非齊度量測度空間上廣義分數次積分的加權弱估計

摘要： 設（X，d，μ）為滿足上雙倍條件和幾何雙倍條件的非齊度量測度空間， Tα為（X，d，μ）上的廣義

分數次積分算子. 通過建立sharp極大函數的點態不等式， 得到Tα是從加權Lebesgue空間Lp（ω）到加權弱Lebesgue空間Lp，∞（ω）上有界

的， 并且也是從加權Morrey空間Lp，κ，η（ω）到加權弱Morrey空間WLp，κ，η（ω）上有界的.

關鍵詞： 廣義分數次積分; 加權弱估計; 加權Morrey空間; 非齊度量測度空間

中圖分類號： O174.2" 文獻標志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）03-0573-13

Weighted Weak Estimates for Generalized Fractional Integral on Non-homogeneous Metric Measure Spaces

TIAN Yufeng， TAO Shuangping

（College of Mathematics and Statistics， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： Let （X，d，μ） be a non-homogeneous metric measure space which satisfies the upper doubling and geometrically doub

ling conditions， and Tα be the generalized fractional integral operator on （X，d，μ）. By establishing pointwise inequality of sharp maximum fun

ction， we obtain that Tα is bounded from the weighted Lebesgue space Lp（ω） to the weighted weak Lebesgue space WLp，∞（ω）， and also

from the weighted Morrey space Lp，κ，η（ω） to the weighted weak Morrey space WLp，κ，η（ω）.

Keywords： generalized fractional integral; weighted weak estimate; weighted Morrey space; non-homogeneous metric measure space

收稿日期： 2023-07-13." 網絡首發日期： 2024＼|03＼|07.

第一作者簡介： 田玉鳳（1998—）， 女， 漢族， 碩士研究生， 從事調和分析的研究， E-mail： tianyufeng0311@163.com.

通信作者簡介： 陶雙平（1964—）， 男， 漢族， 博士， 教授， 博士生導師， 從事調和分析及其應用的研究， E-mail： taosp@nwnu.edu.cn.

基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 12201500）.

網絡首發地址： https：//link.cnki.net/urlid/22.1340.o.20240301.1702.001.

1" 引言及預備知識

滿足多項式增長條件的非雙倍測度空間［1-2］和Coifman-Weiss意義下的齊次空間［3］是兩類重要的度量測度空間. 為統一齊型空間和非雙倍測度空間， Hyt

nen［4］引入了一類新的度量測度空間， 即非齊度量測度空間， 該空間滿足上雙倍和幾何雙倍條件.

定義1［4］" 設（X，d，μ）是一個度量測度空間， X上的Borel測度μ滿足： 存在一個控制

函數λ： X×（0，∞）→（0，∞）及一個正常數Cλ， 使得對于每個x∈X， r→λ（x，r）單調遞增， 且對所有的x∈X和r∈（0，∞）， 有

μ（B（x，r））≤λ（x，r）≤Cλλx，r2，（1）

則稱測度μ滿足上雙倍條件.

定義2［4］" 設（X，d）是一個度量空間， 存在正整數N0， 使得對所有的球B（x，r）X， 均存在B（x，r）的一個有限

球覆蓋Bxi，r2i， 使得覆蓋球的基數至多為N0， 則稱（X，d）滿足幾何雙倍條件.

滿足上雙倍條件和幾何雙倍條件的度量測度空間統稱為非齊度量測度空間， 簡記為（X，d，μ）.

注1" 1） 易見， 當控制函數λ（x，r）=μ（B（x，r））時， 非齊度量測度空間（X，d，μ）是Coifman-Weiss意義下的齊次空間;

當控制函數λ（x，r）=C0rn 時， 非齊度量測度空間（

瘙 綆 d，·，μ）是滿足多項式增長條件μ（B（x，r））≤C0rn的非雙倍測度空間;

2） 設（X，d，μ）為非齊度量測度空間， Hytnen［4］得到幾何雙倍條件等價于對每個∈（0，1）， 任意球B（x，r）X， x∈X， r∈（0，∞）包含于基數最多為N0-n0的互不相交的球{B（xi，r）}i， 本文中N0為定義2中所定義， n0=log2N0;

3） 設（X，d，μ）為非齊度量測度空間， Hytnen等［5］得出存在另一個控制函數， 使得≤λ， C

≤Cλ， 且對任意的x，y∈X， d（x，y）≤ r， 有

（x，r）≤C（y，r）.（2）

本文總假設控制函數λ滿足式（1），（2）， 且對任意的x∈X， r∈（0，∞）， 有λ（x，r）lt;∞. 由此及式（1）得， 對于任意球B（x，r）X， 滿足r∈（0，∞）， 有μ（B（x，r））lt;∞.

定義3［6］" 設α∈（0，1）， 函數Kα∈L1loc（X×X＼{（x，y）： x=y}）， 若

存在一個依賴于Kα的正常數CKα， 使得：

1） 對任意的x，y∈X， x≠y， 有

Kα（x，y）≤CKα（x，y）1［λ（x，d（x，y））］1-α;（3）

2） 存在正常數δ∈（0，1］， cKα∈（0，∞）， 使得對任意的x，x′，y∈X， d（x，y）≥cKαd（x，x′）， 有

Kα（x，y）-Kα（x′，y）+Kα（y，x）-Kα（y，x′）≤CKα［d（x，x′）］δ［d（x，y）］δ［λ（x，d（x，y））］

1-α.（4）

則稱Kα為廣義分數次積分核.

