指向學生思維能力生長的數學小實驗開發路徑

張明華

摘 要 數學小實驗開啟了學生動手做、動腦思的新路徑，讓學生在動手操作過程中掌握思考路徑、懂得思考步驟、學會思考方法，賦予學生數學思維力生長的力量。在實驗過程中可以通過問題，在解疑證惑中推進數學小實驗；通過方法，以邏輯推理引領數學小實驗；通過反思，讓理性審視反哺數學小實驗。

關? 鍵? 詞 數學小實驗；教學思維力；數學問題；邏輯推理；理性反思

心理學研究表明：兒童的思維是從動手開始的，切斷活動與思維的聯系，思維就得不到發展[1]。在數學教學中，動手操作是解決數學知識抽象性和學生思維形象性之間矛盾的關鍵要素?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》指出：學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數學的重要方式。數學小實驗作為一種能夠充分體現學生動手操作、探究交流能力的重要學習方式悄然走進小學數學課堂[2]。數學小實驗是讓學生自己動手操作，通過探究、發現、思考、分析和歸納等思維活動，最后獲得概念理解或解決問題的一種教學方式。在數學實驗過程中，學生經歷數學知識的再創造、再發現，感悟數學思想方法，積累數學活動經驗，進而實現數學思維力的生長。

一、提煉問題：讓解疑證惑推進數學小實驗，凸顯有層次的“思”

數學思維力是指用數學觀念思考問題和解決問題的能力，因此，數學問題是發展學生數學思維力的重要載體。數學小實驗活動的開展不是機械的、盲目的，而是具有一定的針對性。教師應以數學問題為引領，使之貫穿整個實驗過程，這不僅能讓數學實驗有的放矢，而且能為學生創造獨立的思考時空，引發學生的實驗期待，點燃學生的實驗興趣，從而積極參與到解決問題的思維活動中[3]。

如蘇教版《數學》四年級下冊第七單元的“多邊形的內角和”，要求學生探索發現多邊形內角和與邊數之間的關系，經歷和體驗探索數學規律的實驗過程。結合該內容，筆者設計了“探索多邊形的內角和”數學小實驗，并以問題為驅動，引導學生通過實驗解疑證惑，體現有層次的思考。

問題1：四年級我們學習了角的度量，測量了不同形狀三角形的內角。隨著三角形形狀的變化，各個內角的度數也隨之發生變化。那么，任意三角形的內角和都是一個固定值嗎？任意多邊形的內角和呢？

在問題的驅動下，學生以小組為單位進行數學實驗，考慮到學生學情，為降低探究難度，筆者進一步結合問題1進行提問，幫助學生細化實驗任務。

問題2：任意三角形的內角和都是180°，四邊形的內角和會是一個固定值嗎？

學生自主實驗，通過拼角和測量的方法，猜測四邊形的內角和是360°，為進一步驗證實驗結果的準確性，學生分享了多種計算方法（如圖1）。

問題3：對以上四種方法進行對比分析，你們能發現什么？

對以上四種方法進行對比分析后發現，求四邊形內角和可以轉化成三角形內角和計算。

問題4：看來，“分一分”是個好方法。你會用這樣的方法繼續探究五邊形、六邊形……的內角和嗎？

學生各自操作、計算和實驗，嘗試運用多種方法將五邊形、六邊形……等分成三角形，再計算多邊形的內角和。接著，筆者繼續提問：從以上的研究中，你們發現多邊形的內角和與什么有關系？是否存在一定的規律呢？

學生按序整理多邊形內角和的情況并填寫在表格中，發現它們的度數都是180的倍數，且分成的三角形個數比邊數少2（見表1）。照這樣，當多邊形的邊數是n時，它的內角和可以表示為（n－2）×180°。

在實驗過程中，筆者以“任意多邊形的內角和是否為固定值”這一問題，引領學生將求多邊形的內角和問題轉化為三角形的內角和加以解決，學生動手操做和數學思考處于挑戰、思考、再挑戰、再思考的螺旋上升過程中，進而促進學生思維的層層深入，教會學生如何思考問題。

