幾類量子BCH碼的構造

蒲可莉 廖群英

摘要：量子糾錯碼可以有效地克服量子消相干，是實現量子計算的關鍵技術.量子糾錯碼可以利用滿足特定關系的經典糾錯碼來進行構造.BCH碼作為一類距離可設計的特殊循環碼，具有很好的代數結構，所以可以用來構造量子BCH碼.首先給出有限域Fq（q為素數方冪）上模n分圓陪集是單元集的等價刻畫和性質.然后利用CSS構造和Steane構造得到兩類有限域Fq上的新的量子BCH碼，最后將分圓陪集的相關結果推廣到有限域Fq2上，并利用Hermitian構造得到一類量子BCH碼.

關鍵詞：分圓陪集; CSS構造; Steane構造; Hermitian構造; 量子BCH碼

中圖分類號：O236.2? 文獻標志碼：A? 文章編號：1001-8395（2024）05-0689-07

doi：10.3969/j.issn.1001-8395.2024.05.015

1994年，Shor[1]提出了計算效率高的量子算法，用于大數分解和計算離散對數，基于這些算法，量子計算機的所有者可以破解公鑰密碼系統.1997年，Grover[2]提出了一種量子算法用于搜索非結構化數據庫，它比經典的搜索算法速度更快.這些成果使得量子算法的性能受到了廣泛關注.然而，量子系統和環境之間并不是完全孤立的，量子計算機的量子態與外部環境發生相互作用，破壞量子態間的相干性，從而導致量子消相干現象.環境中的噪聲將純糾纏態變成混合態，導致傳輸的量子信息出錯.所以若要量子計算機或長距離量子通信成為現實，則必須克服消相干現象帶來的影響.量子糾錯碼正是解決量子消相干的主要方式之一.1995—1996年，Shor等[3-4]得到了7個和9個量子位的量子糾錯碼，證明了可以通過對信息增加冗余來對量子系統進行編碼，這是量子糾錯碼的最早例子.同經典糾錯碼理論一樣，構造具有良好參數的量子糾錯碼十分重要.在Shor[3]，Steane[5-6]和Calderbank等[7]的工作之后，量子糾錯碼理論在近20年來得到了迅速的發展.眾所周知，利用CSS構造，Steane構造以及Hermitian構造可以將量子碼與有限域上的經典線性碼建立很好的對應關系，從而可以利用某些滿足特定性質的經典線性碼來構造量子糾錯碼.在經典編碼理論中，循環碼具有良好的代數結構和循環特性，便于編碼和譯碼，所以應用廣泛.因此，很多人開始研究如何利用循環碼來構造參數優良的量子碼.例如：Calderbank等[7]利用有限域上的經典加性碼構造了一批二元量子BCH碼，隨后將該結構推廣到了有限域上的任何非二元量子BCH碼[8];文獻[9-15]利用有限域上參數不同的經典BCH碼，得到了一系列參數優的量子BCH碼.此外，一些學者基于有限域上的負循環碼和常循環碼，分別在文獻[16-19]中構造了具有不同碼長的量子負循環碼和量子常循環碼.

CSS構造、Steane構造以及Hermitian構造是3種常見的量子碼構造方法，其關鍵是構造相應參數的經典線性碼使其滿足對偶包含或自正交條件.而BCH碼的正交性可通過其定義集來刻畫.因此，利用BCH碼來構造參數優良的量子BCH碼，依賴于分圓陪集的選擇.所以，本文以有限域上的分圓陪集為工具，證明了一些特殊碼長的經典BCH碼是對偶包含碼.最后，利用CSS構造，Steane構造以及Hermitian構造得到了一系列的量子BCH碼.

為敘述方便，我們先對本文出現的一些符號作如下說明：

1） q表示素數方冪，Fq表示q個元素的有限域，Fq[x]表示Fq上的多項式環;

2） 對任意a，b∈Z，（a，b）表示a與b的最大公因子;

3） 對任意實數y，「y表示不小于y的最小整數.

1 預備知識

設n為正整數，參數為[n，k，d]的線性碼C是Fnq的k維子空間，其中，n為碼長，k為維數，d為最小漢明距離.本文總假設（n，q）=1，稱使得qm≡1（mod n）成立的最小正整數m為q模n的乘法階，記為m=ordn（q）.

定義 1.1 對任意的i∈Z+，有限域Fq上包含i的模n的分圓陪集定義為

Ci={i，iq，…，iqli-1（mod n）}，

其中，li是使得iqli≡i（mod n）成立的最小正整數，Ci中的最小元素稱為Ci的陪集代表元.

性質 1.2 Fq中的分圓陪集滿足以下性質：

1） |Ci||ordn（q）;

2） 對任意分圓陪集Ci和Cj，有Ci≠Cj當且僅當i≠jqz（mod n），其中z∈Z+.

