不同比例輪軌參數組合下鋼軌磨耗演化及型面優化研究

葛菲元 田宇霄 衛佳 張建棟

摘 要：文章研究實際小半徑曲線上鋼軌磨耗演化規律，設置車輛行駛速度、摩擦系數及車輪踏面類型按比例組合并分析對鋼軌磨耗的影響。運用非均勻有理B樣條曲線（Non Uniform Rational B-Spline，NURBS）構建鋼軌參數化模型，并訓練樣本且基于神經網絡（RBF）代理模型搭建以輪軌接觸斑面積均方根A RMS 和接觸角差Δδ為目標函數的多目標優化模型。研究結果表明：左軌磨耗表現為側磨，且磨耗量與通過總重線性相關；右軌磨耗表現為垂直磨耗，磨耗量也與通過重量呈線性相關；優化型面Opt 1 在接觸斑面積均方根A RMS 和接觸角差Δδ兩方面較原始型面均有所改善，且Opt 1 型面輪軌接觸點分布更均勻，磨耗指數及動力學性能均有較好的改善。

關鍵詞：小半徑曲線；鋼軌磨耗；鋼軌型面優化；輪軌動力學

中圖分類號：U271 文獻標志碼：A*基金項目：甘肅省自然科學基金“碰撞振動系統RBF神經網絡智能優化控制研究”（21JR7RA311）。

作者簡介：葛菲元（1998-），男，碩士在讀，主要研究方向：車輛系統動力學。

0 引言

鋼軌是鐵路運輸的核心部分，鋼軌質量的優劣會直接影響鐵路運營能力的強弱，小半徑曲線段的鋼軌磨耗則是影響鋼軌質量的重要因素。因此，對小半徑曲線鋼軌磨耗演化進行研究并對鋼軌型面優化具有重要的意義。王璞[1]建立了車輛—軌道耦合動力學模型，結合滾動接觸理論和Archard磨損模型，通過數值模擬探究了重載鐵路輪軌磨耗演化過程，建立了磨耗發展預測模型，通過多種工況仿真更好地反映實際運營條件，深入研究了磨耗速率、分布和接觸力等。高雅等[2]將速度設置為符合三角概率分布非均勻速度，使用Archard模型和非Hertz滾動接觸理論預測仿真，建立車輛與軌道相互作用模型，結合B-spline函數平滑更新鋼軌型面，對比分析地鐵B型車在小半徑曲線上通過時的鋼軌磨耗。侯茂銳等[3]基于實測的鋼軌磨耗數據，運用多體動力學理論建立了CRH5型動車組的模型，分析了輪軌摩擦系數、曲線半徑以及軌距加寬對鋼軌磨耗的影響。許玉德等[4]基于非Hertz理論和Archard模型建立了鋼軌磨耗預測模型，提出了解決“毛刺”問題的接觸斑離散網格邊界存在的法向力擴展離散區域的優化算法，并驗證了優化算法的可靠性和準確性。楊光等[5]基于實測輪軌參數建立了貨車—軌道動力學模型，通過動力學仿真研究小半徑曲線上不同磨耗階段的輪軌接觸關系，同時研究了輪軌接觸關系對鋼軌磨耗和滾動接觸疲勞的影響。李星等[6]基于Kik-Piotrowski理論，結合Archard模型，編制鋼軌磨耗預測程序，從曲線半徑、輪軌材料以及摩擦系數3個方面分析了小半徑曲線鋼軌磨耗演變規律及鋼軌滾動接觸疲勞發展。Wang等[7]根據Archard 的材料磨損理論，通過車軌動力學模擬和輪軌滾動接觸分析，研究了高速鐵路輪軌磨損情況，結果顯示圓曲線和過渡段外軌側磨明顯，內軌磨損相對較小，驗證了模型合理性，為維修規劃提供參考。孫宇和翟婉明[8]基于 Braghin 模型及非Hertz理論建立了鋼軌磨耗縱橫向的三維分布計算模型，結果表明鋼軌磨耗速率隨著通過車輛數的增加呈現先減小后增大的規律，并且線路初始運營階段，輪軌橫向力受鋼軌磨耗的影響大于垂向力。Li等[9]利用廣義函數參數化CN60軌道輪廓，約束平整度以滿足最大磨削深度，采用NSGA-II算法優化輪軌垂直間隙和等效圓錐度，并編制了磨耗預測程序，研究發現優化后的軌道輪廓和原始軌道輪廓分別與LMA車輪輪廓相匹配。Wang等[10]基于NURBS理論建立軌道輪廓參數化模型，選擇磨損指數、側向力和接觸應力為目標函數，利用車軌耦合動力學模型和改進的CN-NSGA-II算法進行多目標優化，使用TOPSIS算法選擇最優解并得到優化后的軌道輪廓。分析表明優化后的輪廓能有效降低側向力、接觸應力和磨損。溫士明[11]利用輪軌接觸幾何算法和NURBS曲線構造方法，結合非線性約束優化算法，反求鋼軌打磨目標廓形的設計方法。針對地鐵小半徑曲線問題，優化設計60 kg/m標準型鋼軌，分別進行預防性和修復性打磨設計，并比較分析車輛通過性能。林鳳濤和胡偉豪[12]利用NURBS曲線構造方法，將鋼軌軌頭型面離散化處理，把打磨量和輪軌力定為優化目標，約束其凸函數的特性，提出了鋼軌廓形打磨的方法。利用優化算法求解，并建立輪軌接觸模型和車輛—軌道耦合動力學模型進行計算。林鳳濤等[13]通過設計多段圓弧和半徑等變量的平滑方法，建立鋼軌廓形描述模型，結合車輛—軌道耦合動力學及輪軌接觸分析，設計不同權重系數，建立多目標函數進行磨耗鋼軌打磨廓形優化。優化結果表明斑面積增加，最大Mises應力和最大法向接觸應力均顯著改善，雙打磨設計能有效延長鋼軌使用壽命。毛鑫和沈鋼[14]提出基于直接反推方法的鐵路鋼軌打磨廓形設計，以優化輪徑差函數為核心目標，預期輪軌接觸分布為設計邊界條件，可針對兩股或單股鋼軌設計，滿足不同打磨需求。

