一階混合整數值負二項自回歸模型

摘要： 考慮復雜整數值時間序列數據的建模問題. 首先， 提出一類一階混合整數值負二項自回歸模型， 并證明該模型的嚴平穩遍歷性， 討論該模型的轉移概率、 期望、

方差等概率統計性質； 其次， 研究該模型的最大似然估計問題， 得到了估計量的漸近正態性， 并在數值模擬的基礎上進行實證分析. 實證分析結果表明， 該模型在擬合毒品犯罪次數數據時性能良好.

關鍵詞： 整數值時間序列; 混合負二項自回歸模型; 平穩性; 極大似然估計

中圖分類號： O212" 文獻標志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）03-0547-09

First-Order Mixed Integer-Valued Negative Binomial Autoregressive Models

LI Han1， LIAN Cheng1， FANG Yinfang1， YANG Kai2

（1. School of Mathematics and Statistics， Changchun University， Changchun 130022， China;2. School of Mathematics and Statistics， Changc

hun University of Technology， Changchun 130012， China）

Abstract： We considered the modeling problem of complex integer-valued time series data. Firstly， we" proposed a" class of first-order mixed integer-va

lued negative binomial autoregressive models， proved the strict stationary and ergodicity of the model， and discussed the probabilistic and statistical properties of th

e model such as transition probability， expectation， variance， etc. Secondly， we studied the" maximum likelihood estimation problem of the model， obtained the asymptotic normality o

f the estimator， and conducted empirical analysis on the basis of numerical simulations. The empirical analysis results show that the model performs well in fitting the drug offense count data.

Keywords： integer-valued time series; mixed negative binomial autoregressive model; stationarity; maximum likelihood estimation

收稿日期： 2023-08-20.

第一作者簡介： 李" 晗（1988—）， 女， 蒙古族， 博士， 講師， 從事時間序列分析的研究， E-mail： lihanccu@163.com

. 通信作者簡介： 楊" 凱（1984—）， 男， 漢族， 博士， 副教授， 從事時間序列分析的研究， E-mail： yangkai@ccut.edu.cn.

基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 11901053）、 吉林省自然科學基金（批準號： YDZJ202301ZYTS393）和吉林省教育廳科學研究項目（批準號： JJKH20230665KJ）.

0" 引" 言

整數值時間序列是由某種現象的某一統計指標在不同時間上的狀態形成的相依計數數據， 這類數據廣泛應用于通訊保障、 醫療衛生、 保險精算等領域.

自Al-Osh等［1］提出整數值自回歸（INAR）模型以來， 對這類數據的建模和推斷研究備受關注［2-8］. Du等［2］將INAR（1）模型進行了推廣， 提出了p階整數值自回歸模型， 即I

NAR（p）模型. INAR（p）模型是基于二項稀疏算子［3］建立的， 在許多實際問題中具有較強的解釋性. Neal等［4］和張哲等［5］先后研究了這類模型

的估計問題. 二項稀疏算子“”定義如下：

αX=∑Xj=1Bj，Xgt;0，0，X=0，（1）

其中α∈［0，1）， X是非負整數值隨機變量， {Bi}是以α為參數的獨立同分布（i.i.d.）的Bernoulli隨機變量序列， 并且獨立于X， 滿足

P（Bi=1）=1-P（Bi=0）=α.

在式（1）中， 求和序列{Bi}只能取值0或1， 使得αX的取值總是小于等于X. 在有些實際數據中，" 二項稀疏算子可能不合適， 一個最典型的例子是傳染病數據.

若Xt表示t時刻某種傳染疾病的人數， 則二項稀疏算子“”不再適用. 因為在t-1時刻至t時刻， 病人可能將病毒傳染給不止一個人. 為解決上述問題， Ri

stic＇等［6］定義了一種新的算子， 即負二項稀疏算子， 并基于該算子建立了一類以幾何分布為邊際分布的一階整數值自回歸（

NGINAR（1））模型. 相對于Poisson INAR（1）模型， NGINAR（1）模型更適合擬合具有過渡離散特征的數據. 文獻［9＼|11］進一步考慮了對二項稀疏算子的改進方法和建模問題.

