梯度Ricci-Yamabe孤立子的一些剛性結(jié)果

摘要： 應(yīng)用散度定理及一些Riemann流形上的重要不等式， 并結(jié)合幾何分析的方法研究緊致

梯度Ricci-Yamabe孤立子的剛性問題， 在適當(dāng)?shù)臈l件下得到非平凡緊致梯度Ricci-Yamabe孤立子與歐氏球面等距的剛性結(jié)果.

此外， 在數(shù)量曲率為正的假設(shè)下， 證明滿足Ln/2-積分拼擠條件的n（4≤n≤6）維緊致梯度收縮Ricci-Yamabe孤立子一定是Einstein流形.

關(guān)鍵詞： 梯度Ricci-Yamabe孤立子; 剛性; 積分拼擠條件; 數(shù)量曲率

中圖分類號(hào)： O186.12" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" 文章編號(hào)： 1671-5489（2024）03-0586-07

Some Rigidity Results of Gradient Ricci-Yamabe Solitons

LI Yunchao， LIU Jiancheng

（College of Mathematics and Statistics， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： By using the divergence theorem and some important inequalities on Riemannian manifolds， combined with" the method of geometric analysis， we

studied rigidity problems of compact gradient Ricci-Yamabe solitons， and obtained rigidity result of the nontrivial compact gradient Ricci-Yamabe solitons being equidistant from Euclidean sphere under appropria

te conditions. In addition， under the assumption of positive scalar curvature， we proved that n（4≤n≤6） dimensional compact gradient shrinking Ricci-Yamabe so

litons that satisfied Ln/2 integral pinched condition must be Einstein manifolds.

Keywords： gradient Ricci-Yamabe soliton; rigidity; integral pinched condition; scalar curvature

收稿日期： 2023-07-26." 網(wǎng)絡(luò)首發(fā)日期： 2024＼|02＼|23.

第一作者簡(jiǎn)介： 李云超（1998—）， 男， 漢族， 碩士研究生， 從事微分幾何的研究， E-mail： 2898774673@qq.com.

通信作者簡(jiǎn)介： 劉建成（1968—）， 男， 漢族， 博士， 教授， 博士生導(dǎo)師， 從事微分幾何的研究， E-mail： liujc@nwnu.edu.cn.

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)： 12161078）.

網(wǎng)絡(luò)首發(fā)地址： https：//link.cnki.net/urlid/22.1340.o.20240221.1637.003.

1" 引言及主要結(jié)果

Hamilton［1］創(chuàng)建了Ricci流理論， 并提出了可用其作為破解龐加萊猜想的解析方法， 而Ricci孤立子即為Ricci流的自相似解.

Pigola等［2］提出了近Ricci孤立子的概念， 并研究了梯度近Ricci孤立子的剛性， 即得到了其與Sn或

瘙 綆 n等距的結(jié)果.

Catino［3］證明了滿足Ln/2-積分拼擠條件的n（4≤n≤6）維緊致梯度收縮Ricci孤立子等距于歐氏球面Sn的商. Dwivedi［4］基于近Ricci孤立子， 引入了近Ri

cci-Bourguignon孤立子的概念， 并給出了它與歐氏球面Sn等距的條件， 得到了一些剛性結(jié)果， 這些結(jié)果推廣了之前近Ricci孤立子的部分相應(yīng)結(jié)果.

特別地， 梯度Ricci-Bourguignon孤立子也稱為梯度ρ-Einstein孤立子［4］. 文獻(xiàn)［5］證明了非平凡緊致梯度ρ-Einstein孤立子等距于歐氏球

面Sn; Huang［6］證明了緊致梯度收縮ρ-Einstein孤立子在積分拼擠條件下的一些剛性結(jié)果.

Güler等［7］首次給出了Ricci-Yamabe流的概念， 從而引入了近Ricci-Yamabe孤立子.