定義 1.3 參數為[n，k，d]的q元線性碼C叫作循環碼，是指若c=（c0，c1，…cn-1）∈C，則有c′=（cn-1，c0，…cn-2）∈C.若將c=（c0，c1，…cn-1）表示成多項式c（x）=∑n-1i=0cixi，則碼長為n的q元循環碼可以看成是商環Fq[x]/（xn-1）的理想.熟知Fq[x]/（xn-1）的理想都是主理想，故循環碼C也可表示成C=〈g（x）〉，其中g（x）是xn-1在Fq[x]中的首一多項式因式.稱g（x）為循環碼C的生成多項式，而h（x）=xn-1g（x）稱為C的校驗多項式，并且k=deg（h（x））.

設α是Fqm的本原元，令β=αqm-1n，則C的定義集定義為D={0≤i≤n-1|g（βi）=0}.

蒲可莉，等：幾類量子BCH碼的構造

定義 1.4 設α是Fqm的本原元，β=αqm-1n.對任意正整數b和δ（2≤δ≤n-1），以多項式

g（q，n，δ，b）（x）=lcm（Mb（x），Mb+1（x），…，Mb+δ-2（x））

為生成多項式的循環碼叫作碼長為n，設計距離為δ的BCH碼，記為C（q，n，δ，b），其中，Mi（x）為βi（b≤i≤b+δ-2）

433≥5[[732，710，d≥5]]≈0.97

655≥7[[1 098，1 064，d≥7]]≈0.97

現在，利用Steane構造方法構造Fq上碼長n=rqm-1q-1的量子BCH碼，即如下的定理.

定理 3.3

設n=rqm-1q-1，ordn（q）=m是奇素數.若2≤t≤q-1，1≤c≤t-1，

則存在Fq上參數為[[n，n-m（c+t），dq]]的量子BCH碼，其中dq≥min{t+1，「（q+1）（c+1）q}.

證明 設α是Fqm的本原元，令β=αqm-1n，則β是n次本原單位根.由2≤t≤q-1及引理2.2可知，Ci∩Cj=，其中1≤i≠j≤t.

設q元BCH碼

C1=[n，k1，d1]=〈∏ti=1∏s∈Ci（x-βs）〉（9）

和

C2=[n，k2，d2]=〈∏cj=1∏s∈Cj（x-βs）〉，?（10）

則分別由C1和C2的生成多項式以及BCH界可得

d1≥t+1，（11）

d2≥c+1.（12）

由于m是奇素數，由性質1.2可得|Ci|=1或者m，其中1≤i≤t.

令d=（qm-1q-1，q-1r），與定理3.2的證明類似，同樣可得d≤m.又2≤t≤q-1且1≤c≤t-1，所以

1≤c

故由引理2.1可得|Ci|=m.進而，由（9）和（10）式以及Ci∩Cj=可得

k1=n-mt， k2=n-mc.（13）

另由（9）式可知C1的定義集為D1=∪ti=1Ci.由于2≤t≤q-1，故由引理2.3可得D1∩D-11=，從而C1⊥C1.由于（n-mc）-（n-mt）>2，故C2是C1的擴展碼，因此

C1⊥C1C2.（14）

最后，由Steane構造法以及（11）～（14）式可得，存在參數為[[n，n-m（c+t），dq]]的q元量子BCH碼，其中dq≥min{t+1，「（q+1）（c+1）q}.

例 2 設q=13，m=3，根據定理3.3可以得到不同參數的量子BCH碼.結果如下：

rctd[[n，k，d]]kn

112≥3[[57，48，d≥3]]≈0.84

223≥4[[114，99，d≥4]]≈0.87

334≥5[[171，150，d≥5]]≈0.88

656≥7[[342，309，d≥7]]≈0.90

推論 3.4 設n=r（q3-1q-1），且ordn（q）=3.若r≠2，則存在參數為[[n，n-5，3]]的q元量子BCH碼.

證明 由n=r（q3-1q-1）以及q3≡1（mod n）可得，Cq2+q={q+1，q2+1，q2+q}，Cq2+q+1={q2+q+1}，因此Cq2+q∩Cq2+q+1=.

設β是Fq3的n次本原單位根.現考慮q元BCH碼

C1=[n，k1，d1]=〈∏s∈Cq2+q∪Cq2+q+1（x-βs）〉?（15）

及

C2=[n，k2，d2]=〈∏s∈Cq2+q+1（x-βs）〉.

由于

Cq2+q∪Cq2+q+1={q+1，q2+1，

q2+q，q2+q+1}，

且Cq2+q+1={q2+q+1}，

故由（15）和（16）式分別可得C1=[n，n-4，d1]，C2=[n，n-1，d2]，其中d1≥3，d2≥2.

因為（n-1）-（n-4）>2，所以C2是C1的擴展碼.進而，由（15）式可知C1的定義集為

D1=Cq2+q∪Cq2+q+1={q+1，q2+1，q2+q，q2+q+1}.