二、開展類比：以邏輯推理引領數學小實驗，探索有路徑的“思”

類比是一種嚴謹的邏輯推理論證方法，追求的是過程的嚴謹、結論的可靠，強調的是幫助學生借助熟悉的事物理解新知識。類比包含概念與操作的類比、結論的類比、方法的類比等。小學數學課堂中的數學小實驗是“再發現”的過程，而很多知識和結論對小學生而言，都是未知的，也是陌生的，能否借助已經掌握的知識進行類比推理得到新知識呢？這是數學小實驗探究的一種有效思路。因此，在教學過程中需要教師巧妙地將新舊知識聯系起來，以邏輯推理引領數學小實驗，幫助學生掌握研究問題的一般方法，從而獲得思考、解決問題的一般規律，發展學生思維力[4]。

蘇教版《數學》五年級下冊第六單元“圓面積的計算”要求學生用數方格的方法算出圓的面積。同計算圓的周長類似，度量圓的面積與度量長方形、三角形、平行四邊形的面積有很大不同，學生一開始并沒有明確的度量方法，這就需要他們利用已有的經驗去類比推理、驗證猜想。為此，筆者設計了“圓的面積探索”數學小實驗，引導學生將新舊知識聯系起來探索新知識。

活動一：在回顧探究長方形面積公式方法（構造法：確定基準+平移變換）的基礎上思考：怎樣通過長方形面積公式推導出三角形、平行四邊形、梯形面積公式呢？

通過活動一，引領學生回顧如何利用幾何變換進行二維封閉圖形面積的度量，為類比探究做鋪墊。

活動二：如圖2，假設圓的半徑為1，兩幅圖中的正方形面積是多少？比一比兩幅圖中正方形面積的大小，你能做出怎樣的猜想？

活動二的目的是通過勾通圓與正方形之間的關系，讓學生通過對正方形面積的計算，能夠對圓的面積進行類比推理，產生一個初步的猜想，從而為學生的實驗探究找到一條可行的思考路徑。將圓的半徑設為1，主要是便于學生計算。通過對比計算兩個正方形的面積，學生發現圓的面積應該大于半徑平方的2倍，小于半徑平方的4倍。回顧圓的周長推導方法，學生發現圓的周長大于直徑的2倍，小于直徑的4倍，最后得出圓的周長是直徑的π倍。那么，有部分學生就會類比推理得出：圓的面積與半徑的平方之間也會存在類似的關系。

活動三：如圖3用數方格的方法計算圓的面積，想一想圓的面積與它的半徑之間有什么關系？

學生通過數方格的方式發現：①圓的面積是它半徑平方的3倍多一些；②圓的面積大約等于半徑×半徑×3。但如何驗證呢？學生毫無思路。于是，筆者重點引導學生思考圓的周長公式推導過程中，我們還運用了化曲為直的數學思想方法。那么，在這里大家是否也可以運用化曲為直的方法呢？

活動四：類比圓的周長推導方法，我們先把圓平均分成8份“小三角形”，看一看“小三角形”可以拼成一個什么圖形？如果把圓平均分成16份？32份呢？……拼成的圖形與前面的相比，有什么變化嗎？

面對一個新的問題，借助已有經驗去類比、猜想，這個過程是非常神奇的。我們通過數學小實驗，引領學生通過類比圓的周長探究方式推導圓的面積公式，可以促進學生邏輯思維能力的發展。

三、加強反思：讓理性審視反哺數學小實驗，實現有深度的“思”

反思是一個深度思考的過程，它并不是簡單地回顧自己的錯誤，而是冷靜客觀地審視問題、復盤問題、分析問題，理性審視自己的思維方式和行為模式。數學小實驗是以解決問題為導向的探究性活動，通過反思性學習，可以讓學生主動去觀察比較、尋找規律、歸納應用，從而使學生的數學操作活動成為一種有目標、有策略的主動行為，最重要的是讓學生學會有深度的思考，并養成良好的自我反思習慣[5]。