實際應用中有許多整數值時間序列數據， 呈現出多峰、 非對稱、 過渡離散等特征［12］. 上述整數值時間序列模型的模型結構過于單一， 無法滿足具有多峰、 非對稱等復雜

特征的整數值時間序列的建模需求. 而解決該問題的有效方法是考慮用混合模型的思想對數據進行建模. 例如： Ristic＇等［13］

基于兩個稀疏算子建立了具有不同邊際分布的一階和高階混合整數值自回歸模型； Li等［14］基于廣義冪級數稀疏算子提出了一類零堆積混合整數自回歸模型；

Zhang等［15］基于一類相依稀疏算子提出了混合廣義二項自回歸模型. 本文將基于負二項稀疏算子提出一類一階混合整數值負二項自回歸模型， 研究模型的性質和參數估計等問題， 并討論其在實際數據中的應用.

1" 模型的定義和性質

1.1" 模型的建立

定義1" 取值于非負整數集上的隨機變量序列{Xt}稱為一階混合整數值負二項自回歸模型（記作MNBINAR（1）模型）， 若其滿足：

Xt=α1*Xt-1+ε1，t，w.p. p，α2*Xt-1+ε2，t，w.p. 1-p，（2）

其中： w.p.表示以某概率取值； αi∈［0，1）， i=1，2； p是混合概率， 為確保模型的可識別性， p∈［0.5，1］［16-17］； “*”是負二項稀疏算子［6］， 定義為

α*X=∑Xj=1Wj，Xgt;0，0，X=0，

這里Wj是獨立同分布的、 參數為α1+α的幾何分布隨機變量序列， 且與X獨立； {εi，t}為i.i.d.的離散隨機擾動序列， 其取值范

圍為自然數集合

瘙 綃 ， 且E（εi，t）=μi， Var（εi，t）=σ2i， 概率質量函數為f（εi，t）， 同時對于k∈

瘙 綃 ， 都有f（εi，t=k）gt;0恒成立；

對固定的t和i， εi，t和αi*Xt-l，Xt-l（l≥1）獨立， {ε1，t}與{ε2，t}相互獨立.

引入一個i.i.d.的隨機變量序列{Dt}， 它與{αi*Xt-l}，{Xt-l}，{εi，t}（i=1，2， l≥1）獨立， 且滿足P（Dt=1）=1-P（Dt=0）=p， 即Dt～B（1，p），

則由式（2）定義的MNBINAR（1）模型可等價表示為如下形式：

Xt=Dt·（α1*Xt-1+ε1，t）+（1-Dt）·（α2*Xt-1+ε2，t）.（3）

記pxtxt-1∶=P（Xt=xtXt-1=xt-1）為MNBINAR（1）過程的轉移概率， 則由式（3）可知

pxtxt-1=" p∑xth=0［P（α1*Xt-1=hXt-1=xt-1）P（

ε1，t=xt-h）］+" （1-p）∑xth=0［P（α2*Xt-1=hXt-1=xt-1）P（ε2，t=xt-h）］.（4）

該轉移概率可用于構建模型的似然函數.

1.2" MNBINAR（1）的性質

下面給出MNBINAR（1）模型一些重要的概率統計性質. 首先給出模型的平穩遍歷性， 然后給出模型的一些矩和條件矩.

命題1" 由模型（2）定義的MNBINAR（1）過程是遍歷的， 且具有唯一的平穩分布.