又D-11={-i（mod n）|i∈D1}，所以

D-11={rq2+（r-1）q+r-1，

（r-1）q2+rq+r-1，（r-1）q2+（r-1）q+r，（r-1）q2+（r-1）q+r-1}.

由于r≠2，故D1∩D-11=，從而C1⊥C1.

綜上，由Steane構造可得參數為[[n，n-5，d]]的q元量子BCH碼，其中d≥3.

若d>3，則n-5+2d-2>n，這與量子碼的Singleton界相矛盾.故存在參數為[[n，n-5，3]]的q元量子BCH碼.

最后，令Q=q2，利用Hermitian方法來構造碼長n=rQm′-1Q-1的Q元量子BCH碼，即如下定理.

定理 3.5 設n=rQm′-1Q-1，ordn（Q）=m′>3是奇素數.若1≤t≤Q-1，則存在參數為[[n，n-2m′t，dQ]]的Q元量子BCH碼，其中dQ≥t+1.

證明 設α是FQm′的本原元，令β=αQm′-1n，則β是n次本原單位根.因為1≤t≤Q-1，故由推論2.5可得Ci∩Cj=，其中1≤i≠j≤t.設C=[n，k，dC]是FQ上生成多項式為

g（x）=∏ti=1∏s∈Ci（x-βs）（17）

的BCH碼，則C的定義集為

DC=∪ti=1Ci.（18）

顯然，由BCH界可得

dC≥t+1.（19）

當m′為奇素數時，對1≤i≤t，有|Ci|=1或m′.

令d′=（Qm′-1Q-1，Q-1r），

則

Qm′-1Q-1=（kd′r+1）m′-1+…+（kd′r+1）+1， k∈Z+，

故d′|m′，從而d′≤m′.

又因1≤t≤Q-1，所以

1≤t≤Q-1

故由推論2.4可得|Ci|=m′.因為Ci∩Cj=，

所以由（17）式可得

k=n-m′t.（20）

由于m′>3且1≤t≤Q-1，故由引理2.6可得DC∩DC-q=，從而

C⊥HC.（21）

最后，由Hermitian構造以及（19）～（21）式，可得參數為[[n，n-2m′t，dQ]]的Q元量子BCH碼，其中dQ≥t+1.

4 結束語

文獻[13]構造了一些碼長為n=r（q±1）的量子BCH碼，其中ordn（q）=2.對于碼長n=r（q3-1）且q≡2（mod 3）的情形，文獻[10]利用Hermitian構造法得到了一系列量子BCH碼.文獻[19]利用有限域上碼長n=r（qm-1）的常循環碼，構造了一批量子常循環碼，其中ordn（q）=2m.本文首先給出有限域Fq上分圓陪集是單元集的充要條件以及性質.針對經典BCH碼，利用這些分圓陪集的性質，得到了一些特殊碼長的對偶包含BCH碼，并利用CSS構造及Steane構造得到了兩類碼長為n=rqm-1q-1的量子BCH碼，其中ordn（q）=m是奇素數.這些結果，進一步豐富了量子BCH碼的種類.隨后，將相關結果推廣到有限域Fq2，并利用Hermitain構造得到了一類碼長為n=r（Qm′-1Q-1）的量子BCH碼，其中Q=q2，ordn（Q）=m′>3是奇素數.

致謝阿壩師范學院校級專項項目（AS-RCZX2023-03）對本文給予了資助，謹致謝意.

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Several Classes of Quantum BCH Codes

PU Keli1，2， LIAO Qunying1

（1. School of Mathematics and Science， Sichuan Normal University， Chengdu 610066， Sichuan;2. Institute of Mathematics， Aba Teachers College， Wenchuan 623000， Sichuan）

Abstract：Quantum error-correcting codes can be used to overcome quantum decoherence efficiently， which is the key technology to realize quantum computing. A series of quantum codes were proposed based on classical codes. In this paper， a necessary and sufficient condition for being the number of elements in cyclotomic cosets over finite fields is given and then some characteristics for cyclotomic cosets over finite fields are presented. Later， a series of new quantum BCH codes over the finite field Fq are constructed by CSS （Calderbank-Shor-Steane） construction or Steane construction， where q is a power of the prime. Finally， a class of quantum BCH codes over Fq2 are constructed by using Hermitian construction.

Keywords：cyclotomic coset; CSS construction; Steane construction; Hermitian construction; quantum BCH code2020 MSC：11T71

（編輯 周 俊）

基金項目：國家自然科學基金（12071321）和四川省科技計劃資助項目（23ZYZYTS0335）

*通信作者簡介：廖群英（1974—），女，教授，主要從事代數編碼與密碼學的研究，E-mail：qunyingliao@sicnu.edu.cn

引用格式：蒲可莉，廖群英. 幾類量子BCH碼的構造[J]. 四川師范大學學報（自然科學版），2024，47（5）：689-695.