《數學分析》課程教學創新探索與實踐

王海燕 王林 劉穎

摘??要：學生創新精神和創斷能力的培養是實施素質教育的核心，在教學實踐中探索培養學生創斷能力是教師的任務。《數學分析》課程教學以“學生為中心”，采用BOPPPS教學模式，全面開展翻轉課堂、案例式教學。在培養學生創新能力方面做了有益的嘗試，著重培養學生的觀察能力、抽象能力、應用能力、猜想能力，以及數學應用能力，收到了良好的效果。同時注重現代教育技術在數學專業課的融入，也為其他理科課程的教學創新提供了示范。

關鍵詞：BOPPPS；創新；以學生為中心；案例式教學；線上線下混合式教學

創新是推動民族進步的關鍵因素。如果缺乏創新，民族就難以取得進步，更難以在世界民族之林中立足。創新以教育為基礎，并依賴于杰出的人才。因此，無論是基礎教育還是高等教育，都承載著培養創新型人才的重要使命。數學是科學理論的基本溝通工具，也是人們認識世界和改造世界的基本工具之一。數學教育在整個教育過程中占有特殊的地位。《數學分析》作為數學專業的重要基礎課程，在學生大學的知識體系中占據了相當大的比例[1-2]。《數學分析》的核心內容是微積分，這門課程的發展大致經歷了三個階段。在繼承前輩科學家們的成果的基礎上，十七世紀的科學家牛頓和萊布尼茲逐漸將微積分發展成為一門系統的學科[3]。

當前，受到課時影響，許多老師在《數學分析》授課時基本都是滿堂灌，課堂效果差，甚至出現教師在臺上講課，有的學生在下面玩手機游戲，有的學生睡著了等場景。課程團隊進行深入分析，發現這種現象存在主要有以下兩個方面：

（一）學生對學習內容缺乏興趣、學習深度不夠

通過開展問卷調查，學生遇到的困難和問題主要是課程內容多、定理多、概念抽象，不會應用（具體數據見圖1）。這導致學生的學習興趣不高，學習深度不夠。

（二）教學方式、方法落后，不能把知識做到深入淺出教給學生

《數學分析》課程教師主要還在采用“黑板+PPT”的傳統教學手段，這種直接、單一的教學模式，沒有任何形式和內容的創新，很難調動學生積極性、吸引學生注意力，使本來難學的《數學分析》課程顯得更加枯燥。

《數學分析》既是初高中數學的升華，又是數學類專業后續課程學習的基礎。因此，在《數學分析》課程的教學過程中，教師注重培養學生的創新能力，這對于培養創新性人才具有至關重要的作用。值得思考的是，教師怎么開展創新教育呢？在《數學分析》課程的教學過程中，團隊教師積極嘗試了多種方法來培養學生的創新能力，并且取得了良好的效果。

一、創新能力的培養

（一）培養學生的觀察能力、抽象能力

觀察能力對于學生而言，是不可缺少的能力。敏銳的觀察力不是天生的，而是經過后天的訓練、培養逐步形成的。因此，在數學分析課堂教學中，團隊通過大面積開設案例式教學，讓學生進行數學觀察能力的培養，參與全課程的學習、講授，這種鍛煉能大大提升的學生獨立思考能力、觀察能力、抽象思維能力。

（二）培養學生的猜想能力

愛因斯坦曾經說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要。因為解決問題僅僅是一個數學上或實驗上的技能而已。而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，卻需要有創造思維能力，而且標志著科學的進步。”?這里所說的提出問題，實際上就是提出猜想。嚴格來說，數學事實首先就是被猜想，接著才是被證明。當面臨新的科學情況時，人們先從某個猜想開始：第一個猜想可能會失敗，會離目標很遠，但是不斷修正……在觀察的推動下，最終可以得到一個較滿意的猜想。美國著名數學家、教育家G.?波利亞曾指出：必須不僅教學生“證明”，而且教學生“猜想”，而在教科書中，“猜想”過程卻是缺少的，這就使教“猜想”在教學過程中顯得更為重要[4]。