證明： 由定義1可知， MNBINAR（1）過程{Xt}是狀態空間

瘙 綃 上的Markov鏈. 由式（4）可知， MNBINAR（1）過程的轉移概率pxtxt-1

恒大于0， 所以{Xt}是一個不可約且非周期的Markov鏈. 下面證明{Xt}是正常返的. 為此， 首先將式（2）等價表示為如下形式：

Xt=αt*Xt-1+εt，（5）

其中αt=Dtα1+（1-Dt）α2， εt=Dtε1，t+（1-Dt）ε2，t. 將式（5）進行（t-1）次迭代， 可得

Xt=αt*αt-1*…*α1*X0+εt+∑t-1i=1αt*αt-1*…*αi+1 *εi，

從而

P（Xt=0X0=0）=Pεt+∑t-1i=1αt*αt-1*…*αi+1*εi=0X0=0

=""" P（εt=0， αt*εt-1=0， αt*αt-1*εt-2=0， …， αt*αt-1…*α2*ε1=0X0=0）

=""" P（εt=0）P（αt*εt-1=0）P（αt*αt-1*εt-2=0）…P（αt*αt-1*…*α2*ε1=0）

=" ""P（εt=0）∑+∞k=0P（αt*εt-1=0εt-1=k）P（ε

t-1=k）×""" ∑+∞k=0P（αt*αt-1*εt-2=0εt-2=k）P（εt-2=k）

×…×""" ∑+∞k=0P（αt*αt-1*…*α2*ε1=0ε1=k）P（ε

1=k）=""" P（εt=0）P（εt-1=0）+∑+∞k=1P（αt*εt-1=0εt-1=k）

P（εt-1=k）×""" P（εt-2=0）+∑+∞k=1P（αt*αt-1*εt-2=0εt-2=k）P（

εt-2=k）×…×""" P（ε1=0）+∑+∞k=1

P（αt*αt-1*…*α2*ε1=0ε1=k）P（ε1=k）≥""" P（εt=0）P（εt-1=0）…P（ε1=0）gt;0.

于是有∑+∞t=1P（Xt=0X0=0）=+∞. 根據文獻［18］中命題4.2.3和推論4.2.4可知， {Xt}是一個常返Markov鏈.

因為P（Xt=0X0=0）gt;0， 故由文獻［18］中定理4.3.3可知， 狀態0是正常返的. 又因為{Xt}是一個不可約的Markov鏈， 所以{Xt}是一個正常返的Markov

鏈. 從而MNBINAR（1）過程是遍歷的. 又根據文獻［19］中定理1可知， {Xt}存在唯一的平穩分布. 證畢.

命題2" 設{Xt}滿足式（2）， 則對于t≥1， 令E（εi，t）=μi， Var（εi，t）=σ2i（i=1，2）， 有：

1） E（XtXt-1）=［pα1+（1-p）α2］Xt-1+pμ1+（1-p）μ2;

2） Var（XtXt-1）=p（1-p）（α1-α2）2X2t-1+［pα1（1+α1）+（1-p）α2（1+α2）

+2p（1-p）（α1-α2）（μ1-μ2）］Xt-1+pσ21+（1-p）σ22+p（1-p）（μ1-μ2）2;

3） E（Xt）=pμ1+（1-p）μ21-pα1-（1-p）α2;

4） Var（Xt）={p（1-p）（α1-α2）2［E（Xt）］2+［pα1（1+α1）+（1-p）α2（1+α2）+2p（1-p）（α1-α2）（μ1-μ2）］E（Xt）+pμ1+（

1-p）μ2+p（1-p）（μ1-μ2）2}/［1-pα12-（1-p）α22］;

5） Cov（Xt，Xt+h）=［pα1+（1-p）α2］hVar（Xt）.

證明： 首先證明1）成立. 根據式（3）可知，

E（XtXt-1）=" E［Dt·（α1*Xt-1+ε1，t）+（1-Dt）·（α2*Xt-1+ε2，t）Xt-1］

=" E［Dt·（α1*Xt-1+ε1，t）Xt-1］+E［（1-Dt）·（α2*Xt-1+ε2，t）Xt-1］

=" pE（α1*Xt-1+ε1，tXt-1）+（1-p）E（α2*Xt-1+ε2，tXt-1）=

p（α1Xt-1+μ1）+（1-p）（α2Xt-1+μ2）=" ［pα1+（1-p）α2］Xt-1+pμ1+（1-p）μ2.

其次， 證明2）成立. 由式（3）以及方差性質可知，

Var（XtXt-1）=" Var［Dt·（α1 *Xt-1+ε1，t）+（1-Dt）·（α2*Xt-1+ε2，t）Xt-1］

=" Var［Dt·（α1*Xt-1+ε1，t）Xt-1］+Var［（1-Dt）·（α2*Xt-1+ε2，t）Xt-1］

+" 2Cov［Dt·（α1*Xt-1+ε2，t），（1-Dt）·（α2*Xt-1+ε2，t）Xt-1］，

其中， 由條件方差公式可得

Var［Dt·（α1*Xt-1+ε1，t）Xt-1］=Var{E［Dt·（α1*Xt-1+ε1，t）Xt-1

，Dt］Xt-1}+E{Var［Dt·（α1*Xt-1+ε1，t）Xt-1，Dt］Xt-1}

=Var［Dt·（α1Xt-1+μ1）Xt-1］+E{D2t·［α1（1+α1）Xt-1+σ21］Xt-1}

=（α1Xt-1+μ1）2Var（Dt）+［α1（1+α1）Xt-1+σ21］E（D2t）

=（α1Xt-1+μ1）2p（1-p）+［α1（1+α1）Xt-1+σ21］p，

同理可得Var［（1-Dt）·（α2*Xt-1+ε2，t）Xt-1］=（α2Xt-1+μ2）2p（1-p）+［α2（1+α2）Xt-1+σ22］（

1-p）.

