖形、應(yīng)用題等）.

環(huán)節(jié)二 用y=x2做好觀測與記錄

師 我們之前在學(xué)習(xí)畫函數(shù)圖象時畫過y=x2（x>0）的圖象，大家還有印象嗎？我們一起回憶一下（用信息技術(shù)直接呈現(xiàn)作圖過程，幫助學(xué)生回憶）.

師 大家能快速畫出y=x2的圖象嗎？（請學(xué)生到多媒體前，在y=x2（x>0）的表格和圖象基礎(chǔ)上進(jìn)行繪圖補(bǔ)全，方便學(xué)生發(fā)現(xiàn)它軸對稱的特征）.

師 你能描述下這個圖象的特點(diǎn)嗎？（引導(dǎo)學(xué)生類比一次函數(shù)進(jìn)行多角度描述）.

生1 形狀是曲線.

生2 圖象從左往右，先下降再上升（增減性的圖象語言）.

生3 經(jīng)過一、二象限（所處象限）.

生4 原點(diǎn)很特殊，是圖象的最低點(diǎn)（關(guān)注頂點(diǎn)，有別于一次函數(shù)的新特征形式）.

生5 看起來像是軸對稱圖形（有別于一次函數(shù)的新特征形式）.

生6 在y軸左邊，y隨x的增大而減小；在y軸右邊，y隨x的增大而增大（增減性的文字語言）.

師 改變a的值，我們再來畫圖，畫圖過程中請大家觀測上述特征是否有發(fā)生變化？

在這一過程中，教師歸納出二次函數(shù)的形狀（拋物線）、三個要素（開口、頂點(diǎn)、對稱軸）和一個性質(zhì)（軸對稱性質(zhì)）.

師 這里只是畫了很多y=ax2（a≠0）的圖象，那么所有的二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）都有這些特征形式嗎？

生 應(yīng)該是，一次函數(shù)也是這樣，和正比函數(shù)圖象形態(tài)上一樣，正比例是它的特殊情況.那么，可以猜測同一種類型的函數(shù)，圖象形態(tài)上可能會一樣.

師 非常棒的猜想，那你們能猜猜看，為什么二次函數(shù)圖象會是曲線，而不是折線，或者跟一次函數(shù)一樣是直線？

生 可能是自變量的次數(shù)為2造成的.

師 特別好，不過剛才大家所猜測的，還需要畫更多的圖來印證.

師 抓住二次函數(shù)的形態(tài)、要素、軸對稱性就可以很好地繪制二次函數(shù)的圖象.

環(huán)節(jié)三 用控制變量法來探究a、b、c對函數(shù)圖象的影響

師 在觀測y=ax2（a≠0）的圖象時，我們發(fā)現(xiàn)它們開口的方向與大小受a的影響，而它們的對稱軸都是y軸，頂點(diǎn)都是（0，0），不會因?yàn)閍的數(shù)值改變而改變.結(jié)合一次函數(shù)解析式常數(shù)k、b對圖象特征的影響，于是我們就得到猜想：（1）因?yàn)闆]有b、c，所以二次函數(shù)的開口方向和大小只跟a的數(shù)值有關(guān)；（2）因?yàn)閥=ax2（a≠0）的對稱軸都是y軸，頂點(diǎn)都是（0，0），所以二次函數(shù)的對稱軸和頂點(diǎn)和a的數(shù)值無關(guān)，可能跟b、c的數(shù)值有關(guān).這樣的猜想對嗎？

生 不對，這是b=0，c=0的特殊情形，并不能代表其他情形也是這樣.

師 那我們要怎樣做才能得出正確的論斷.

生 我們可以再選幾組b，c取其他值的情形，然后再確定b，c的基礎(chǔ)上，改變a的數(shù)值，來論斷第一個猜想是否正確.

師 特別好的方法，像這樣保持其他因素不變，而觀測一個因素對結(jié)果產(chǎn)生影響的方法叫做控制變量法，我們一起來試試看.

（舉例：y=ax2+x+2，y=ax2－2x+3，分別改變兩個函數(shù)a的數(shù)值.）

師 這樣就能說明二次函數(shù)的開口方向和大小只跟a的數(shù)值有關(guān)嗎？

生 不行，還需要不改變a的數(shù)值，改變b，c的數(shù)值再來看下.

生 需要b，c分開來討論.

（操作一：控制a、b的值不變，改變c的數(shù)值，做多次演示；操作二：控制a、c的值不變，改變b的數(shù)值，做多次演示.用信息技術(shù)演示和結(jié)果對照，幫助學(xué)生理解二次函數(shù)的開口方向和大小跟b，c的數(shù)值無關(guān).）

師 于是我們就可以確定第一個猜想是對的.第二個猜想，大家可以用同樣的方法來驗(yàn)證嗎？

生 其實(shí)在剛才的實(shí)驗(yàn)過程中，我發(fā)現(xiàn)保持b，c的數(shù)值不變，改變a的數(shù)值過程中，二次函數(shù)的對稱軸和頂點(diǎn)的位置也發(fā)生改變，所以這兩個要素跟a的數(shù)值也有關(guān).