記L∞b（μ）={f： f∈ L∞（μ）， 具有有界支集}. 設Kα為廣義分數次積分核， 對任意的f∈L∞b（μ）， xsupp f， 廣義分數次積分定義［6］為

Tα（f）（x）∶=∫XKα（x，y）f（y）dμ（y）.（5）

注2" 如果Kα（x，y）滿足式（3）， 則Hrmander型條件成立， 即存在一個正常數C， 使得對任意的y，y′∈X， 有

∫d（x，y）≥cKαd（y，y′）（Kα（x，y）-Kα（x，y′）+Kα（y，x）-Kα（y′，x））1d（x，y）dμ（x）≤C.

廣義分數次積分是調和分析的經典算子之一. 目前， 關于廣義分數次積分在非齊度量測度空間上的研究已有很多結果［6-17］. 例如：

Fu等［6］證明了非齊度量測度空間上廣義分數次積分及其交換子的Lp有界性； Lu等［7］得到了雙線性分數次積分及其交換子在非齊度量測度空間上的有界性.

本文的目的是建立非齊度量測度空間（X，d，μ）上廣義分數次積分在加權Lebesgue空間和加權Morrey空間上的弱有界性. 用cB和rB分別表示球B的中

心和半徑， 且對任意的ρgt;0， ρB表示球B（cB，ρrB）; 用C表示與主要參數無關的正常數;

YZ表示存在一個正常數C， 使得Y≤CZ; A～B表示ABA; 對于給定任意的q∈（1，∞）， q′ ∶=qq-1表示q的共軛指標.

定義4［18］" 設ρ∈［1，∞）， p∈（1，∞）， p′∶=pp-1. 若存在一個正常數C， 使得對于所有球BX， 有

1μ（ρB）∫Bω（x）dμ（x）1μ（ρB）∫B［ω（x）］1-p′dμ（x）p-1≤C，（6）

則稱非負μ-可測函數ω為Aρp（μ）權. 若存在一個正常數C， 使得對于所有球BX， 有

1μ（ρB）∫Bω（x）dμ（x）infy∈B ω（y），

則稱ω為Aρ1（μ）權， 并記

Aρ∞（μ）∶=∪∞p=1Aρp（μ）.

定義5［19］" 若非負μ-可測函數ω滿足： 對任意的球BX， 有

1μ（B）∫B［ω（x）］rdμ（x）1/r1μ（B）∫Bω（x）dμ（x），

則稱權ω屬于逆Hlder類RHr（μ）， 其中r∈（1，∞）.

定義6（加權積分條件）［20］" 若存在一個正常數Cα， 使得對于所有球BX， 有

∫∞11［ω（sB）］αdss≤Cα［ω（B）］α，

則稱權ω滿足加權積分條件.

注3" 加權積分條件等價于： 對于α∈（0，1）， β∈（1，∞）， 存在一個正常數Cα，β， 使得對于所有球BX， 有

∑∞i=1ω（B）ω（βjB）αlt;Cα，β.（7）

定義7［20］" 設p∈［1，∞）， κ∈（0，1）， η∈（1，∞）， ω是一個權函數， 加權Morrey空間定義為

Lp，κ，η（ω）∶={f∈Lploc（ω）： ‖f‖Lp，κ，η（ω）lt;∞}，

其中

‖f‖Lp，κ，η（ω）∶=supB1ω（ηB）κ∫B

f（x）pω（x）dμ（x）1/p;（8）

加權弱Morrey空間WLp，κ，η（ω）定義為

‖f‖WLp，κ，η（ω）∶=supBsup

tgt;0 1ω（ηB）κ/ptω（{x∈B： f（x）gt;t}）1/plt;∞.

注4" 設p∈［1，∞）， κ∈（0，1）， Yan等［20］研究表明， ‖·‖Lp，κ，η（ω）和‖·‖WLp，κ，η（ω）與常數η∈（1，∞）

的選取無關.

定義8［4］" 設α，β∈（1，∞）， 若球BX滿足μ（αB）≤βμ（B）， 則B稱為（α，β）-倍球.

注5" 給定非齊度量測度空間（X，d，μ）， 對任意球B（x，r）X， 當β充分大時， 存在j∈

瘙 綃 ， 使得α

jB為（α，β）-倍球. 對于a.e. x∈X和r∈（0，∞）， 存在以x為中心、 α-jr為半徑的最小（α，β）-倍球［4］. 記ν=log2Cλ， n0=log2N0， 對于任意給

定的α∈（0，1）和球B， α表示αjB的最小（α，βα）-倍球， 其中

βα∶=α3max{n0，ν}+［max{5α，30}］n0+［max{3α，30}］ν.

此外， 對任意的ρ∈［1，∞）和球B， 表示（30ρ）jB的最小（30ρ，β30ρ）-倍球［5］.

定義9［21］" 設ρ∈（1，∞）， B，S為X中的任意兩個球， BS， 定義

（ρ）B，S∶=1+∑N（ρ）B，Sk=-

logρ2μ（ρkB）λ（cB，ρkrB），

其中N（ρ）B，S是滿足ρN（ρ）B，SrB≥rS的最小整數.

注6" 1） 由定義9和式（1）， 可得

（ρ）B，S～1+∑N（ρ）B，S+logρ2+1

k=1μ（ρkB）λ（cB，ρkrB）;

2） Hytnen［4］引入了連續系數KB，S， 對任意兩個球BS X， 有

KB，S∶=1+∫（2S）＼B1λ（cB，d（x，cB））dμ（x）.