又因為Dt（1-Dt）恒為0， 從而

Cov［Dt·（α1*Xt-1+ε1，t），（1-Dt）·（α2*Xt-1+ε2，t）Xt-1］=

-E［Dt·（α1*Xt-1+ε1，t）Xt-1］E［（1-Dt）·（α2*Xt-1+ε2，t）Xt-1］

=-pE（α1*Xt-1+ε1，tXt-1）·（1-p）E（α2*Xt-1+ε2，tXt-1）=-p（1-p）（α1Xt-1+μ1）（α2Xt-1+μ2），

綜上， 整理可得

Var（XtXt-1）=" p（1-p）（α1-α2）2X2t-1+［pα1（1+α1）+（1-p）α2（1+α2）+" 2p（1-p）（α1-α2）（μ1-μ2）］Xt-1+

pσ21+（1-p）σ22+p（1-p）（μ1-μ2）2.

第三， 證明3）成立. 由雙期望公式計算可得

E（Xt）=" E［E（XtXt-1）］=E{［pα1+（1-p）α2］Xt-1+pμ1+（1-p）μ2}=" ［pα1+（1-p）α2］E（Xt-1）+pμ1+（1-p）μ2.

在平穩意義下有E（Xt）=E（Xt-1）， 所以有

E（Xt）=pμ1+（1-p）μ21-pα1-（1-p）α2.

第四， 證明4）成立. 由條件方差公式可得

Var（Xt）=Var［E（XtXt-1）］+E［Var（XtXt-1）］，

其中，

Var［E（XtXt-1）］=" Var{［pα1+（1-p）α2］Xt-1+pμ1+（1-p）μ2}=" ［pα1+（1-p）α2］2Var（Xt-1），

E［Var（XtXt-1）］=" p（1-p）（α1-α2）2E（X2t-1）+［pα1（1+α1）+（1-p）α2（1+α2）+" 2p（1-p）（α1-α

2）（μ1-μ2）］E（Xt-1）+" pμ1+（1-p）μ2+p（1-p）（μ1-μ2）2=" p（1-p）（α1-α2）2Var（Xt-1）+p（1-p）（α1-α2

）2［E（Xt-1）］2+" ［pα1（1+α1）+（1-p）α2（1+α2）+2p（1-p）（α1-α2）（μ1-μ2）］E（Xt-1）+" pμ1+（1-p）μ2+p（1-p）（μ1-μ2）2，

所以

Var（Xt）=" ［pα21+（1-p）α22］Var（Xt-1）+p（1-p）（α1-α2）2［E（Xt-1）］2+" ［pα1（1+α1）+（1-p）α

2（1+α2）+2p（1-p）（α1-α2）（μ1-μ2）］E（Xt-1）+" pμ1+（1-p）μ2+p（1-p）（μ1-μ2）2.

在平穩意義下有E（Xt）=E（Xt-1）， Var（Xt）=Var（Xt-1）， 所以有

Var（Xt）=" {p（1-p）（α1-α2）2［E（Xt）］2+［pα1（1+α1）+（1-p）α2（1+α2）+" 2p（1-p）（α1-α2）（μ1-μ2）］E

（Xt）+" pμ1+（1-p）μ2+p（1-p）（μ1-μ2）2}/［1-pα12-（1-p）α22］.

