對平行線中“拐點”問題的探索與思考

劉夏天

在學習平行線相關性質時，我發現有一類題目經常出現。在平行線之間或者外部添加一個“拐點”，將這個點與兩條平行線上的點連接，會出現很多角，這些角區別于我們所學的同位角、內錯角與同旁內角，但它們之間又有一定的潛在關系。因此，我想將這些關系整理下來，與大家分享。

類型1 已知，如圖1，AB∥ED，求∠ABC、∠BCD、∠CDE 三個角之間的數量關系。

該類型與上一篇文章《平行線中的魔法》的問題1是一樣的。拐點C 在兩條平行線之間，我們可以過點C，構造AB、ED 的平行線CF，如圖2，使∠BCD 分成∠BCF 與∠FCD，隨后可以發現∠BCF、∠FCD 分別與∠ABC、∠CDE 是內錯角的關系，利用平行線的性質，可以得到∠BCD=∠BCF+∠FCD=∠ABC+∠CDE。

類型2 已知，如圖3，AB∥ED，求∠ABC、∠BCD、∠CDE 三個角之間的數量關系。

該類型中，拐點C 也在兩條平行線之間，但點B、C、D 之間的位置關系與類型1稍微有些不同，我們仍然可以用類型1的方法，過點C 構造平行線FC，如圖4，但此時∠BCF、∠FCD 分別與∠ABC、∠CDE 是同旁內角的關系，可以得到∠BCF+ ∠ABC=180° ，∠FCD+ ∠CDE=180° 。因此，∠ABC+ ∠BCD+ ∠CDE=∠ABC+∠BCF+∠FCD+∠CDE=180°+180°=360°。

類型3 已知，如圖5，AB∥ED，求∠ABC、∠BCD、∠CDE 三個角之間的數量關系。

該類型中，拐點C 在兩條平行線之外，當然，我們也可以用類型1與類型2的方法，作平行線來解決，但我認為有更簡單的方法。此圖形中有一個現成的三角形，不妨設AB 與CD 的交點為點F，利用平行線的性質，可得∠CDE=∠CFA，而∠CFA 又是△CFB 的外角，可以得到∠CFA= ∠ABC+ ∠BCD，因此，∠CDE=∠ABC+∠BCD。

以上三個類型的基本題型，就是我通過對平行線中“拐點”問題的探索與思考后，整理出來的。經過這番整理與總結，我感覺自己對這類題目有了更深的理解。

教師點評

在學習幾何的過程中，對問題進行總結與提煉，并歸納成基本題型，是對大家抽象思維和概括能力的鍛煉，也能讓大家在做題時有更靈活的思維。期待同學們能夠在練習的過程中發現更多的基本圖形，并能夠自我創新，對基本題型進行改編，進一步提升數學素養。

（指導教師：許歆余）