樓面荷載作用下圓弧形曲梁內力

摘要：采用數學分析方法得出樓面均布荷載在圓弧形曲梁上的分布公式。然后通過積分方法推導出單跨圓弧形曲梁典型部位上的剪力、扭矩和彎矩。進一步運用結構力學方法求出圓弧形曲梁彎矩傳遞系數，利用分層總和法計算包含圓弧形曲梁和直梁的框架在豎向荷載作用下梁柱端部內力。算例分析表明采用上述方法計算出的梁柱內力符合工程精度要求。

關鍵詞：圓弧形曲梁； 框架結構； 樓面荷載； 彎矩傳遞系數； 分層總和法

中圖分類號：TU323.3文獻標志碼：A

0引言

對框架結構的建筑，設計人員通常希望結構體系比較規則，開間和進深相等的等跨結構體系經常采用。但是，有時為追求美觀，轉角處一般做成弧形。在盡量不改變原有結構體系的條件下，通常去掉一個角柱，將原本與該角柱相連的兩根柱子直接用圓弧形曲梁連接。如果曲梁跨度不大，則中間一般不再另設柱子。于是，便形成如圖1所示的結構體系。

此類結構形式總體比較規則，符合抗震的要求，但轉角處的梁和柱內力計算卻比較復雜。到目前為止，現行建筑結構計算手冊缺乏該種結構的內力計算公式，給結構設計帶來一定困難。設計人員要么仍按規則結構體系進行計算，要么憑借經驗進行估算，或借助結構分析軟件進行分析，而沒有一種相對簡便的理論計算方法。

關于曲梁內力的計算，很多業內人士進行了研究。程翔云等［1］提出了一種在均布線荷載作用下將曲梁轉化為直梁的算法，徐皖生等［2］探討了不等跨連續曲梁結構的內力計算，任宜春［3］、董新梅等［4］討論了帶直梁段的單跨圓弧形曲梁在垂直荷載作用下的內力，蔣純志等［5］將傳遞函數方法運用于單跨曲梁的內力和變形計算。葉康生［6］、王佳佳等［7］深入分析了曲梁在彎曲平面內的受力問題。劉志等［8］采用多種有限元軟件對某混凝土弧形梁結構進行了受力分析。由于樓面傳遞到曲梁上的荷載十分不規則，造成曲梁內力狀態相對復雜，迄今為止，關于樓面荷載作用下框架結構中圓弧形曲梁的內力還沒有人研究。本文通過數學和力學推導，給出一種樓面荷載作用下圓弧形曲梁內力的計算方法，以供參考。

1曲梁荷載分布

要計算圓弧形曲梁的內力，首先應計算樓面荷載在圓弧形曲梁上的分布。樓面傳遞到圓弧形曲梁上的荷載，既不是集中力，也不是均布荷載，須通過數學分析確定其分布函數。取圖2所示的梁板單元進行分析。

樓面荷載通常簡化為均布面荷載，設其大小為q，直梁長為l。建立如圖3所示的直角坐標系。根據樓面荷載沿最短路線傳遞到梁上的原則［9］，可以大致確定樓面荷載傳遞的分區曲線如圖3所示。

直線1的方程為式（1）。

y=x（1）

設曲線3的方程為式（2）。

y=f（x）（2）

在曲線上任取一點（x，y），根據樓面苛載的傳遞規則可得如式（3）。

l-x2+y2=y（3）

由上式可得出該曲線的方程為式（4）。

y=l2-x22l（4）

同理可得曲線2的方程為式（5）。

y=l2-2lx（5）

設曲梁上任一點與原點之連線與x軸夾角為θ，則該直線方程為式（6）。

y=tanθ·x（6）

為求解上述直線與曲線3的交點，將上式變形后代入方程（4）中得式（7）。

y=l2-12lcot2θ·y2（7）

求解上述方程得式（8）。

y=cot2θ+1-1cot2θl（8）

進而可得曲梁靠近x軸半段各點的線荷載密度p為式（9）。

p=cot2θ+1-1cot2θql，θ∈0，π4（9）

上式變形后得式（10）。

p=sinθcos2θ+1-1cos2θql，θ∈0，π4（10）

相應可得出曲梁靠近y軸半段各點的線荷載密度見式（11）。

p=cosθsin2θ+1-1sin2θql，θ∈π4，π2（11）

2樓面荷載作用下曲梁內力

求出了樓面荷載在梁上的分布之后，則可以進一步求出相關構件的內力。內力計算簡圖如圖4所示。

2.1曲梁端部剪力

作為對稱結構，在小變形的情況下，曲梁兩端的軸力可忽略不計，剪力、彎矩和扭矩大小相等。采用積分法計算曲梁端部剪力V時，可取半結構進行分析，見式（12）。

V=∫π2π4pldθ=π4+2-2ql2（12）

2.2曲梁端部扭矩

在框架結構中，直梁的扭矩通常忽略不計。但是對曲梁而言，扭矩的值相對較大，不可忽略。同樣取半結構，采用積分方法計算分析曲梁端部扭矩T，見式（13）。

工程結構潘樹華： 樓面荷載作用下圓弧形曲梁內力

T=∫π2π4pl（1-sinθ）ldθ=π4+22-2+ln1+22ql3（13）

2.3曲梁端部彎矩

曲梁的彎矩也沒有統一的計算公式，須采用積分方法進行計算。同樣取半結構計算曲梁端部彎矩M，見式（14）。

M=∫π2π4plcosθldθ=3-322-π4ql3（14）

3彎矩傳遞系數

計算豎向荷載作用下框架結構梁柱的內力，通常采用分層總和法［9］，須計算梁柱的彎矩傳遞系數。對于直梁和柱，彎矩傳遞系數容易確定。對于曲梁的彎矩傳遞系數，須采用結構力學分析方法進行具體研究［10］。