最后證明5）成立. 由全協方差公式可得

Cov（Xt，Xt+h）=" E（XtXt+h）-E（Xt）E（Xt+h）=" E［E（XtXt+hXt，Xt+h-1）］-E（Xt

）E［E（Xt+hXt+h-1）］=" E［XtE（Xt+hXt+h-1）］-E（Xt）E［E（Xt+hXt+h-1）］

=" E{［pα1+（1-p）α2］XtXt+h-1+［pμ1+（1-p）μ2］Xt}-" E（Xt）E{［pα1+（1-p）α2］Xt+h-1+pμ1+（1-p）μ

2}=" ［pα1+（1-p）α2］E（XtXt+h-1）-［pα1+（1-p）α2］E（Xt）E（Xt+h-1）=" ［pα1+（1-p）α2］Cov（Xt，Xt+h-1）

=…=［pα1+（1-p）α2］hVar（Xt）.

證畢.

2" 參數估計

采用極大似然法進行參數估計. 設{X1，…，XT}為來自MNBINAR（1）過程的一組樣本， 令θ=（α1，α2，μ1，μ2，p）T為待估參數， 則樣本的對數似然函數為

l（θ）=" log∏Tt=1pxtxt-1=∑T

t=1logp∑xth=0［P（α1*Xt-1=hXt-1=xt-1）P（ε1，t=xt-h）］+

（1-p）∑xth=0［P（α2*Xt-1=hXt-1=xt-1）P（ε2，t=xt-h）］.（6）

則參數θ的條件極大似然估計量CML∶=（CML1，CML

2，CML1，CML2，CML）T可通過極大化式（6）得到， 即

CML=argmaxθl（θ）.（7）

由于似然函數較復雜， 難以找到式（7）的解析解， 因此需采用數值算法進行求解， 如Newton-Raphson迭代法等. 本文采用全局優化算法， 基于R軟件進行求解.

定理1" 由式（7）給出的條件極大似然估計CML是相合的， 并且有如下漸近分布：

T（CML-θ0）dN（0，I-1（

θ0）），（8）

其中T是樣本量， θ0為θ的真值， I（θ）為Fisher信息矩陣.

證明： 由于MNBINAR（1）過程是一個Markov過程， 由命題1可知， 定理1是文獻［20］中定理2.1和定理2.2的特殊情形， 因此， 在具體的模型設置中， 只需驗證模型（2）的誤差項ε

1，t和ε2，t是否滿足文獻［20］中定理2.1和定理2.2的正則條件， 即可得到估計量的漸近正態性. 證明細節略.

3" 數值模擬

下面通過數值模擬驗證極大似然估計的效果. 考慮如下兩種模型：

模型Ⅰ： 假設εi，t～P（μi）， i=1，2;

模型Ⅱ： 假設εi，t～NBv，αi1+αi， i=1，2， 其概率質量函數為

P（εi，t=z）=Γ（v+z）Γ（v）Γ（z+1）αzi（1+αi）v+z，" i=1，2，" z=0，1，2，…

容易驗證， μi=E（εi，t）=αiv. 由于模型Ⅱ的特殊結構， 因此只需要估計參數α1，α2，p. 針對兩個模型分別選取如下一組參數進行模擬， 取樣本量T=100，300，500， v=3（已知）.

模型Ⅰ： α1=0.9， α2=0.3， μ1=3.0， μ2=1.0， p=0.5;

模型Ⅱ： α1=0.8， α2=0.2， p=0.7.

在樣本量T=100時分別繪制出模型Ⅰ和模型Ⅱ的樣本路徑圖和自相關函數（ACF）圖， 結果如圖1所示. 由圖1可見， 兩個序列均為平穩序列. 對于每組參數， 在R軟件環境下進行1 000次重復實驗， 分別計算其偏差

（Bias）、 標準偏差（standard deviation， SD）、 標準誤差（standard error， SE）， 并在樣本量T=500時分別繪制出模型Ⅰ和模型Ⅱ極大似然估計結果的QQ（quantile-quantile）圖， 以驗證這兩組估計結果的正

態性. 模擬結果列于表1， 兩個模型的QQ圖分別如圖2和圖3所示.

由表1可見， 在不同參數組合下， 隨著樣本量增大， 所有的Bias，SD和SE都減小， 每個參數的SD和SE越來越接近. 由圖2和圖3可見， 幾乎所有的點都與45°線重合. 從而驗證了極大似然估計的相合性和漸近正態性.

4" 實證分析

下面基于MNBINAR（1）模型擬合一組實際數據（http：//www.forecastingprinciples.com）， 該數據集記錄了美國匹茲堡第63號警車從1990年1月至2001年12月期間巡邏過程中每

個月所報告的毒品犯罪次數， 包括144個觀測值. 觀測數據的樣本均值和樣本方差分別為2.972和8.447， 呈現出典型的過渡離散特征. 數據的樣本路徑圖和ACF圖如圖4所示.