基于此，文章結合車輛—軌道耦合動力學模型、Archard材料磨損模型、Hertz垂向理論和Fastrip切向接觸理論，利用MATLAB編制鋼軌磨耗預測程序，從不同比例輪軌參數組合出發，分析鋼軌磨耗演化過程。同時，運用NURBS曲線構建了鋼軌參數化模型，利用最優拉丁超立方試驗設計，基于RBF代理模型搭建了以輪軌接觸斑面積均方根A RMS 和接觸角差Δδ為目標函數的多目標優化模型。

1 鋼軌磨耗預測模型

1.1 車輛動力學模型

文章基于CRH3型動車組車輛模型，車輪型面為S1002CN，車輪直徑為0.92 m，鋼軌選用CN60軌道，軌底坡設置為1/40，軌距為不考慮軌道加寬值的1 435 mm，建立了車輛—軌道耦合動力學模型，其中車輛模型由車體、構架、輪對及軸箱組成。車體、構架及每個輪對有沿縱向、橫向以及垂向的各6個自由度，每個軸向在僅考慮點頭振動的情況下有1個自由度，整個車輛系統共有50個自由度，車輛模型部分參數見表1。

1.2 輪軌接觸斑磨耗分布計算

輪軌接觸斑磨耗分布需按以下幾個步驟計算。

（1）輪軌接觸斑沿y軸平均分為n y 份，之后沿x軸方向分成為n x 個矩形的單元，其中車輪滾動方向與x軸一致，通過以上等分接觸斑內每個離散的矩形單元尺寸大小計算公式為：

式中：a、b分別為等效橢圓接觸斑長半軸、短半軸長度；dx（y）和dy離散的矩形單元的長和寬（沿著坐標軸x和y的方向）；將接觸斑按以上方式在接觸斑中心設置坐標系，x沿車輪行進方向，y垂直車輪行進方向。