師 非常細(xì)心地觀察，其實(shí)在使用控制變量法時，經(jīng)常會得到不止一個結(jié)論.你們還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生1 控制a、b的值不變，改變c的數(shù)值演示過程中，我發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的對稱軸位置不變，但頂點(diǎn)的位置發(fā)生了改變，并且這些二次函數(shù)與y軸交于同一個點(diǎn).

生2 控制a、c的值不變，改變b的數(shù)值演示過程中，我發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的對稱軸和頂點(diǎn)位置都發(fā)生了改變.

師 兩位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)我們可以通過多組控制變量法實(shí)驗(yàn)操作來進(jìn)行驗(yàn)證.總結(jié)一下，我們可以得到這樣的結(jié)論：二次函數(shù)的開口方向和大小只跟a的數(shù)值有關(guān)；二次函數(shù)的對稱軸位置跟a、b的值有關(guān)；二次函數(shù)的頂點(diǎn)位置跟a、b、c都有關(guān)；二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)，只與c的值有關(guān).

環(huán)節(jié)四 論述平移法的合理性

師 因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象特征受多系數(shù)變量的影響，所以用多點(diǎn)作圖法畫二次函數(shù)的圖象難度較大，那我們還可以用什么方法來研究二次函數(shù)的圖象？

生 用平移的方法.

師 你是怎么想到的？

生 一次函數(shù)的圖象就可以看作由正比例函數(shù)y=kx平移得到，二次函數(shù)的圖象也可以看作由y=ax2平移得到.

（注：在得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x－h(huán)）2+k后，還需要把它跟一般式進(jìn)行式子結(jié)構(gòu)的對比，闡明形式上的一致性，從而再次證實(shí)用平移法研究二次函數(shù)圖象的合理性.）

上述的教學(xué)環(huán)節(jié)，通過控制變量的實(shí)驗(yàn)方法，幫助學(xué)生從變中探索不變，從圖象形態(tài)的變化觀測系數(shù)變量的數(shù)值對函數(shù)性質(zhì)的影響，從而讓學(xué)生明白研究函數(shù)的方向是一致的，但是在研究的方式上有的時候需要做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整.

3 簡化思路，尋求突破

為了保證函數(shù)學(xué)習(xí)脈絡(luò)的一致性，我們可以選擇運(yùn)用控制變量法對二次函數(shù)的圖象研究進(jìn)行關(guān)鍵性的鋪墊.同樣，我們還可以把控制變量法運(yùn)用到解決二次函數(shù)的一些實(shí)際應(yīng)用題中，強(qiáng)化學(xué)生對二次函數(shù)模型的認(rèn)識.比如，在圍欄問題中，圍欄的形狀、圍欄的格數(shù)、墻的長度等變量都會對圍欄的面積最值有影響，當(dāng)這些變量在同一道題中出現(xiàn)，學(xué)生不容易找到解題的突破口.那么，我們就可以用控制變量法分解出幾個小問題進(jìn)行逐一的分析.

問題1 如圖1用一段長為30m的籬笆圍成一個矩形養(yǎng)雞場，這個矩形的長、寬各為多少時，養(yǎng)雞場的面積最大？最大面積為多少？

先從最簡單的情形入手，探討在矩形形狀下控制籬笆的總長不變，改變長、寬，如何達(dá)到圍欄的面積最大.這時候圍欄的面積同時受長和寬兩個變量的影響，因?yàn)橹荛L一定，所以導(dǎo)致長寬之間滿足一定的數(shù)量關(guān)系，從而圍欄的面積就可以只受單一變量的影響.接著在不改變所用籬笆長度的情況下，把圍欄的形狀改為圓（如圖2）或者等邊三角形（如圖3），從而討論圖形的形狀這一變量對圍欄面積的影響，顯然，當(dāng)周長一定時，圓和等邊三角形的面積問題中不存在變量，可以通過列簡單的算式進(jìn)行求解.

接下來如果要探討圍欄格數(shù)對圍欄面積的影響，就可以選用矩形形狀的情形進(jìn)行重點(diǎn)分析（圓和等邊三角形可以留給學(xué)生自行探索）.

通過運(yùn)用控制變量法，把綜合的圍欄問題分解成若干個小問題，幫助學(xué)生逐一地進(jìn)行分析，培養(yǎng)學(xué)生更清晰的推理意識和模型觀念.這樣分析問題的方式，可以運(yùn)用到解決多變量的綜合問題中.

隨著數(shù)學(xué)知識的復(fù)雜化、生活化，多因素多變量的情境越來越常見，在教學(xué)中引入控制變量法，是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本要求.控制變量法可以讓問題研究更有著力點(diǎn)，降低問題的抽象程度，讓解決問題的主線更加的明確.所以，不僅要在課堂教學(xué)中傳授給學(xué)生控制變量法的基本實(shí)施經(jīng)驗(yàn)，還要關(guān)注學(xué)生的具體應(yīng)用成效.

參考文獻(xiàn)：

［1］王曉敏.立足課堂 提升能力——以“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué).2023（12）：20-21.

［2］嚴(yán)美芹.二次函數(shù)與實(shí)際問題常見題型梳理分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué).2023（08）：95-96.