文獻［5］證明了KB，S和（ρ）B，S具有相似的性質， 但KB，S和（ρ）B，S通常不相等.

引理1［22］" 設ρ∈（1，∞）， 則：

1） 對于所有球BR S， 有

（ρ）B，R≤Cρ（ρ）B，S， （ρ）B，S≤

（ρ）B，R+cρ，ν（ρ）R，S;

2） 設α∈［1，∞）， 對于所有球BS滿足rS≤αrB， 有（ρ）B，S≤Cα，ρ;

3） 對于所有球B， 有（ρ）B，ρ≤Cρ，ν;

4） 設ρ1，ρ2∈（1，∞）， 對于所有球BS， 有cρ1，ρ2，ν（ρ1）B，S≤

（ρ2）B，S≤Cρ1，ρ2，ν（ρ1）B，S.

Hu等［18］首先在非齊度量測度空間（X，d，μ）中定義了與KB，S相關的John-Strmberg型極大算子. 設f為μ-可測函數， B

為X中的球， μ（B）≠0. 記

mB（f）=1μ（B）∫Bf（x）dμ（x），" mf（B）=infα∈

瘙 綆" mB（f-α），

則由文獻［23］知，

μ（{x∈B： f（x）gt;mf（B）}）≤12μ（B），" μ（{x∈B： f（x）lt;mf（B）}）≤12μ（B）.

設s∈（0，1）， σ∈［1，∞）， ρ∈［1，∞）. 對任意固定的球B和μ-可測函數f， 當μ（B）gt;0時， 定義

mσ，ρ0，s;B（f）=inf{tgt;0： μ（{y∈B： f（y）gt;t}）lt; sμ（σρB）};

當μ（B）=0時， mσ，ρ0，s;B（f）=0.

John-Strmberg型極大算子定義［18］為

Mσ，ρ0，s（f）（x）∶=supx∈B，B（30ρ，β30ρ）-doublingmσ，ρ0，s;B（f），" x∈X;

相應的John-Strmberg sharp極大算子定義［18］為

Mσ，ρ;#0，s（f）（x）∶=supx∈B mσ，ρ0，s;B（f-mf（））+supx∈BS，

B，S（30ρ，β30ρ）-doublingmf（B）-mf（S）（ρ）B，S，" x∈X.

對于任意球B， x∈B和任意∈（0，∞）， 有

μ（{y∈B： f（y）-mf（）gt;Mσ，ρ;#0，s（f）（x）+}）lt;sμ（σρB）.

Mσ，ρ0，s和Mσ，ρ;#0，s最早由John［24］引進， Strmberg［25］和Lerner［26］在經典歐氏空間上研究了這些算子的性質.

設ρ∈［1，∞）， η，σ∈（1，∞）， r∈（0，∞）. 對于任意f∈L1loc（μ）， x∈X， 定義極大算子為

Mη（f）（x）∶=supx∈B1μ（ηB）∫Bf（y）dμ（y）;（9）

倍極大算子為

Mρ（f）（x）∶=supx∈B，

B（30ρ，β30ρ）-doubling1μ（B）∫Bf（y）dμ（y）;（10）

sharp極大算子為

Mσ，ρ;#r（f）（x）∶=" supx∈B1μ（σρB）∫Bf（y）-mf（）rdμ（y）1/r

+" supx∈BR，B，R（30ρ，β30ρ）-doublingmf（B）-mf（R）（ρ）B，R.

對于任意球B， 有

mσ，ρ0，s;B（f-mf（））≤s-1/r1μ（σρB）∫Bf（y）-mf（）rdμ（y）1/r，

且對于任意x∈X， 由文獻［18］有

Mσ，ρ，#0，s（f）（x）≤s-1/rMσ，ρ;#r（f）（x）.（11）

引理2［18］" 設ρ∈［1，∞）， σ∈［1，30］， s1∈（0，β-130ρ/4）， p∈（0，∞）， 且ω∈Aρ

∞（μ）∩RHr（μ）， r∈（1，∞）， 則存在一個依賴于s1和ω的常數C1∈（0，1）， 使得對于任意s2∈（0，C1s1）， 下列結論成立：

1） 若μ（X）=∞， f∈Lp0，∞（μ）滿足p0∈（0，∞）， 且對于任意R∈（0，∞）， 有

supt∈（0，R）tpω（{x∈X： f（x）gt;t}）lt;∞，

則

‖Mσ，ρ0，s1（f）‖Lp，∞（ω）‖Mσ，ρ;#0，s2（f）‖Lp，∞（ω）;

2） 若μ（X）lt;∞， f∈ Lp0，∞（μ）滿足p0∈（0，∞），則

‖Mσ，ρ0，s1（f）‖Lp，∞（ω）‖Mσ，ρ;#0，s2（f）‖Lp，∞（ω）+［ω（X）

］1/p［s1μ（X）］-1/p0‖f‖Lp0，∞（μ）.

引理3［18］" 設ρ，p∈［1，∞）， ω∈Aρp（μ）， η∈［5ρ，∞）， 則存在常數C2，C3∈［1，

∞）， 使得對于任意倍球B和μ-可測集EB， 有

ω（E）ω（B）≥C2-1μ（E）μ（ηB）p，

ω（E）ω（B）≥C-13μ（E）μ（B）

p，" ω（E）ω（B）≤1-C-131-μ（E）μ（B）p.