由圖4可見， 所分析的數據是一個平穩的時間序列. 結合數據實際應用背景， 分別用NGINAR（1）模型［6］和MNBINAR（1）模型對數據進行擬合.

在擬合MNBINAR（1）模型時， εt分別取Poisson分布和v=1，2，3，4，5的負二項分布， 并將基于這兩種分布的εt所對應的模型分別記

為P-MNBINAR（1）模型和NB-MNBINAR（1）模型. 利用極大似然估計法得到NGINAR（1）模型和MNBINAR（1）模型的參數估計值， 計算其相應的標準差，

并基于AIC準則［21］對擬合模型進行比較， 其中AIC=2k-2ln（L）， 這里k為參數個數， L為模型的極大似然函數值. 擬合結果列于表2.

由表2可見， 在{εi，t}依次服從v=1～5的負二項分布所對應的模型中， v=1和v=2所對應的模型的2均大于1， 說明v=1，2是不合理的. 此外，

這兩個模型的AIC值也較大. 因此， 首先排除這兩個擬合結果. 在其余擬合模型中， NGINAR（1）模型的AIC值最大， 說明采用混合模型對此數據集進行擬合十分必要. 對比所有擬合模型， {εi，t}服

從v=4的負二項分布的NB-MNBINAR（1）模型AIC值最小， 說明NB-MNBINAR（1）模型最適合擬合該組數據.

可見， 本文提出的模型在實際應用中性能最佳， 是一個有競爭力的模型. 未來的研究可考慮類似文獻［22＼|23］中的方法， 將數據分解后再建立模型， 以進一步增強模型的靈活性.

參考文獻

［1］" AL-OSH M A， ALZAID A A. First-Order Integer-Valued Autoregressive （INAR（1）） Process ［J］. Journal of Time Series Analysis， 1987， 8（3）： 261-275.

［2］" DU J G， LI Y. The Integer-Valued Autoregressive （INAR（p）） Model ［J］. Journal of Time Series Analysis， 1991， 12（2）： 129-142.

［3］" STEUTEL F W， VAN HARN K. Discrete Analogues of Self-decomposability and Stability ［J］. The Annals of Probability， 1979， 7（5）： 893-899.

［4］" NEAL P， RAO T S. MCMC for Integer-Valued ARMA Processes ［J］. Journal of Time Series Analysis， 2007， 28（1）： 92-110.

［5］" 張哲， 張海祥， 張卓飛， 等. INAR（1）模型參數的Bayes 估計［J］. 吉林大學學報（理學版）， 2010， 48（6）： 931-935. （ZHANG Z， ZHANG H X， ZHANG Z F， et al. Bayesian

Estimation of Parameters in the INAR（1） Model ［J］. Journal of Jilin University （Science Edition）， 2010， 48（6）： 931-935.）

［6］ "RISTIC＇ M M， BAKOUCH H S， NASTI

C＇ A S. A New Geometric First-Order Integer-Valued Autore

gressive （NGINAR（1）） Process ［J］. Journal of Statistical Planning and Inference， 2009， 139（7）： 2218-2226.

［7］" SCOTTO M G， WEI C H， GOUVEIA S. Thinning-Based

Models in the Analysis of Integer-Valued Time Series： A Review ［J］. Statistical Modelling， 2015， 15（6）： 590-618.

［8］" DAVIS R A， FOKIANOS K， HOLAN S H， et al.

Count Time Series： A Methodological Review ［J］. Journal of the American Statistical Association， 2021， 116： 1533-1547.

［9］" YANG K， KANG Y， WANG D H， et al. Modeling Overdispersed or Underdispersed Count Data with Generalized

Poisson Integer＼|Valued Autoregressive Processes ［J］. Metrika， 2019， 82（7）： 863＼|889.

［10］" 張潔， 張玉， 董小剛. 自激勵廣義二項門限自回歸模型的統計推斷 ［J］. 吉林大學學報（理學版）， 2023， 61（2）： 275＼|284.