（2）計算輪軌法向接觸應力 P（x，y） ，依據Hertz理論[15]計算得到：

式中：N為接觸斑內的法向載荷。

（3）通過輪軌局部接觸模型程序計算接觸斑內黏著-滑動區分布[16]，并計算接觸斑離散單元處的輪軌相對滑動距離 Δs （x，y）。如果接觸斑內的離散矩形單元處于黏著區，離散單元無磨耗損失即 Δs （x，y）=0；如果接觸斑內的離散矩形單元處于滑動區，則：

式中：V 0 為列車運行速度；v（x，y）為接觸斑離散單元內的輪軌相對滑動速度。

（4）通過以上分析計算接觸斑離散矩形單元處所對應的磨耗深度：

綜合式（1）—式（4）得到接觸斑離散單元處磨耗深度的最終表達式如下：

1.3 鋼軌型面磨耗疊加

對于車輛通過的一段特定鋼軌斷面，即車輪與該鋼軌斷面接觸到從該鋼軌斷面結束位置滾出的整個過程，將其劃分為k個時刻，然后分別計算在這k個時刻每一個接觸斑內的磨耗深度，之后進行代數疊加，通過以上方法單個車輪通過鋼軌斷面的磨耗深度便計算得到。

單個轉向架同側4個車輪與鋼軌匹配時通過以上方法分別計算特定區段鋼軌磨耗深度分布并進行代數疊加便可計算出該鋼軌斷面處的磨耗速率，記為c r （y r ）（上標r表示在鋼軌坐標系下，y r 為鋼軌斷面橫向坐標）。

1.4 鋼軌磨耗發展型面更新策略

在建立的鋼軌磨耗預測程序中，將鋼軌磨耗過程視為一個離散過程，即鋼軌磨耗預測過程由n個迭代步組成。在每個迭代子步內，設定鋼軌型面不發生變化，同時設定每個迭代子步內輪軌間動力作用保持不變[17]。在當前迭代子步計算完畢后，更新鋼軌型面后進入下一個迭代子步，如此反復迭代計算即為鋼軌磨耗預測流程，每個迭代子步計算過程如下：

（1）運用動力學仿真和鋼軌磨耗預測程序計算得到左側鋼軌和右側鋼軌的磨耗速率 C rl （y r ）、C rr （y r ），取左側鋼軌和右側鋼軌的磨耗速率最大值作為該迭代步內鋼軌磨耗速率：

（2）根據前面對每個迭代子步的假設，將各個迭子步中鋼軌型面累積磨耗幅值設為ε，則每個迭代子步中車輛通過鋼軌斷面的次數為：

（3）確定每個迭代子步的步長后，即可求算左側軌道和右側軌道中鋼軌型面累積磨耗量：

式中：C rl （y r ）和 C rr （y r ）分別為每個迭代子步中左右側軌道中鋼軌斷面的累積磨耗量（沿鋼軌橫向分布）。

（4）根據各個迭代子步內的鋼軌型面累積磨耗幅值 ε 及左右軌累積磨耗量 C rl （y r ）和 C rr （y r ），達到鋼軌型面更新條件后進入下一個迭代子步計算。

2 不同比例輪軌參數組合下鋼軌磨耗演化

2.1 仿真工況

仿真線路由直線、緩和曲線、圓曲線組合而成，從車輛進入到離開該區段所經歷路段先后為50 m直線段、60 m緩和曲線、長110 m半徑350 m的圓曲線和60 m緩和曲線，外軌超高為0.12 m，軌道加寬0.01 m，軌底坡1/40，鋼軌類型為CN60，標準軌距，均勻軌道。

為探究小半徑曲線鋼軌磨耗演化，并期望仿真工況的設定更接近實際情況，可以對不同運營條件設置不同占比，通過加權疊加的方式得到鋼軌平均磨耗。仿真選取車輛行駛速度、鋼軌摩擦系數和車輪踏面3個參數，表2。

2.2 鋼軌磨耗演化分析

設定鋼軌迭代更新條件為通過該區段重量2 Mt，其計算結果如圖1、圖2所示。

圖1、圖2分別給出了左右鋼軌累積磨耗深度、鋼軌型面磨耗變化結果，從圖分析可知左軌磨耗主要分布在[25，35]mm之間，磨耗最大值集中在位置[34，35]mm內，且位置大于35 mm之后磨耗量銳減；右軌主要為軌頂處的垂磨，分布在[-10，15]mm之間，且磨耗分布比較均勻。