（三）突出數學思想，培養學生的創新精神

經常聽學生提到，某些數學知識在他今后的生活、工作中用不上，所以學習沒有動力。是不是這些數學知識就不用學習了呢？答案是否定的。學習數學思想和方法的價值高于單純學習數學知識。數學思想不僅培養了學生的思維能力，還塑造了他們的文化素養，這種影響將是終身的。數學思想具有獨特的邏輯性和創造性，每一次數學思想的形成都是對歷史的繼承和突破。這里面蘊含的一絲不茍的嚴謹態度和奮斗精神，將會激發學生的科學熱情，鼓舞著他們永葆創新去生活、去工作，這也是我們開展課程思政的原因。因此，在《數學分析》的教學中，強調數學思想方法的教育不僅可以幫助學生更好地理解和掌握數學知識，還能有效培養學生的創新思維和創新能力。通過這樣的培養，學生能夠逐漸形成創新意識和創新精神，具備獨立思考、解決問題的能力，為未來的學術研究和工作實踐打下堅實的基礎。

（四）培養學生的應用能力

《數學分析》的主要內容是微積分知識，它的形成和發展得益于物理學、天文學、力學、幾何學等領域的突破。例如，開普勒的行星三大定律和牛頓的萬有引力理論都運用了微積分的方法進行導出。這些理論所涉及的宇宙速度和火箭運動方程也都充滿了深刻的數學思想和突出的數學應用。這些理論所涉及的數學模型成為了數學分析中的重要素材。

此外，微積分知識的應用通過對物理學、生物學、醫學、經濟學與自然現象中數量變化關系的分析，可以建立各種實用的模型。例如，我們可以利用微積分知識來建立行星運動模型、引力場模型、人口模型、傳染病模型、經濟問題模型和生態模型等。這些模型的建立既豐富了《數學分析》的教學內容，也增強了學生對實際問題的建模和處理能力。通過這些實際問題的分析和解決，學生們可以更好地理解和掌握微積分知識，并且提高他們的應用能力和創新思維。

二、教學模式、方法的創新

教師在日常的教學工作中，必須轉變觀念，以人為本，以學生為中心，改革課堂教學模式。同時，創新教學方法，積極探索合作交流的新型的課堂教學結構模式，從而培養出更多的適應新時代發展的創新型人才，要實現這一點應該從以下幾方面進行：

（一）教學模式的創新

在教學模式上，采用了BOPPPS模式。BOPPPS教學模式起源于加拿大教師培訓體系的教學模式[5]。BOPPPS教學模式的理論基礎包括建構主義和交際法。該模式以有效教學設計著稱，是一個強調學生參與和反饋的閉環教學過程模型。BOPPPS模型將課堂教學過程分為6個階段：導入（Bridge-in）、目標（Objective）、預評價（Pre-assessment）、參與式學習（Participatory?Learning）、后評價（Post-assessment）、總結（Summary/Closure）。這些階段相互銜接，形成一個閉環，旨在確保學生在學習過程中的積極參與和反饋，從而提高教學效果[6]。

同時輔助了其他四種類型的教學模式：

（1）信息加工教學模式（教學內容針對專業特點調整）；

（2）人格（人性）發展教學模式（課程思政）；

（3）社會交往教學模式（小組討論）；

（4）行為修正教學模式。

同時，團隊大力推進智慧課堂建設，構建以“以學生為主體、教師為主導”的線上線下混合式教學模式。

這種以智能化、個性化為特點的教學方式可以使教學多個環節得到有效改進。通過課前、課中、課后這三個環節開展授課，將實現從知識內化到高階能力提升的兩次飛躍，彰顯《數學分析》課程的挑戰度。

（二）教學內容的重構

在教學內容上，團隊探索介于傳統《數學分析》與《高等數學》之間的難度的授課內容，使課程內容更加貼合金融數學等專業。通過對教學內容的優化與整合，使學生在解決問題的過程中探索、發現、學習數學規律，感受數學解決現實世界問題的威力，進而激發學生的學習興趣。

特別是將數學史融入《數學分析》課程內容教學中。在《數學分析》課程的教學內容中，介紹數學史不僅可以幫助學生掌握數學發展的基本規律和基本思想，還可以讓他們深刻體會到數學發展之路的曲折與艱辛。比如：在講解阿貝爾定理時，補充講述挪威偉大的數學家阿貝爾的故事：阿貝爾生前窮困潦倒，26歲就因為饑寒交迫去世。但在這樣的情況下，他卻取得了輝煌的成績。他最早得出高于四次方程無整數解的證明，以及關于代數方程的研究，他比伽羅華更早得出群論的雛形，并更早得出交換群的結構；另外他關于橢圓函數、阿貝爾函數的工作，成為整個現代數學的基礎，某種意義上說，阿貝爾才是現代數學真正的始祖，他比伽羅華更聰慧，比黎曼更深刻！即使他僅僅26歲的生命，也已經在數學史上留下巨大的功勛！