研究曲梁的彎矩傳遞系數，應選取整個曲梁進行分析，并假設曲梁兩端均不能抵抗彎矩，只能抵抗扭矩和剪力。

首先求曲梁在荷載作用下的支反力。解除右側的抗扭約束，代之以扭矩Tr，取曲梁任一點右側截面進行分析，基本體系及其受力圖如圖5所示。

如圖5左圖所示，在曲梁內任一點，由左邊的彎矩Ml導致的彎矩和扭矩分別為式（15）。

ml=Mlsinθ

tl=Ml（1-cosθ）（15）

如圖5右圖所示，在曲梁內任一點，由右邊的扭矩所導致的彎矩和扭矩分別為式（16）。

mr=0

tr=-Tr（16）

綜合采用疊加法和單位荷載法［11］，可求出曲梁右端的的扭轉角φ見式（17）。

φ=∫π20Ml（1-cosθ）ldθ-∫π20TrldθGIP=π2-1Mll-π2TrlGIP（17）

式中：GIP為圓弧形曲梁的抗扭剛度，單位（kN·m2）。

根據曲梁右端的位移協調條件見式（18）。

φ=0（18）

聯解上述兩式可得式（19）。

Tr=1-2πMl（19）

求出曲梁在彎矩Ml作用下右端的扭矩之后，便可進一步利用疊加法求出曲梁在彎矩作用下左右兩端的轉角。

在曲梁左端作用一單位彎矩，則在曲梁內任一點所產生的彎矩和扭矩分別為式（20）。

m=sinθ

t=2π-cosθ（20）

進而可求出曲梁左端的轉角為式（21）。

φl=MlEI∫π20sin2θldθ+MlGIP∫π202π-cosθ2ldθ

=π4EI+π2－84πGIPMll（21）

式中：EI為圓弧形曲梁的抗彎剛度，單位（kN·m2）。

若在曲梁右端作用一單位彎矩，采用同樣的方法，可求得在曲梁內任一點所產生的彎矩和扭矩分別為式（22）。

m=cosθ

t=sinθ-2π（22）

進而可求出曲梁右端的轉角為式（23）。

φr=MlEI∫π20sinθcosθldθ+MlGIP∫π20Ml2π-cosθsinθ-2πldθ

=12EI+4-π2πGIPMll（23）

框架結構中，直梁彎矩傳遞系數為兩端簡支梁一端受彎矩作用時，不受力端和受力端所產生的轉角之比。據此，可求出圓弧形曲梁的彎矩傳遞系數k：

k=φrφl（24）

4算例分析

某3層框架結構平面布置如圖1所示。底層層高為4 500 mm，二、三層層高均為3600 mm。直梁長度全部為6 000 mm。柱截面尺寸均為400 mm×400 mm，直梁、曲梁截面尺寸均為250 mm×600 mm。一、二層恒載為3.0 kN/m2，三層恒載為6.0 kN/m2。

計算出底層柱的線剛度為4.74×105E，二、三層柱的線剛度5.93×105E，直梁的線剛度為7.5×105E。

對于框架梁而言，線剛度可理解為懸壁梁自由端受集中力作用時，固定端彎矩與自由端轉角2倍的比值［12］。據此，求出圓弧形曲梁的線剛度為3.53×105E。

對于混凝土結構，G取0.43E，可算出梁的抗扭剛度GIP為0.50EI。

將以上參數代入上述公式中，便可運用分層總和法計算該框架結構在樓面恒載作用下各梁端的彎矩MJ。在對該框架結構進行手算的同時，采用PKPM軟件中的TAT—8模塊計算出該框架結構在樓面荷載作用下的梁端彎矩MP。此處僅取曲梁端部和緊靠曲梁受影響比較大的直梁端部（如圖1中1、2、3、4四點）的彎矩進行比較，計算及比較結果如表1、表2和表3所示。

從以上計算結果可以看出，采用前述計算方法得出的梁端彎矩與采用PKPM軟件得出的梁端彎矩之間的最大誤差不超過10%，與分層總和法本身的誤差處于同一水平，滿足結構工程的精度要求。

5結論

（1）基于樓面荷載分布原則，通過數學分析，得出了樓面荷載在圓弧形曲梁上的分布公式。

（2）得出了單跨圓弧形曲梁在樓面荷載作用下梁端剪力、扭矩及彎矩的計算公式。

（3）得出了采用分層總和法計算框架結構內力時圓弧形曲梁的彎矩傳遞系數。

（4）在工程設計過程中，對樓面荷載作用下的曲梁內力，設計人員要么憑借經驗進行估算，要么借助于結構分析軟件進行分析。本文給出了一種簡化的理論計算方法，算例分析表明，其結果誤差和分層總和法的誤差處于同一水平，滿足結構工程精度要求。

參考文獻

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［12］潘樹華，劉長武，馬利偉.與圓弧形曲梁連結的框架柱側移剛度［J］.工程建設與設計，2007，12：9-13.

［作者簡介］潘樹華（1982—），男，碩士，審計師，從事建筑結構、工程審計等方面的工作和研究。