3 鋼軌型面優化

對CN60鋼軌型面進行優化設計，將鋼軌型面坐標離散，采用NURBS曲線擬合鋼軌，將樣條曲線可調權重因子作為設計變量，并對這些因子進行約束用來保證鋼軌輪廓基本不變，以接觸斑面積均方差和接觸角系數作為目標函數，基于代理模型，結合遺傳算法對小半徑曲線段鋼軌輪廓進行雙目標優化設計。

3.1 鋼軌型面優化數學模型

3.1.1 設計變量

圖3為初始及磨耗后的鋼軌型面，左右軌通過重量30 Mt的鋼軌輪廓左側鋼軌側面磨損比較嚴重，右側鋼軌軌頂磨耗嚴重。因此，將鋼軌劃分為固定區和優化區，優化區域選在磨耗較為嚴重的軌頂面和側面，鋼軌型面參數化如圖4。

以固定點A、B為分界點，A、B點之間的區域為優化區，該區域內點S j 的y坐標不變、z坐標可變，兩側的區域為固定區，該區域內坐標點固定不變。通過中間點的z坐標位置變化來控制鋼軌型面，當每給定一組Δz 1 ，Δz 2 ，Δz 3 ， …，Δz n 時，控制點S 1 ， S 2 ， S 3 ，…，S n 的位置對應發生變化，從而得到一組離散的新鋼軌型面坐標，再通過NURBS曲線生成鋼軌型面。

控制點數量N決定著優化精度，數量較少優化精度低，數量過多則會增大計算規模。文章選取N=20，即設計變量數量為20。

3.1.2 約束條件

在鋼軌型面參數化過程中，20個權重因子初始值均為1，權重因子數值的增加可使曲線靠近控制點，反之遠離控制點。權重因子一般非負，且要保證優化后鋼軌型面與原始鋼軌廓形基本一致，基于此確定設計變量取值范圍為[0，2]。

3.1.3 目標函數

優化設計主要針對小半徑曲線鋼軌磨耗較為嚴重的問題，因此優化目的是通過改變鋼軌型面來降低鋼軌磨耗，故選取小半徑曲線路段接觸斑面積的均方根和接觸角差為目標。

A RMS 具體指的是車輛通過小半徑曲線路段過程中留下的所有接觸斑面積的均方根，此參數越大意味著接觸面積越大、接觸越均勻，該目標函數可寫為：

接觸角差與滾動圓半徑差RRD呈反比變化，較小的接觸角差會通過提高蠕滑導向性的方式使得轉向架在曲線上可平滑的轉向，因此該目標的選取可彌補單純使用接觸斑面積均方根作為優化目標的不足。接觸角差目標函數可寫為：

綜上所述，雙目標優化的目標函數為：

3.1.4 RBF代理模型

RBF網絡能夠以任意精度逼近任意連續的函數，在非線性問題研究中具有重要意義。該模型通過確定性系數R2≥0.9來判斷擬合精度是否合格。

3.1.5 NSGA-Ⅱ算法

第二代非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）是應用較為廣泛的多目標優化算法之一，有著收斂性高，分布均勻等優點，算法計算流程如下：

（1）初始參數設定。包括種群規模m、交叉概率p c 、變異概率p n 和代數n；

（2）從抽樣出規模為n的原始種群P t ，經選擇、交叉變異得到子種群Q t ；

（3）合并Q t 和P t 得到個體數為2n的種群，通過非支配序號重新劃分這些個體的類別，得到非劣前沿分層F=（F 1 ，F 2 ，…），同時對每個個體的擁擠距離p[i]d進行計算；