設(shè)（Mn，g）為n維Riemann流形， 若存在λ∈C∞（M）及V∈X（M）， 使得

LVg+2αRic=（2λ-βR）g，

則（Mn，g）稱為近Ricci-Yamabe孤立子［8］， 記為（Mn，g，V，λ，α，β）， 其中α，β∈

瘙 綆 ， Ric表示Mn的Ricci曲率張量，

R表示數(shù)量曲率， LVg表示度量g沿V方向的李導(dǎo)數(shù). V稱為孤立子場(chǎng)， λ稱為孤立子函數(shù). 若孤立子場(chǎng)V可表示為一個(gè)光滑函數(shù)f： Mn

→

瘙 綆 的梯度， 即V=f， 則Mn稱為梯度近Ricci-Yamabe孤立子， 簡(jiǎn)記為（Mn，g，f，λ，α，β）. 此時(shí)孤立子方程變?yōu)?/p>

2f+αRic=λ-12βRg.（1）

特別地， 若λ為常值函數(shù)， 則（Mn，g，f，λ，α，β）即為梯度Ricci-Yamabe孤立子.

當(dāng)λgt;0（λ=0或λlt;0）時(shí)， （Mn，g，f，λ，α，β）稱為收縮（穩(wěn)定或擴(kuò)張）的梯度Ricci-Yamabe孤立子. 此外， 當(dāng)f為常數(shù)時(shí)， 則稱孤立子是平凡的.

近年來(lái)， 對(duì)近Ricci-Yamabe孤立子的研究備受關(guān)注， 其中文獻(xiàn)［8］分別證明了具有非平凡共形向量場(chǎng)的緊致近Ricci-Yamabe孤立子和

具有非負(fù)數(shù)量曲率且勢(shì)向量場(chǎng)為非平凡共形向量場(chǎng)的完備梯度近Ricci-Yamabe孤立子等距于歐氏球面Sn.

特別地， 文獻(xiàn)［8］還證明了具有常數(shù)量曲率的非平凡緊致梯度近Ricci-Yamabe孤立子等距于歐氏球面Sn.

顯然， 該結(jié)論對(duì)梯度Ricci-Yamabe孤立子也成立. 本文探討梯度Ricci-Yamabe孤立子具有常數(shù)量曲率的充分條件， 得到如下結(jié)果.

定理1" 設(shè)（Mn，g，f，λ，α，β）是n（n≥3）

維非平凡緊致梯度Ricci-Yamabe孤立子， 若α{0，-nβ/2}， 則Mn有常數(shù)量曲率， 進(jìn)而Mn等距于歐氏球面Sn.

文獻(xiàn)［3］證明了n（4≤n≤6）維緊致梯度收縮Ricci孤立子在積分拼擠條件

（n-4）2（n-1）8（n-2）λV（M）2/n+∫MW+2

n（n-2）Rcgn/2dvg

2/nlt;n-232（n-1）Y（M，［g］）

下等距于歐氏球面Sn的商， 其中表示Kulkarni＼|Nomizu積. 文獻(xiàn)［6］在上述相同積分拼擠條件下得到了n（4≤n≤6）維緊致梯度收縮ρ

-Einstein孤立子等距于歐氏球面Sn的商的結(jié)果. 受此啟發(fā)， 本文在Ricci-Yamabe孤立子上考慮類似的問題， 得到如下結(jié)果.

定理2" 設(shè)（Mn，g，f，λ，α，β）是具有正數(shù)量曲率的n（4≤n≤6）維緊致梯度收縮Ricci-Yamabe孤立子，

其中αgt;0， β≥0， 若

（n-4）2（n-1）8α2（n-2）λV（M）2/n+" ∫MW2+

8n（n-2）Rc2n/4dvg2/nlt;n-232（n-1）Y（M，［g］），（2）

則（Mn，g）是Einstein流形.

2" 預(yù)備知識(shí)及引理

約定本文出現(xiàn)的重復(fù)指標(biāo)均理解為對(duì)該指標(biāo)從1到n求和， 并省略求和符號(hào). 設(shè){ei}ni=1是Riemann流形（Mn，g）的局部標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架場(chǎng)， 并記標(biāo)架下

Riemann曲率張量的分量為Rijkl.于是， Ricci曲率張量Ric的分量表示為

Rik=Ric（ei，ek）=gjlRijkl，

數(shù)量曲率R表示為

R=gikRik=gikgjlRijkl，

無(wú)跡Ricci曲率張量Rc定義［9］為

Rc=Ric-Rng，

其分量表示為

ij=Rij-Rngij，（3）

從無(wú)跡Ricci曲率張量的定義可見， （Mn，g）是Einstein流形當(dāng)且僅當(dāng)Rc恒為0.