引理4［18］" 設ρ，p∈［1，∞）， σ∈［1，30］，" s∈（0，β-130ρ）， 則對任意μ-可測函數f和t∈（0，∞）， 有：

1） {x∈X： f（x）gt;t}{x∈X： Mσ，ρ0，s（f）（x）≥t}∪E滿足μ（E）=0;

2） 對于任意ω∈Aρp（μ），

ω（{x∈X： Mσ，ρ0，s（f）（x）gt;t}）s-pω（{x∈X： f（x）gt;t}）.

引理5［18］" 設ρ∈［1，∞）， σ∈［1，30］， s∈（0，β-130ρ/4）， B為（30ρ，β30ρ）-倍

球， 滿足μ（B）≠0， 則對所有常數c∈

瘙 綇 和任意μ-可測函數f， 有

mσ，ρ0，s;B（f）-c≤mσ，ρ0，s;B（f-c）.

引理6［27］" 設ρ∈［1，∞）， σ∈［1，30］， s∈（0，β-130ρ/4）， r∈（0，∞）， 則對任意球B和μ-局部可積函數f， 有

mσ，ρ0，s;B（f-mf（B））≤s-1/rinfc∈

瘙 綇 1μ（σρB）

∫Bf（y）-crdμ（y）1/r.

引理7［18］" 設ρ∈［1，∞）， η∈［5ρ，∞）， Mη和Mρ分別為式（9）和式（10）中定義， 則對任

意p∈［1，∞）和ω∈Aρp（μ）， Mη和Mρ從Lp（ω）到Lp，∞（ω）有界.

引理8［8］" 設α∈（0，1）， Kα滿足式（3），（4）， Tα是式（5）中定義的廣義分數次積分. 若Tα在L2

（μ）上有界， 則對于任意p∈（1，∞）， Tα在Lp（μ）上有界， 且從L1（μ）到L1，∞（μ）有界.

引理9" 設f∈L∞b（μ）， 對于任意ρ∈［1，∞）， σ∈（5，30］， r∈（0，1）， 在引理8的條件下， 有

Mσ，ρ;#r（Tα（f）（x））M（σ/5）ρ（f）（x）.（12）

證明： 對于每個球B和f∈L∞b（μ）， 記hB∶=mB（Tα（fχ（5B）c））. 由引理5和引理6可知， 對任意s∈（0，β-130ρ/4）及r∈（0，1）， 有

∫BTα（f）（y）-mTα（f）（）rdμ（y）≤∫BTα（f）（y）-hBrdμ（y）+hB-h

rμ（B）+""" mσ，ρ0，s;（Tα（f））-mTα（f）（）rμ（B）

+mσ，ρ0，s;（Tα（f））-hrμ（B）≤""" ∫BTα（f）（y）-hBrdμ（y）+hB

-hrμ（B）+""" ［mσ，ρ0，s;（Tα（f）-mTα（f）（））］rμ（B）

+［mσ，ρ0，s;（Tα（f）-h）］rμ（B）""" ∫BTα（f）（y）-hBrdμ（y）+hB-h

rμ（B）+""" 3rs-11μ（σρ）∫Tα（f）（y）-mTα（f）（）rdμ（y）μ（B）+""" 3rs-11μ（σρ）

∫Tα（f）（y）-hrdμ（y）μ（B）""" ∫BTα（f）（y）-hBrdμ（y）+hB-

hrμ（B）+3rs-1μ（B）μ（）∫Tα（f）（y）-hrdμ（y），

對于任意兩個倍球BR， 由引理5和引理6可知，

mTα（f）（B）-mTα（f）（R）≤mσ，ρ0，s;B（Tα（f））-hB+hB

-hR+mσ，ρ0，s;R（Tα（f））-hR+mσ，ρ0，s;B（Tα（f））-mTα（f）（B）

+mσ，ρ0，s;R（Tα（f））-mTα（f）（R）≤mσ，ρ0，s;B（Tα（f）-hB）+hB-hR+

mσ，ρ0，s;R（Tα（f）-hR）+mσ，ρ0，s;B（Tα（f）-mTα（f）（B））+mσ，ρ0，s;R（Tα（f）-mTα（f）（R））

3s-1/r1μ（σρB）∫BTα（f）（y）-hBrdμ（y）1/r+hB-hR

+3s-1/r1μ（σρR）∫RTα（f）（y）-hRrdμ（y）1/r

+3s-1/r1μ（σρB）∫BTα（f）（y）-mTα（f）（B）rdμ（y）1/r

+3s-1/r1μ（σρR）∫RTα（f）（y）-mTα（f）（R）rdμ（y）1/r

4s-1/r1μ（σρB）∫BTα（f）（y）-hBrdμ（y）1/r+hB-hR

+4s-1/r1μ（σρR）∫RTα（f）（y）-hRrdμ（y）1/r，

因此， 為證式（12）成立， 只需證明

1μ（σρB）∫BTα（f）（y）-hBrdμ（y）1/rinfx∈B M（σ/5）ρ（f）（x），（13）

并且

hB-hR（ρ）B，Rinfx∈B M（σ/5）ρ（f）（x）.（14）

首先證明式（13）. 對任意y∈X， 有

Tα（f）（y）-Tα（fχX＼（5B））（y）≤Tα（fχ5B）（y），

因此，

∫BTα（f）（y）-hBrdμ（y）≤""" ∫BTα（f）（y）-Tα（fχX＼（5

B））（y）rdμ（y）+∫BTα（fχX＼（5B））（y）-hBrdμ（y）

≤""" ∫BTα（fχ5B）（y）rdμ（y）+∫BTα（fχX＼（5B））（y）-hBrd

μ（y）≤""" ∫BTα（fχ5B）（y）rdμ（y）+1μ（B）∫B∫BTα（fχX＼

（5B））（y）-Tα（fχX＼（5B））（x）rdμ（y）dμ（x）.

