以橢圓第二定義為基礎構建焦半徑體系

【摘? 要】? 對比新舊教材可以發現，新教材中對圓錐曲線定義的表述有意識地用第二定義進行統一，特別是拋物線定義的引入，更加驗證了這一點.而且教材中有關焦半徑、焦點弦長的例題、習題仍然隨處可見，特別是已知過焦點的直線的傾斜角，求解焦點弦長問題.由此可見，對橢圓焦半徑公式的坐標形式及傾斜角形式進行研究，發掘焦半徑公式的典型應用，歸納得出一般性結論，在圓錐曲線章節的學習中顯得尤為重要.

【關鍵詞】? 橢圓；第二定義；焦半徑

在平面直角坐標系中，若點M（x，y）與定點F（c，0）（或F′（-c，0））的距離和它到定直線l：x=a2c（或l′：x=-a2c）的距離的比是常數ca（0＜c＜a），則點M的軌跡是一個橢圓，這就是橢圓的第二定義.這里定點F（c，0）是橢圓的一個焦點，直線l：x=a2c稱為相應于焦點F的準線；定點F′（-c，0）是橢圓的另一個焦點，直線l′：x=-a2c稱為相應于焦點F′的準線［1］.

1? 焦半徑公式推導

下面以焦點在x軸的橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）為例，進行焦半徑公式的推導說明.如圖1所示，設點A（x1，y1），B（x2，y2），由橢圓第二定義可知，AF2AH=e，而AH=a2c-x1，所以AF2=a-ex1，同理BF2=a-ex2，AF1=a+ex1，BF1=a+ex2，以上焦半徑的表達式稱為坐標式.形式均為“a±e×橫坐標”，為了方便記憶，口訣為“左加右減”，其中左、右為焦點位置.

圖1? 焦點在x軸的焦半徑推導圖示

可以發現，若線段AB與x軸正半軸夾角為α，也即直線AB的傾斜角為α，則x1=c+AF2·cos α，整理得AF2=b2a1+ecos α，同理BF2=b2a1-ecos α，此焦半徑的表達式［2］稱為傾斜角式，主要與過焦點直線的傾斜角有關.

若焦點在y軸上，推導圖示如圖2，可以仿照以上的推導思路進行，這里推導過程不再贅述.但需注意，若點A（x1，y1），B（x2，y2），此時AF2=a-ey1，同理BF2=a-ey2，AF1=a+ey1，BF1=a+ey2，形式均為“a±e×縱坐標”，為了方便記憶，口訣為“上減下加”，其中上、下為焦點位置.

當然，若線段AB與y軸正半軸夾角為α，可得AF2=b2a1+ecos α，同理BF2=b2a1-ecos α.

圖2? 焦點在y軸的焦半徑推導圖示

注

①無論焦點在x軸或y軸，橢圓焦半徑的傾斜角式表達式，均可以用與過焦點的直線AB與坐標軸正方向的夾角α表示；

②若直線AB過圖1橢圓的左焦點F1或圖2橢圓的下焦點F1，且與坐標軸正方向的夾角為α時，AF1=b2a1-ecos α，BF1=b2a1+ecos α.

2? 焦半徑公式應用

2.1? 利用焦半徑范圍求解離心率范圍

例1? 橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點F，其右準線x=a2c與x軸的交點為P，在橢圓上存在點A滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓的離心率的取值范圍??? .

分析? 由橢圓的焦半徑坐標式可知，AF=a-ex1，又x∈［-a，a］，所以AF∈［a-c，a+c］，進而可以建立不等關系，進行求解.

解? 由題意得知，AF=PF，且PF=a2c-c=b2c，又由分析可知，AF∈［a-c，a+c］，所以a-c≤b2c≤a+c，整理得12≤e≤1，又e∈（0，1），故e∈12，1.

2.2? 利用焦半徑比值求解離心率

例2? 已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且BF=2FD，則C的離心率為??? .

分析? 不妨假設F是橢圓C的右焦點，B是短軸的下端點.設直線BF與x軸正半軸夾角為α，由橢圓的焦半徑傾斜角式可知，DF=b2a1+ecos α，BF=b2a1-ecos α，通過BF=2FD，進而可以建立等量關系式，進行求解.

解? 由題意知，BF=2FD，也即BF=2FD，又DF=b2a1+ecos α，BF=b2a1-ecos α，故2（1-e cos α）=1+ecos α，整理得ecos α=13，又cos α=ca=e，則e2=13，故e=33.

賞析? 由圖1推導出的橢圓的焦半徑傾斜角式可知，AF2=b2a1+ecos α，BF2=b2a1-ecos α，若AF2=λF2B，則AF2=λF2B，整理得ecos α=1-λ1+λ.為了與直線AB過左焦點F1時進行公式統一，則ecos α=±λ-1λ+1.需要注意，當α為銳角時，取正；當α為鈍角時，取負.

進一步分析可知，因為k=tan α，則cos α=±1k2+1，又ecos α=±λ-1λ+1，所以ek2+1=λ-1λ+1.

題目雖老，歷久彌新，因為其蘊含的知識點是不變的，解決路徑是相通的.通過以上結論能夠輕松解決2019年全國Ⅰ卷理科數學第10題，這里不再展開.

2.3? 利用焦點弦長公式推導面積

性質1? 如圖3所示，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），其右焦點F2在線段AB上，則當e∈0，22時，S△OAB∈（0，b2e］；當e∈22，1時，S△OAB∈0，b221-e2.