先后縮并第二Bianchi恒等式（Rhilj，k+Rhijk，l+Rhikl，j=0）中的指標(biāo)h，l和指標(biāo)i，j， 可得

Rik，i=12R，k，（4）

再結(jié)合無(wú)跡Ricci曲率張量的定義式（3）可得

Rjkil，l=ij，k-ik，j+R，kngij-R，jngik，（5）

ik，i=n-22nR，k.（6）

Weyl共形曲率張量W定義［10］為

Wijkl=Rijkl-1n-2（Rikgjl+Rj

lgik-Rilgjk-Rjkgil）+R（n-1）（n-2）（gikgjl-gilgjk），（7）

將式（7）與無(wú)跡Ricci張量的定義式（3）結(jié)合有

Rijkl=Wijkl+1n-2（ikgjl+jlgik-ilgjk-

jkgil）+Rn（n-1）（gikgjl-gilgjk）.（8）

設(shè)u是Riemann流形（Mn，g）（n≥3）上任意局部的Lipschitz函數(shù)， F是其上的任意光滑函數(shù)， 則Mn上加權(quán)Laplace算子ΔF定義［9］為

ΔFu=Δu-〈u，F(xiàn)〉=eFdiv（e-Fu）.

（Mn，g）的Yamabe不變量Y（M，［g］）定義［3］為

Y（M，［g］）=4（n-1）n-2infu∈W1，2（M）∫M

u2dvg+n-24（n-1）∫MRu2dvg∫Mu2nn-2dvg（n-2）/n.

由文獻(xiàn)［6］可知在數(shù)量曲率為正的假設(shè)下， Ricci-Yamabe孤立子的Yamabe不變量Y（M，［g］）gt;0. 因此， 在Ricci-Yamabe孤立子上， 對(duì)任意u∈W1，2（M）

， 成立如下Yamabe-Sobolev不等式：

n-24（n-1）Y（M，［g］）∫Mu2nn-2dv

g（n-2）/n≤∫Mu2dvg+n-24（n-1）∫MRu2dvg.（9）

引理1［8］" 設(shè)（Mn，g，f，λ，α，β）（n≥3）是非平凡緊致梯度Ricci-Y

amabe孤立子， 其中α≠0， 若Mn有常數(shù)量曲率， 則（Mn，g，f，λ，α，β）等距于歐氏球面Sn.

引理2" 若（Mn，g，f，λ，α，β）是梯度Ricci-Yamabe孤立子， 則下列各式成立：

2Δf+（2α+nβ）R=2nλ，（10）

ij=λα-βR2α-Rngij-1αf，ij，（11）

αij，k-αik，j=Rjkilf，l-β2R，k+αnR，kgij+β2R，j+αnR，jgik，（12）

α2R，ij=（1-n）β2R，ij+il，jf，l+ilf，jl+R，jnf，i+Rnf，ji.（13）

證明： 對(duì)式（1）求跡即可得式（10）. 根據(jù)式（1）及無(wú)跡Ricci張量的定義即證得式（11）. 為證式（12）， 由式（1）易見

f，ijk+αRij，k=-β2R，kgij，

應(yīng)用Ricci恒等式得

f，ikj-f，ijk=Rjkilf，l=-β2R，jgik-αRik，j+β2R，kgij+αRij，k，

再結(jié)合無(wú)跡Ricci張量的定義即證得式（12）.

根據(jù)式（1）和Ricci恒等式得

αRik，i=-β2R，k-（Δf）k-Rklf，l.（14）

將式（10）代入式（14）所得結(jié)果再結(jié)合式（4）進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算， 得

α2R，k=（1-n）β2R，k+Rklf，l.（15）

對(duì)式（15）兩邊再次求協(xié)變微分， 得

α2R，kj=（1-n）β2R，kj+Rkl，jf，l+Rklf，lj.

由無(wú)跡Ricci張量的定義即證得式（13）. 證畢.