由引理8可知， Tα從L1（μ）到L1，∞（μ）有界， 結合Kolmogorov不等式， 有

1μ（σρB）∫BTα（fχ5B）（y）rdμ（y）1/r

1μ（σρB）‖fχ5B‖L1（μ）infx∈B M（σ/5）ρ（f）（x）.（15）

令f*=fχX＼（5B）， 對于任意的x，y∈B， 有

Tα（f*）（y）-Tα（f*）（x）≤∫Xf*（z）Kα（x，z）-Kα（y，z））dμ（z）

≤∫Xf*（z）Kα（x，z）-Kα（x′，z）dμ（z）+∫Xf*（z）Kα（x′，z）-K

α（y′，z）dμ（z）+∫Xf*（z）Kα（y，z）-Kα（y′，z）dμ（z）∶=A1+A2+A3.

首先證明A1. 對任意的x，x′，y，y′∈B和z∈（kB）c， k∈（1，∞）， 有

d（x，z）～d（x′，z）～d（y，z）～d（y′，z）～d（cB，z），（16）

由式（4），（2），（1）， 并結合Minkowski不等式， 有

A1≤∫（5B）cf（z）Kα（x，z）-Kα（x′，z）dμ（z）∫（5B）cf（z）

［d（x，x′）］δ［d（x，z）］δ［λ（x，d（x，z））］1-αdμ（z）∫（5B）cf（z）［λ（x，d（x，z））］1-αdμ（z）

∫（5B）cf（z）［λ（cB，d（cB，z））］1-αdμ（z）∑∞k=1∫5k+1B＼（5kB）f（z）［λ（cB，5krB）］1-αdμ（z）∑∞k=1μ［（σ/5）ρ5k+1B］［λ（cB，5krB）］1-α1μ［（σ/5）ρ

5k+1B］∫5k+1Bf（z）dμ（z）M（σ/5）ρ（f）（x）.

同理可得

A3M（σ/5）ρ（f）（x）.

下面證A2. 根據Minkowski不等式和式（4）， 有

A2≤∫（5B）cf（z）Kα（x′，z）-Kα（y′，z）dμ（z）∫（5B）cf（z）

［d（z，z′）］δ［d（z，x′）］δ［λ（z，d（z，x′））］1-αdμ（z）∫（5B）c

f（z）［λ（z，d（z，x′））］1-αdμ（z）∫（5B）cf（z）［λ（cB，d（cB，z））］1-α

dμ（z）∑∞k=1∫5k+1B＼（5kB）f（z）［λ（cB，5krB）］1-αdμ（z）

∑∞k=1μ［（σ/5）ρ5k+1B］［λ（cB，5krB）］1-α1μ［（σ/5）ρ5k+1B］

∫5k+1Bf（z）dμ（z）M（σ/5）ρ（f）（x），

再結合A1和A3， 得

1μ（σρB）∫BTα（f*）（y）-hBrdμ（y）1/rinfx∈B M（σ/5）ρ（f）（x），

因此， 結合式（15）可知式（13）成立.

下面證式（14）成立. 令

N∶=N（30ρ）B，R+log30ρ2+1=N（30ρ）B，R+1，

由于BR， 球（30ρ）NB和5R分別與球B和R同心， 則對于任意x∈5R， 有

d（cB，x）≤d（cB，cR）+d（cR，x）≤rR+5rR=6rR≤6·（30ρ）N（30ρ）B，RrB

≤（30ρ）N（30ρ）B，R+1rB=（30ρ）NrB，

表明5B5R（30ρ）NB. 因此， 對于任意x，y∈X， 有

Tα（fχX＼（5B））（x）-" Tα（fχX＼（5R））（y）≤Tα（fχX＼（30ρ）NB）（x）+

Tα（fχ（30ρ）NB＼（5B））（x）+" Tα（fχX＼（30ρ）NB）（y）-Tα（fχX＼（5R））（y）-

Tα（fχX＼（30ρ）NB）（y）≤" Tα（fχX＼（30ρ）NB）（x）+

Tα（fχ（30ρ）NB＼（5B））（x）+Tα（fχ（30ρ）NB＼（5R））（y）-Tα（fχX＼（30ρ）NB）（y）.

同理

Tα（fχX＼（5R））（y）-Tα（fχX＼（5B））（x）≤Tα（fχX＼（30ρ）NB）（y）+

Tα（fχ（30ρ）NB＼（5R））（y）+Tα（fχ（30ρ）NB＼（5B））（x）-Tα（fχX＼（30ρ）NB）（x）.

故

Tα（fχX＼（5B））（x）-Tα（fχX＼（5R））（y）≤" Tα（fχ（30ρ）NB＼（5B））（x）+

Tα（fχ（30ρ）NB＼（5R））（y）+" Tα（fχX＼（30ρ）NB）（x）-

Tα（fχX＼（30ρ）NB）（y）≤" Tα（fχ30ρ B＼（5B））（x）+Tα（fχ（30ρ）NB＼（30ρB））（x）

+" Tα（fχ（30ρ）NB＼（5R））（y）+Tα（fχX＼（30ρ）NB）（x）-Tα（fχX＼（30ρ）NB）（y）.