（4）按照p[i]d進行排序，篩選符合要求的個體組成父種群P t+1 ；

（5）經選擇交叉變異操作得到新的子種群Q t+1 ；

3.2 型面優化計算與分析

3.2.1 計算分析流程

結合輪軌接觸理論，選擇觸斑面積的均方根最大化和接觸角差最小化 2 個優化目標，利用最優拉丁超立方方法試驗設計獲得樣本數據，建立小曲線半徑路段接觸斑和接觸角差與鋼軌廓形的RBF 代理模型，利用 NSGA-Ⅱ算法求解雙目標優化。

通過最優拉丁超立方抽樣，對x 1 ，x 2 ，…，x 20 進行抽樣得到多組可調因子，權重因子取值會影響新型面的廓形，將取值區間設為[0，2]，共得到295組合理的權重因子，利用抽樣得到的295組權重因子生成295個新的鋼軌型面，對每個型面，分別利用公式（11）、（12）求得對應的接觸斑面積均方根和接觸角差，并將二者進行標準化，標準化后的結果以及其對應的權重因子構成RBF網絡的訓練樣本，且抽取其中10%作為驗證集，2個指標的確定性系數R 2 為0.91、0.92均大于0.9，且其他3項誤差均在接受水平內，表明該代理模型精度合格，可以應用于后續優化求解計算之中。

使用NSGA-Ⅱ算法進行尋優，初始種群數量設置為120，進化次數200，初始種群與代數的乘積為最終解集的數量，文章采用24 000，交叉概率0.9，分布指數10，變異分布指數20。經初步比較后篩選出乘積值較大的幾組解，經仿真計算可得到最優解，見表3。

3.2.2 鋼軌型面優化結果分析

根據表3權重因子生成新鋼軌型面，記作Opt 1 型面，再選取一個較好的Pareto解生成另一個新型面，記作Opt 2 。2個優化后型面與原始CN60鋼軌型面對比情況如圖5。從圖5可知優化軌Opt 1 、Opt 2 廓形變化區域在鋼軌橫坐標[23，36]mm之間。

將優化型面60軌型面分別計算輪軌接觸狀態如圖 6 所示。圖 6（a）—（c）給出輪軌接觸點分布圖。通過（b）、（c）圖與（a）圖的比較可知，2個優化型面都使得接觸點分布更為均勻，其中Opt 1 型面鋼軌側面的接觸點更為均勻，且分布區域較廣，在車輪橫移量-10～-4 mm過程中，接觸點分布在鋼軌坐標系[10.10，32.45]mm范圍內，而CN60軌在相同車輪橫移量情況下，接觸點分布在[10.240，28.265]mm，同時緩解了軌頂面接觸點分布較為集中的問題，可以減少鋼軌頂面和側面的磨損。Opt 2 型面也減輕了軌頂接觸點集中的問題，但與原始型面接觸點分布區域大小相近，整體效果不如Opt 1 型面。

滾動圓半徑差（RRD）用于評價車輛穩定性和曲通性，RRD越大證明車輛在曲線段曲線通過能力越好。圖7、圖8分別為滾動圓半徑差和等效錐度比較情況。

從圖7可知Opt 1 型面RRD整體大于CN60型面，表明該優化型面利于車輛曲線通過性能的提升，而Opt 2 型面在輪對橫移量 0～9 mm 之間 RRD 略大于CN60型面，但在9～12 mm之間RRD小于原始型面，故優化效果較Opt 1 型面較差。

由圖8可知Opt 1 和Opt 2 型面等效錐度變化幾乎一致。當輪對橫移量小于2 mm時，3個型面等效錐度變化不明顯，橫移量在2～5.24 mm，優化型面等于優化型面，在高于8.06 mm橫移量后，3個型面等效錐度變化趨勢相同，Opt 1 型面等效錐度略高于初始型面和Opt 2 型面。圖9、圖10為優化后型面和初始型面的磨耗指數和接觸斑面積對比。

由圖9可知，Opt 2 型面的磨耗指數整體與原始型面相近，Opt 1 型面磨耗指數整體低于其他2個型面，尤其是在運營時間5～17 s內，且該時間段車輛正好經過前緩和曲線和圓曲線，因此根據磨耗指數可判斷Opt 1 型面有利于減少磨耗。