引理3" 若（Mn，g，f，λ，α，β）是n（n≥4）維梯度Ricci-Yamabe孤立子， 則

12ΔfRc2=" Rc2+（2-n）β2αijR，ij+1α-1ijij，lf，l-2ijklWjkil

+" 4n-2ijiljl+2λα-βR2α-Rn+

Rn（n-1）Rc2.（16）

證明： 根據(jù)加權(quán)Laplace算子的定義直接計(jì)算， 得

12ΔfRc2=12ΔRc2-12〈Rc2，f〉=Rc2+ij

ij，kk-ijij，kf，k.（17）

對(duì)式（17）右端第二項(xiàng)應(yīng)用式（12）有

ijij，kk=" ijik，j+1αRjkil

f，l-1αβ2R，k+αnR，kg

ij+1αβ2R，j+αnR，jgikk

=" ijik，jk+1αijRjkil，kf，l+1αijRjkilf，lk

+β2αjkR，jk+1njkR，jk.（18）

進(jìn)一步， 對(duì)式（18）右端第一項(xiàng)應(yīng)用Ricci恒等式， 得

ijik，jk=ijik，kj+

ijklRkjil+ijilRkjkl.（19）

結(jié)合式（5）， 式（18）右端第二項(xiàng)即為

1αijRjkil，kf，l=" 1αijji，l+

R，lngji-jl，i-R，ingjlf，l

=" 1αijji，lf，l-

ijjl，if，l-1nilR，if，l.（20）

將式（19），（20）代入式（18）， 并結(jié)合式（6）和式（11）得

ijij，kk=" 12ijR，ij+ij

iljl+ijijRn-2ijlkRjkil

+" 1αijji，lf，l-ijjl，if，l-1nR，ii

lf，l+" λα-βR2α-RnRc2+β2αjkR，jk.（21）

將式（13）代入式（21）右端第一項(xiàng)， 再將所得結(jié)果代入式（17）， 可得

12ΔfRc2=Rc2+（2-n）β2

αijR，ij+2λα-βR2α-RnRc2

-" 2ijlkRjkil+1α-1ijij，lf，l.（22）

最后， 將式（8）和式（22）結(jié)合即完成證明.

引理4［3］" 設(shè)（Mn，g）是n（≥4）維Riemann流形， 則

-Wijklikjl+2n-2ijikjk

≤n-22（n-1）W2+8n（n-2）Rc

212Rc2.

3" 主要結(jié)果的證明

3.1" 定理1的證明

由梯度Ricci-Yamabe孤立子方程可知

f，ij+αRij=λ-12βRgij，（23）

由Ricci恒等式有

Δ（f，i）=（Δf）i+Rijf，j.（24）

對(duì)式（24）左邊結(jié)合式（23）可得

Δ（f，i）=（f，ij）j=-αRij+λ-12βRgijj

=-12αR，i-12βR，i，（25）

對(duì)式（24）右邊第一項(xiàng)結(jié)合式（10）可得

（Δf）i=-12（2α+nβ）R+nλi=-α-12nβR，i，（26）

將式（25），（26）代入式（24）得

-12α-12βR，i=-α-12

nβR，i+Rijf，j.（27）

對(duì)式（27）兩邊求協(xié)變導(dǎo)數(shù)即有

-12α-12βR，il=-α-12nβR

，il+Rij，lf，j+Rijf，jl，

再求跡得

12α+（n-1）βΔR=12〈R，f〉+RnΔf，

即

n2（α+（n-1）β）ΔR=n2〈R，f〉+RΔf.（28）

對(duì)式（28）在Mn上積分并使用散度定理， 有

∫MRΔfdvg=∫Mn2（α+（n-1）β）ΔRdvg-

n2∫M〈R，f〉dvg=n2∫MRΔfdvg.（29）

由于n≥3， 故式（29）成立當(dāng)且僅當(dāng)

∫MRΔfdvg=0.（30）

結(jié)合式（10）， 式（30）即為

∫MRΔfdvg=∫MR-12（2α+nβ）R+nλdvg=0，

改寫成

-2α+nβ2∫MRR-22α+nβnλdvg=0.（31）

另一方面， 將式（10）在Mn上積分并使用散度定理， 得

-2α+nβ2∫MR-22α+nβnλdvg=0.（32）

由于假設(shè)α≠-nβ2， 故由式（31），（32）有

∫MR-2nλ2α+nβ2dvg=0，

因此R=2nλ2α+nβ. 即數(shù)量曲率為常數(shù)， 再由引理1可知Mn等距于Sn. 定理1證畢.