進一步可得，

hB-hR=1μ（B）μ（R）∫R∫B［Tα（fχX＼（5B））（x）-

Tα（fχX＼（5R））（y）］dμ（x）dμ（y）≤mB（Tα（fχ30ρ B＼（5B）））（x）+

mB（Tα（fχ（30ρ）NB＼（30ρB）））（x）+mR（Tα（fχ（30ρ）NB＼（5R）））（y）+1μ（B）μ（R）

∫B∫RTα（fχX＼（30ρ）NB）（x）-Tα（fχX＼（30ρ）NB）（y）d

μ（y）dμ（x）∶=I1+I2+I3+I4.

對于I1， 由式（3）、 Minkowski不等式， 式（16），（2），（1）可知， 對于任意x∈B， 有

Tα（fχ30ρ B＼（5B））（x）≤∫30ρ B＼（5B）Kα（x，z）f（z）dμ（z）

∫30ρ B＼（5B）f（z）［λ（cB，d（cB，z））］1-αdμ（z）μ［（σ/5）ρ30ρB］［λ（cB，5ρ

rB）］1-α1μ［（σ/5）ρ30ρB］∫30ρBf（z）dμ（z）M（σ/5）ρ（f）（x）.（17）

由于（30ρ）N（30ρ）B，R-1rB≤rR， 從而對于任意x∈（30ρ）NB， 有

d（cR，x）≤d（cR，cB）+d（cB，x）≤rR+（30ρ）NrB≤rR+900ρ2rR≤901ρ2rR，

所以

（30ρ）NB901ρ2R.

對于I3， 類似式（17）， 對于任意y∈R， 有

Tα（fχ（30ρ）NB＼（5R））（y）≤∫（30ρ）NB＼（5R）Kα（y，z）f（z）dμ（z）

∫（30ρ）NB＼（5R）f（z）［λ（y，d（y，z））］1-αdμ（z）∫901ρ2R＼（5R）f（z）［λ（cR，d（

cR，z））］1-αdμ（z）μ［（σ/5）ρ901ρ2R］［λ（cR，5ρrR）］1-α1μ［（σ/5）ρ901ρ2R］

∫901ρ2Rf（z）dμ（z）M（σ/5）ρ（f）（x），

因此

I1+I3infx∈B M（σ/5）ρ（f）（x）.

對于I2項， 由式（3）、 Minkowski不等式、 式（16），（1）、 定義9和引理1中4）可知， 對于任意x∈B， 有

Tα（fχ（30ρ）NB＼（30ρB））（x）≤∫（30ρ）NB＼（30ρB）Kα（x，z）f（z）dμ（z）

≤∫（30ρ）NB＼（30ρB）f（z）［λ（x，d（x，z））］1-αdμ（z）∑N-1k=1

∫（30ρ）k+1B＼（（30ρ）kB）f（z）［λ（cB，d（cB，z））］1-αdμ（z）∑N-1k=1

μ［（σ/5）ρ（30ρ）k+1B］［λ（cB，（30ρ）krB）］1-α1μ［（σ/5）ρ（30ρ）k+1B］

∫（30ρ）k+1Bf（z）dμ（z）∑N-1k=1μ（（30ρ）k+2B）

［λ（cB，（30ρ）k+2rB）］1-αinfx∈B M（σ/5）ρ（f）（x）∑N（30ρ）B，R+2k=3

μ（（30ρ）kB）λ（cB，（30ρ）krB）infx∈B M（σ/5）ρ（f）（x）（30ρ）B，Rinfx∈B

M（σ/5）ρ（f）（x）～（ρ）B，Rinfx∈B M（σ/5）ρ（f）（x），

因此

I2（ρ）B，Rinfx∈B M（σ/5）ρ（f）（x）.

對于I4， 類似式（15）， 得

Tα（fχX＼（30ρ）NB）（x）-Tα（fχX＼（30ρ）NB）（y）

infx∈B M（σ/5）ρ（f）（x），

所以

I4infx∈B M（σ/5）ρ（f）（x）.

綜合I1～I4， 式（14）得證. 由式（13）和式（14）可知式（12）成立， 證畢.

2" 主要結果

定理1" 設α∈（0，1）， δ∈（0，1］， Kα滿足式（3）和式（4）， Tα為式（5）定義的廣義分數次積分. p，ρ∈［1，

∞）， ω∈Aρp（μ）∩RHr（μ）， r∈（1，∞）， 若Tα（f）在L2（μ）上有界， 則Tα（f）從Lp（ω）到Lp，∞（ω）上有界， 即

suptgt;0 t［ω（{x∈X： Tα（f）（x）gt;t}）］1/p‖f‖Lp（ω）.

證明： 考慮μ（X）=∞和μ（X）lt;∞兩種情形.

情形1） μ（X）=∞. 由引理7只需證： 對于任意t∈（0，∞）和σ∈［25，30］， 有

suptgt;0 t［ω（{x∈X： Tα（f）（x）gt;t}）］1/p

suptgt;0 t［ω（{x∈X： M（σ/5）ρ（f）（x）gt;t}）］1/p.（18）

因此， 首先需證明對任意p∈［1，∞）， f∈L∞b（μ）， 有Tα（f）∈Lp，∞（μ）（引理8）， 且對任意R∈（0，∞）， ρ∈［1，∞）， ω∈Aρp（μ）， 有

sup0lt;tlt;R tpω（{x∈X： Tα（f）（x）gt;t}）lt;∞.（19）

對任意固定的x0∈X， 令l∈（2，∞）充分大， 使得f的支集包含在球B（x0，l）中， 且μ（B（x0，l））∈（0，∞）， 再由定義4有ω（B（x0，2l））lt;∞， 因此

sup0lt;tlt;R tpω（{x∈ B（x0，2l）： Tα（f）（x）gt;t}）≤Rpω（B（x0，2l））lt;∞;