圖3? 利用焦點弦長求面積圖示

證明? 由橢圓的焦半徑傾斜角式可知，AF2=b2a1+ecos α，BF2=b2a1-ecos α，則AB=AF2+BF2=2b2a1-e2cos2α.作OH⊥AB，在△OHF2中，OH=csin α，所以S△OAB=12×AB×OH=b2esin α1-e2cos2α，而cos2α=1-sin2α，整理得S△OAB=b2esin α1+e2sin2α-e2=b2e1-e2sin α+e2sin α.

由于橢圓具有對稱性，僅討論0＜α≤π2，令t=sin α，則t∈（0，1］.設f（t）=1-e2t+e2t，則f′（t）=e2+（e2-1）1t2，分析可知，t∈（0，1］時，f′（t）單調遞增.令f′（t）=0，此時t0=1-e2e.

若1-e2e≥1，即e∈0，22時，f′（t）≤0恒成立，則f（t）單調遞減，所以S△OAB在t∈（0，1］單調遞增，當t=1時，也即α=π2時，S△OAB最大值為b2e，故S△OAB∈（0，b2e］；

若0＜1-e2e＜1，即e∈22，1時，當t∈（0，t0）時，f′（t）＜0，f（t）單調遞減，當t∈（t0，1］時，f′（t）>0，f（t）單調遞增，則S△OAB在t∈（0，t0）單調遞增，在t∈（t0，1］單調遞減，當t=t0=1-e2e時，sin α=1-e2e，tan α=1-e22e2-1，也即直線AB斜率為1-e22e2-1時，S△OAB取得最大值為b221-e2，故S△OAB∈0，b221-e2.

2.4? 焦半徑公式與角平分線結合

性質2? 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2，若∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），則m∈-c2a，c2a.

證明? 設點P（x0，y0），由橢圓的焦半徑坐標式可知，PF1=a+ex0，PF2=a-ex0.因為PM平分∠F1PF2，由角平分線的性質可知，PF1PF2=MF1MF2，也即a+ex0a-ex0=m+cc-m，整理得m=e2x0，又x0∈（-a，a），故m∈-c2a，c2a.

2.5? 利用焦半徑解決橢圓與數列交匯問題

性質3? 如圖4所示，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點為F，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點，若橢圓C上存在點P（x0，y0），使得AF，PF，BF成等差數列，且FP+FA+FB=0，則k，m，a2，b2需要滿足m2（a2k2+4b2）=（a2k2+b2）2，其中公差d=±bca2k2+b2-m2a2k2+b2.

圖4? 橢圓與等差數列綜合圖示

證明? 設點A（x1，y1），B（x2，y2），由橢圓的焦半徑坐標式可知，AF=a-ex1，PF=a-ex0，BF=a-ex2.因為AF，PF，BF成等差數列，所以2PF=AF+BF，也即x0=x1+x22，又FP+FA+FB=0，轉化為坐標可知，y0=-（y1+y2）.

由此可見，點P坐標與x1+x2，y1+y2有關，聯立直線l：y=kx+m與橢圓C消y得，（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2（m2-b2）=0，則x1+x2=-2a2kma2k2+b2，x1x2=a2（m2-b2）a2k2+b2，y1+y2=2b2ma2k2+b2，所以x0=-a2kma2k2+b2，y0=-2b2ma2k2+b2，則P-a2kma2k2+b2，-2b2ma2k2+b2，又P（x0，y0）在橢圓上，代入得k2m2a2（a2k2+b2）2+4m2b2（a2k2+b2）2=1，整理得m2（a2k2+4b2）=（a2k2+b2）2.

由已知條件不難得出公差d=±e2x1-x2=±e2（x1+x2）2-4x1x2，整理得d=±bca2k2+b2-m2a2k2+b2.

本題目將2018年全國Ⅲ卷理科數學第20題進行了一般性推廣，可以看出橢圓的焦半徑公式在解決和數列知識交匯考查的過程中，具有獨特的優勢.當然以上分析是建立在等差數列的基礎上，等比數列按照此思路也可以進行探究，只是x0滿足的式子為a（x1+x2-2x0）+e（x20-x1x2）=0，顯得更為復雜，一般性結論較難得出，但是可以為出題人提供一定的命題方向.

同時，在此基礎上也進行了創新性思考，如把以上題設條件變為“AF，PF，BF成等差數列，且滿足PA⊥PB”，前面求解過程不再贅述，最終發現k，m，a2，b2，x0，y0需要滿足x0=-a2kma2k2+b2，m=-a2-b2a2+b2（kx0+y0），其中第一個式子保證等差數列成立，第二個式子保證垂直條件成立.

經過驗證，橢圓x29+y22=1，以及點P1，43，是能夠使得存在這樣的直線l：y=kx+m，滿足“AF，PF，BF成等差數列，且滿足PA⊥PB”的，解得k=7±336，m=-35±7322，可以發現數據并不是很完美，但是把問題設置成是否存在這樣的直線滿足上述條件即可.

3? 總結

本文以橢圓的第二定義為基礎構建了焦半徑體系，給出了焦半徑的兩種表示形式，同時呈現了焦半徑公式的五種典型應用，特別是后面的面積及等差數列交匯的部分，既可以幫助學生融會貫通涉及的各個知識點，打開解決問題的思路，又能夠給予教師一定的啟發.

參考文獻

［1］? 人民教育出版社? 課程教材研究所? 中學數學課程教材研究開發中心．普通高中教科書數學選擇性必修第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2020：117.

［2］? 彭世金.與橢圓焦點弦長相關的幾個結論及應用［J］.數學通訊，2009（04）：31-32.

作者簡介

谷紅亮（1991—），男，漢族，河南省駐馬店人，本科，中學二級教師;從事高中數學教學研究.