蘇教版《數學》四年級上冊第八單元“垂線和平行線”的“動手做”部分，要求學生用一幅三角尺拼一拼、畫一畫、量一量，知道三角尺拼出的角的度數。結合該內容，筆者設計了“三角尺拼角”的數學小實驗，將學生的動手操做與反思性問題有機結合起來，引導學生邊操作、邊反思，鞏固對直角、銳角、鈍角的認識，進一步感悟數學中形與數的聯結與轉換。

1.活動一：看一看，一副三角尺有幾個？分別是什么樣的？量一量，每塊三角尺中三個角的度數分別是多少。

學生自主觀察，并用量角器量一量，得出結論：一幅三角尺有兩個，其中一個三角尺的度數為：90°、45°、45°，另一個三角尺的度數為：90°、60°、30°。

2.活動二：用一副三角尺如圖4這樣拼一拼，再說說拼出的角各是多少度？

學生自主拼角，把兩個三角尺像第一幅圖這樣拼，拼出的角是：90°+90°=180° ；把兩個三角尺像第二幅圖這樣拼，拼出的角是：60°+45°=105°。

3.活動三：試一試，如何用一副三角尺拼出直角？

在動手前想一想打算用哪兩個角拼成直角，然后自主拼角，記錄在練習紙上，并與同桌交流，說一說你是怎么拼的，學生在此過程中領悟并獲得“怎樣有序地拼角”的學習經驗。

4.活動四：同桌合作，用一副三角尺拼出銳角和鈍角，并說一說你是怎么想的？

動手前想一想打算用哪兩個角拼成銳角或鈍角，先嘗試拼銳角，然后嘗試拼鈍角，并和同桌交流，說一說你是怎么想的。有的學生把三角板上面的角做加法，畫出30°+45°=75°，45°+60°=105°，30°+90°=120°，45°+90°=135°，60°+90°=150°，90°+90°=180°這幾種不同的角；有的學生把45°角和30°角疊在一起做減法：先畫出45°的角，再在里面畫出一個30°的角，剩下的就是15°的角，45°-30°=15°。學生在有序拼角的基礎上，筆者引導他們通過說一說的形式，不斷反思自己的操作過程。有的提出拼鈍角可以用直角加任意一個銳角，如果選兩個銳角就要選較大的兩個；有的認為銳角和銳角可以拼出銳角，也能拼出直角；還有的將這些畫出的角從小到大進行排列：15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、180°。結果發現這些畫出的角的度數都是15°的倍數。這樣的反思，能讓學生用理性反哺數學小實驗，能讓學生的思維走向深刻，使學生獲得深入研究、深入思考的興趣和動力。

有趣的思考勝過千言萬語的贊美，學習成就高的學生將學習當成一趟有趣的發現之旅。這就是數學小實驗的實踐意義：能讓學生的數學思維從低階邁向高階，真正理解數學本質。只有當學生的數學小實驗與數學理解相互交融，學生的學習才能進入主動的、積極的、自發的狀態，進而有效提升他們的數學思維力，發展數學核心素養。

參考文獻

[1] 徐明旭.從數學語言到數學模型：小學數學的思維進階路徑[J].教育理論與實踐，2023，43（11）：51-54.

[2] 白常平，王圣昌，章勤瓊.經歷知識形成過程? 實現數學深度閱讀——“圓柱容球”的教學實踐與啟示[J].小學數學教師，2023（11）：83-86+26.

[3] 沈利玲.數學思維可視化工具的類型及其應用[J].教學與管理，2020（17）：48-51.

[4] 汪奇.借助教材圖式培育學生數學思維[J].教學與管理，2020（26）：56-57.

[5] 徐志彤.注重類比推理：小學數學課培育創造性思維的嘗試[J].人民教育，2021（07）：66-68.