另一方面， 對于任意x∈X＼B（x0，2l）， y∈B（x0，l）， d（x，x0）～d（x，y）， 結合式（3）、 Minkowski不等式和式（2）可知， 對α∈（0，1）， 有

Tα（f）（x）∫Xf（y）［λ（x，d（x，y））］1-αdμ（y）

‖f‖L1（μ）［λ（x0，d（x，x0））］1-α‖f‖L1（μ）λ（x0，d（x，x0））.（20）

由μ（X）=∞知， 對于x0∈X， 有

limr→∞ λ（x0，r）≥limr→∞ μ（B（x0，r））=∞，

從而對于任意的t∈（0，∞）， 存在rt∈（0，∞）， 使得

λ（x0，rt）‖f‖L1（μ）t.

若存在 ∈（0，∞）， 使得存在r∈（0，∞）， 有λ（x0，r）‖f‖L1（μ）/， 則對于任意t∈（，∞）和r∈（0，∞）， 有

λ（x0，r）‖f‖L1（μ）t.

此時， 令

t*=inf{∈（0，∞）： λ（x0，r）‖f‖L1（μ）/， r∈（0，∞）}，

反之， 令t*=∞.

若t*=0， 由于λ（x0，r）lt;∞， r∈（0，∞）， 有‖f‖L1（μ）=0， 由此及式（20）表明不存在x∈X＼B（x0，2l）滿足Tαgt;t， 其中t ∈（0，∞）， 因此

suptgt;0 tpω（{x∈X＼B（x0，2l）： Tα（f）（x）gt;t}）=suptgt;0 tpω（）lt;∞.

若t*∈（0，∞］， 則對于任意t∈（0，t*）， 存在rt∈（0，∞）， 使得

λ（x0，rt）‖f‖L1（μ）t，" λx0，rt2lt;‖f‖L1（μ）t，（21）

所以

‖f‖L1（μ）λ（x0，d（x，x0））gt;t，" d（x，x0）lt;rt.（22）

若t*∈（0，∞）， 則對任意t∈［t*，∞）和滿足式（22）的任意x∈X， 可得d（x，x0）=0， 即x=x0.

另一方面， 對于任意x∈X＼B（x0，2l）， 有

1λ（x0，d（x，x0））≤1λ（x0，l），

從而對任意tgt;‖f‖L1（μ）λ（x0，l）， 不存在點x∈X＼B（x0，2l）滿足Tαgt;t.

結合式（20），（1）、 引理3和式（21）可知， 若t* ∈0，‖f‖L1（μ）λ（x0，l）， 則

suptgt;0 tpω（{x∈X＼B（x0，2l）： Tα（f）（x）gt;t}）≤""" supt∈（0，‖f‖L1（μ）/（λ（x0，l））］

tpωx∈X： ‖f‖L1（μ）λ（x0，d（x，x0））gt;t≤""" supt∈（0，t*）

tpω（B（x0，rt））+supt∈［t*，‖f‖L1（μ）/（λ（x0，l））］ tpω（{x0}）""" 1+supt∈（0，t*）， rt∈（0，l］

tpω（B（x0，rt））+supt∈（0，t*）， rt∈（l，∞） tpω（B（x0，rt））""" 1+supt∈（0，t*）， rt∈（l，∞） tpω（B（x0，l））

μ（B（x0，5ρrt））μ（B（x0，l））p""" 1+ω（B（x0，l））1μ（B（x0，l））p

supt∈（0，t*）， rt∈（l，∞） tpλ（x0，rt2p

""" 1+ω（B（x0，l））1［μ（B（x0，l））］plt;∞;

若t*∈‖f‖L1（μ）λ（x0，l），∞， 則

suptgt;0 tpω（{x∈X＼B（x0，2l）： Tα（f）（x）gt;t}）≤""" supt ∈（0，‖f‖L1（μ）/（λ（x0，l））］

tpωx∈X： ‖f‖L1（μ）λ（x0，d（x，x0））gt;t

""" supt∈（0，‖f‖L1（μ）/（λ（x0，l））］， rt∈（0，l］tpω（B（x0，rt））+supt∈（0，‖f‖L1（μ）/（λ（x0，l））

］， rt∈（l，∞） tpω（B（x0，rt））""" 1+supt∈（0，‖f‖L1（μ）/（λ（x0，l））］， rt∈（l，∞） tp

ω（B（x0，l））μ（B（x0，5ρrt））μ（B（x0，l））p""" 1+ω（B（x0，l））1μ（B（x0，l））p

supt∈（0，‖f‖L1（μ）/（λ（x0，l））］， rt∈（l，∞） tpλx0，rt2p

""" 1+ω（B（x0，l））1［μ（B（x0，l））］plt;∞.

因此式（19）成立.

下證式（18）成立. 設σ∈［25，30］， 根據引理4中1）、 引理2中1）（其中s1=β-130ρ/4， p0=1）、 式（11）和引理9， 有

suptgt;0 t［ω（{x∈X： Tα（f）（x）gt;t}）］1/p" suptgt;0 t［ω（{x∈X： Mσ，ρ

0，s1（Tα（f））（x）gt;t}）］1/p" suptgt;0 t［ω（{x∈X： Mσ，ρ;#0，s2（Tα（f））（x）gt;t}）］1/p

suptgt;0 t［ω（{x∈X： Mσ，ρ;#r（Tα（f））（x）gt;t}）］1/p

suptgt;0 t［ω（{x∈X： M（σ/5）ρ（f）（x）gt;t}）］1/p.（23）

從而情形1）得證.