3.2" 定理2的證明

將式（10）在Mn上積分并結(jié)合式（9）， 可得

λV（M）2/n=2α+nβ2nV（M）（2-n）/n∫MRdvg≥

2α+nβ2nY（M，［g］）≥αnY（M，［g］），

其中V（M）=∫Mdvg. 因此當(dāng)n≥7時(shí)， 積分拼擠條件式（2）不成立.

由式（16）及Kato不等式Rc2≥Rc2知，

0≥" -12ΔfRc2+Rc2+（2-n）β2αijR，ij+1α-1ijij，lf，l-

2ijklWjkil+4n-2ijil

jl+2λα-βR2α-Rn+Rn（n-1）Rc2.（33）

對(duì)式（33）應(yīng)用引理4并在Mn上積分， 再注意到

-12∫MΔfRc2dvg=

-12∫M（ΔRc2-〈Rc2，f〉）

dvg=-12∫M（ΔRc2-（div（Rc

2f）-Rc2Δf））dvg=-12∫MRc2Δfdvg，

1α-1∫Mijij，lf，ldvg

=" 12α-12∫M〈Rc2，f〉dvg

=" 12α-12∫M（div（Rc

2f）-Rc2Δf）dvg=

12-12α∫MRc2Δfdvg，

有

0≥" -12α∫MRc2Δfdvg+∫MRc2

dvg+（2-n）β2α∫MijR，ijdvg-" 2（n-2）n-1∫MW

2+8n（n-2）Rc21/2Rc2dvg

+" 2λα∫MRc2 dvg+-βα-2n+2n（n-1）

∫MRRc2dvg.（34）

將式（34）右端第三項(xiàng)與式（6）相結(jié)合， 得

（2-n）β2α∫MijR，ijdvg=

（n-2）2β4αn∫MR2dvg，（35）

再將式（10）代入式（34）， 并結(jié)合式（35）， 式（34）變?yōu)?/p>

0≥" -n-42αλ∫MRc2

dvg+∫MRc2dvg

+（n-2）2β4αn∫MR2dvg-" 2（n-2）n-1∫MW

2+8n（n-2）Rc21/2Rc

2dvg+" 2α+nβ4α-βα-2n

+2n（n-1）∫MRRc2dvg.（36）

對(duì)式（36）右端第一、 第二、 第四項(xiàng)分別有如下估計(jì). 首先根據(jù)式（9）得

∫MRc2dvg≥" n-24（n-1）Y（M，［g］）∫MRc

2n/（n-2）dvg（n-2）/n-" n-24（n-1）∫MRRc2dvg.（37）

應(yīng)用Hlder不等式有

∫MRc2dvg≤V（M）2/n∫MRc2n/（n-2）

dvg（n-2）/n.（38）

∫MW2+8n（n-2）Rc2

1/2Rc2dvg≤""""" ∫MW2+8n（n-2）Rc2n/4dvg2/n∫M

Rc2n/（n-2）dvg（n-2）/n.（39）

將式（37）～（39）代入式（36）， 得

0≥" -n-42αV（M）2/n∫MRc2n/（n-2）dvg（n-2）/n

+n-24（n-1）Y（M，［g］）∫MRc2n/（n-2）dvg（n-2）/n

-" 2（n-2）n-1∫MW2+8n（n-2）Rc2

n/4dvg2/n∫MRc2n/（n-2）dvg（n-2）/n+

-n-24（n-1）+2α+nβ4α-βα-2n+2n（n-1）×

∫MRRc2dvg+（n-2）2β4αn∫MR2dvg.（40）

顯然

-n-24（n-1）-2n+2n（n-1）+12=（n-4）24n（n-1）≥0，

nβ4α-βα≥0.

由定理2假設(shè)條件及式（40）可得

0≥-n-42αV（M）2/n+n-24（n-1）Y（M，［g］）-

2（n-2）n-1∫MW2+8n（n-2）Rc2n/4

dvg2/n∫MRc2n/（n-2）dvg（n-2）/n.（41）

最后由式（41）再結(jié)合條件式（2）知Rc=0， 即（Mn，g）是Einstein流形. 定理2得證.

參考文獻(xiàn)

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（責(zé)任編輯： 趙立芹）