由圖10可知，Opt 1 型面的輪軌接觸面積有較為明顯的增大，尤其是在5～18 s內，Opt 2 型面接觸斑面積基本與原始相面相近，只在7～9.5 s內有較為明顯的增大。圖11、圖12為通過相同重量下左右軌磨耗深度對比。

隨著總重的增加，左右軌優化后的型面累積磨耗量整體小于初始型面，尤其在鋼軌主要接觸部位，優化后的型面累積磨耗量均小于初始型面。

從以上分析可知Opt 1 型面有利于減少鋼軌磨耗，因此計算分析通過相同總重時磨耗量變化和磨耗后型面變化來驗證優化型面的優劣。

將上述磨耗之后的型面進行一階求導，一階導數的波動性即可反應型面的平滑程度。表4分別為左、右軌型面一階導數。

數據的波動性可通過標準差衡量，左側鋼軌磨損區域在[10～35]，右側鋼軌磨損區為[-20～22]，比較該范圍鋼軌型面一階導數值的標準差即可判斷鋼軌型面的平滑程度。CN60軌型面左、右軌磨損區域一階導數標準分別為0.877 5、0.074 7，Opt 1 型面左、右軌磨損區域一階導數標準分別為0.862 2、0.071 8。分析可知優化后標準差比原來小，因此可判斷優化型面比原始型面更為平滑。在實際中使用優化鋼軌型面時車輛運行更平穩、車輛運行安全性更高。

4 結論

隨著列車通過次數的增加，2股鋼軌磨耗均加重，左軌的磨耗發展速率要高于右軌。左股鋼軌主要磨耗形式為側面磨損，磨耗分布在鋼軌坐標[25，35]mm之間，磨耗最大位置為[34，35]mm；右股鋼軌主要磨損形式為垂直磨損，磨耗分布在[-10，15]mm之間，且磨耗較為均勻。

從建立的優化模型計算結果中選出2個新鋼軌型面Opt 1 和Opt 2 ，其中Opt 1 型面整體優化效果更理想，將其作為優化后的型面。優化后的型面輪軌接觸點分布更為均勻，滾動圓半徑差增大。動力學性能方面，優化后型面安全性指標均滿足國家標準要求，磨耗指數降低7.29%，接觸斑面積增大7.53%，最大接觸應力減小9.31%。

優化后的型面與CN60型面在相同鋼軌服役條件下進行鋼軌磨耗演化對比分析。結果表明：隨列車駛過次數的增加，優化后鋼軌磨耗速率減慢，優化后左股鋼軌磨耗速率減緩了0.92%，右股鋼軌磨耗速率幾乎沒有變化。在通過重量30 Mt時，左軌最大磨耗深度減少了10.45%，右軌2.25%，在通過重量后，優化后的鋼軌磨損型面比優化前更為平順，避免了輪軌接觸點較大的跳躍。

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Study on the Evolution of Rail Wear and Surface Optimization Based on Different Proportional Wheel-Rail Parameter Combinations

GE Feiyuan 1 ， TIAN Yuxiao 2 ，WEI Jia 1 ，ZHANG Jiandong 1

（1.School of Mechanical Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou Gansu 730070，China；2.School of Mechanical and Electronic Control Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China）

Abstract：To study the evolution law of rail wear on actual small radius curves，vehicle traveling speed， friction coefficient， and wheel tread type are set proportionally and the influence on rail wear is analyzed. A parametric mod?el of the rail was constructed by using the Non-uniform Rational B-spline curves and the samples were trained.Based on the Radial Basis Function surrogate model， a multi-objective optimization model with the root mean square area of the wheel-rail contact patch ARMS and the contact angle difference Δδ as the objective functions was established. The results show that：Left rail wear exhibits lateral wear， and the wear amount is linearly related to the total weight passing through; right rail wear shows vertical wear， and the wear amount is also linearly related to the passing weight; the optimized surface Opt 1 has improved in both the root mean square area of the contact patch ARMS and the contact angle difference Δδ compared to the original surface， with a more uniform distribution of wheel-rail contact points on the Opt 1 surface， leading to significant improvements in wear index and dynamic perfor?mance.

Key words：small radius curve; rail wear; rail surface optimization; wheel-rail dynamics