（ZHANG J，" ZHANG Y，" DONG X G. Statistical Inference for Self＼|exciting Generalized Binomial Threshold Autoregressive Model ［J］. Journal of" Jilin University

（Science Edition）， 2023， 61（2）： 275＼|284.）

［11］" 邰志艷， 王佳聰， 楊凱， 等. 帶有相依稀疏算子的一階隨機系數二項自回歸模型 ［J］. 吉林大學學報（理學版），2023， 61（5）： 1083＼|1089.

（TAI Z Y， WANG J C， YANG K， et al. First＼|Order Random Coefficient Binomial Autoregressive Model with Dependent Thinning Operator ［J］.

Journal of" Jilin University" （Science Edition）， 2023， 61（5）： 1083＼|1089.）

［12］" 劉子健， 桂尚珂， 陳碩， 等. 一階混合整數值二項自回歸模型 ［J］. 吉林大學學報（理學版）， 2021， 59（6）： 1395-1399. （LIU Z J， GUI S K， CHEN

S， et al. First-Order Mixed Integer-Valued Binomial Autoregressive Model ［J］. Journal of Jilin University （Science Edition）， 2021， 59（6）： 1395-1399.）

［13］" RISTIC＇ M M， NASTIC＇ A S.

A Mixed INAR（p） Model ［J］. Journal of Time Series Analysis， 2012， 33（6）： 903-915.

［14］" LI C， WANG D H， ZHANG H X. First-Order Mixed Integer-Valued Autoregressive Processes with Zero-Inflated

Generalized Power Series Innovations ［J］. Journal of the Korean Statistical Society， 2015， 44（2）： 232-246.

［15］" ZHANG J， SHAO S Y， YANG K， et al. A Statistical Study for Some Classes of First＼|Order Mixed Generalized Binomial Autoregressive Models ［J/OL］.

Communications in Statistics： Theory and Methods， （2023-04-27）［2023＼|06＼|26］. https：//doi.org/10.1080/03610926.2023.2205046.

［16］" MAO H Y， ZHU F K， CUI Y. A Generalized Mixture Inte

ger-Valued GARCH Model ［J］. Statistical Methods and Applications， 2020， 29： 527-552.

［17］" ZHU F K， LI Q， WANG D H. A Mixture Integer-Valued ARCH Model ［J］. Journal o

f Statistical Planning and Inference， 2010， 140（7）： 2025-2036.

［18］" ROSS S M. Stochastic Processes ［M］. 2nd ed. New York： Wiley， 1996： 170-177.

［19］" ROSENBLATT M. Markov Processes， Structure and Asymptotic Behaviour ［M］. Berlin： Springer， 1971： 7-10.

［20］" BILLINGSLEY P. Statistical Inference for Markov Processes ［M］. Chicago： University of Chicago Press， 1961： 10-14.

［21］" AKAIKE H. A New Look at the Statistical Model Identification ［J］. IEEE Transactions on Automatic Control， 1974， 19（6）： 716-723.

［22］" 秦喜文， 邢婷婷， 董小剛， 等." 基于EEMD的公路客流量波動性與周期性研究 ［J］. 東北師大學報（自然科學版）， 2016， 48（1）： 44＼|48.

（QIN X W， XING T T， DONG X G， et al. Ｔｈｅ Vｏｌａｔｉｌｉｔｙ ａｎｄ Pｅｒｉｏｄｉｃｉｔｙ ｏｆ Hｉｇｈｗａｙ Pａｓｓｅｎｇｅｒ Vｏｌｕｍｅ Bａｓｅｄ ｏｎ Eｎｓｅｍｂｌｅ

Eｍｐｉｒｉｃａｌ Mｏｄｅ Deｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ［J］. Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈｅａｓｔ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）， 2016， 48（1）： 44＼|48.）

［23］" 秦喜文， 張瑜， 董小剛， 等." 基于EEMD和SVR的人民幣匯率預測 ［J］. 東北師大學報（自然科學版）， 2016， 49（2）： 47＼|51.

（QIN X W， ZHANG Y， DONG X G， et al. Ｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ ＲＭＢ Eｘｃｈａｎｇｅ Rａｔｅ Bａｓｅｄ ｏｎ ＥＥＭＤ ａｎｄ ＳＶＲ" ［J］." Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈｅａｓｔ

Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ （Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）， 2016， 49（2）： 47＼|51.）

（責任編輯： 趙立芹）