情形2） μ（X）lt;∞. 設σ∈［25，30］， 根據引理4中1）、 引理2中2）（其中s1=β-130ρ/4， p0=1）和引理9， 有

suptgt;0 t［ω（{x∈X： Tα（f）（x）gt;t}）］1/p" suptgt;0 t［ω（{x∈X： Mσ，ρ0，s

（Tα（f））（x）gt;t}）］1/p" suptgt;0 t［ω（{x∈X： Mσ，ρ;#0，s1（Tα（f））（x）gt;t}）］1/p

+" ［ω（X）］1/p［μ（X）］-1‖Tα（f）‖L1，∞（μ）∶=B1+B2.

類似式（23）， 得

B1suptgt;0 t［ω（{x∈X： M（σ/5）ρ（f）（x）gt;t}）］1/p.

對于B2， 首先有

1μ（X）∫Xf（y）dμ（y）=limrB→∞

1μ［（σ/5）ρB］∫Bf（y）dμ（y）≤infx∈X M（σ/5）ρ（f）（x），

再由引理8可得

［ω（X）］1/p［μ（X）］-1‖Tα（f）‖L1，∞（μ）

［ω（X）］1/p［μ（X）］-1‖f‖L1（μ）

［ω（X）］1/pinfx∈X M（σ/5）ρ（f）（x）suptgt;0 t

［ω（{x∈X： M（σ/5）ρ（f）（x）gt;t}）］1/p.

因此， 情形2）成立. 證畢.

定理2" 在定理1的條件下， 并假設ω滿足加權積分條件， 則Tα（f）從Lp，κ，η（ω）到WLp，κ，η（ω）上有界， 即

supBsuptgt;0 1［ω（ηB）κ/p］ t［ω（{x∈X：

Tα（f）（x）gt;t}）］1/p‖f‖Lp，κ，η（ω），

其中κ∈（0，1）， η∈（1，∞）.

證明： 若p∈（1，∞）， 則對于一個固定的球BX， 令f=f1+f2， 其中f1∶=fχ2B. 根據引理7， 只需證明η=6的情形. 對于任意t∈（0，∞）， 有

1［ω（6B）］κtpω（{x∈B： Tα（f）（x）gt;t}）≤" 1［ω（6B）］κtpω

x∈B： Tα（f1）（x）gt;t2+" 1［ω（6B）］κ

tpωx∈B： Tα（f2）（x）gt;t2∶=J1+J2.

對于J1， 由定理1得

J1≤" 1［ω（6B）］κtpωx∈X： Tα（f1）（x）gt;t2" 1［ω（6B）］κ∫2Bf（x）pω（x）dμ（x）‖f‖pLp，κ，η（ω）.

下證J2成立. 對任意x∈B， y∈（2B）c， d（cB，y）～d（x，y）， 結合式（5）、 Minkowski不等式、 式（3）、 式（2）、 Hlder不等式， 式（8），（6），（1），（7）， 有

J2≤" 1［ω（6B）］κ∫BTα（f2）（x）pω（x）dμ（x）=

1［ω（6B）］κ∫B∫XKα（x，y）f2（y）dμ（y）pω（x）dμ（x）

" 1［ω（6B）］κ∫B∫Xf2（y）［λ（x，d（x，y））］1-αdμ（y）pω（x）dμ（x）" 1［ω（6B）］κ∫B∫d（cB，y）≥2rBf（y）［λ（cB，d（cB，y））］1-αdμ（y）

pω（x）dμ（x）" ∫d（cB，y）≥2rBf（y）［λ（cB，d（cB，y））］1-αdμ（y）p［ω（6B）］1-κ

" ∑∞j=1∫2jrB≤d（cB，y）≤2j+1rBf（y）［λ（cB，d（cB，y））］1-αdμ（y）

p［ω（6B）］1-κ" ∑∞j=11［λ（cB，2jrB）］1-α

∫2j+1Bf（y）dμ（y）p［ω（6B）］1-κ" ∑∞j=11［λ（cB，2jrB）］1-

α∫2j+1Bf（y）pω（y）dμ（y）1/p×

∫2j+1B［ω（y）］1-p′dμ（y）（p-1）/pp［ω（6B）］1-κ

∑∞j=1［ω（2j+16B）］κ/p［λ（cB，2jrB）］1-α

1［ω（2j+16B）］κ∫2j+1Bf（y）pω（y）dμ（y）1/p×

∫2j+16B［ω（y）］1-p′dμ（y）（p-1）/pp［ω（6B）］1-κ

∑∞j=1［ω（2j+16B）］κ/p［λ（cB，2jrB）］1-α‖f‖Lp，κ，η（ω）μ（2j+1ρ6B）

［ω（2j+16B）］1/pp［ω（6B）］1-κ" ‖f‖pLp，κ，η（ω）

∑∞j=1［ω（2j+16B）］κ/pλ（cB，2jrB）μ（2j+1ρ6B）［ω（2j+16B）］1/p

p［ω（6B）］1-κ" ‖f‖pLp，κ，η（ω）∑∞j=1［ω（6B）］（1-κ）/p

［ω（2j+16B）］（1-κ）/pp‖f‖pLp，κ，η（ω）.

從而當p∈（1，∞）時， 結論成立.

當p=1時， 證明過程類似， 需用到ω∈A1（μ）的性質， 這里略. 證畢.

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（責任編輯： 趙立芹）