通過阿貝爾的故事，讓學生樹立堅韌的意志與遠大的理想，艱難困苦，玉汝于成，從而激發學生對《數學分析》課程的興趣和熱情，鼓勵他們積極探索和追求科學創新與進步，還可以進一步塑造完善的人格。

（三）教學方法的創新

《數學分析》教學的基本組織形式是全班上課，同時兼顧小組合作教學，此外，每周針對學生的問題，來開展個別教學。同時，我們采用了如下的教學方法：

1.?學生分組式討論式教學

由學生自由組合，根據事先選擇的教學專題和輔助參考資料，上臺講解對該專題的理解并回答其他同學的提問。這種教學方法可以充分激發學生的參與熱情和創造性思維，同時提高學生的表達能力和自信心。參與學生人數一般控制在5-6人，學生的表現記入學生期末成績。同時，組與組之間PK，提升競爭意識。

知識的運用尤其應該以學生為主，讓學生在教學活動活動中建構自己的知識框架，形成自己的知識體系。通過雨課堂分組功能將班級分為幾個小組，小組間競賽，部分較簡單的內容采用翻轉課堂（比如“定積分的定義”，內容相對于簡單，我們開展了翻轉課堂，效果對比前幾屆傳統教學方式，有明顯提升，學生參與度高，知識消化接受效果更好）。

2.?發現問題式教學

每一次上課前，推薦學生閱讀下次課的參考資料；課上，讓學生自己提出問題，教師解答。通過學生提問，教師回答的方式，有針對性的解決學生知識上的疑難問題，有側重的組織教學。

3.?直觀演示教學

在課堂上通過展示各種實物數學教具或進行示范性實驗，讓學生通過觀察獲得感性認識的教學方法。

4.?案例式教學

根據構建的《數學分析》課程思政案例，開展課程思政教學。在完成專業知識講授的同時，融入對學生世界觀、人生觀等教育，實現“專業課教學”與“思想政治教育”同向同行。

三、總結

經過幾年的建設，《數學分析》課程建設已經取得了顯著的成績。《數學分析》課程獲評云南省省級一流課程，團隊教師主持了《數學分析》校級精品課程建設，《數學分析》課程思政示范課程建設，以及云南省省級教育教學改革項目兩項，發表了多篇教學論文，并獲得了多項國家級、省級教學獎勵。此外，團隊教師始終堅持成果導向教育理念（Outcomes-Based?Education，OBE），簡稱OBE理念，強調以學生為中心，以學生發展為目的，重視學生的學習成果[7]。基于上述教學創新實踐，我校人才培養質量顯著提高。學生專業基礎扎實，綜合素質高，畢業生受社會歡迎。學生實踐創新能力和創業能力強，近五年，學生獲得省部級以上數學建模大賽獎勵、大學生創新創業項目等近百項，成果顯著。

教學的深層次目標在于激發學生的創新意識和培養他們的創新能力，這一目標無法一蹴而就，而需要一個持續的過程。為此，團隊教師將會持續不斷地探索和實踐，嘗試更多新的教學方法和手段，以便更好地激發學生的潛力和創造力。力爭培養出一批批具備創新思維和創新能力的學生，為社會發展做出更大的貢獻！

參考文獻：

[1]?華東師范大學數學系編.?數學分析（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2]?劉玉璉，傅沛仁，劉偉，等.?數學分析講義（第六版）[M].?北京：高等教育出版社，2019.

[3]?蔡天新.?數學簡史［M］.?北京：中信出版社，2017：143-164.

[4]林文賢.?數學分析教學與創新思維[J].?考試周刊2013（28）：?75-76.

[5]?何?光.?BOPPPS模式下高等數學線上線下混合教學的探索與實踐[J].?科技風，?2023?（20）：?107-109.

[6]?王雅平.?以學生為中心的《商品學》信息化課程改革與實踐[J].?辦公自動化，?2023（2）：?25-27.

[7]?閆志忠.?基于OBE理念的“數學分析”課程項目制教學模式研究[J].?教育教學論壇，?2023（28）：?135-138.

基金項目：云南省2023年本科教育教學改革研究項目“AI賦能新形態資源——大學數學課程知識圖譜建設與應用”（JG2023199）；云南財經大學課程思政示范課程項目：《概率論與數理統計》、《數學分析》；2023年云南財經大學第二批虛擬仿真實驗教學一流課程培育項目

*通訊作者：王海燕（1983—??），女，漢族，河北人，博士，副教授，主要從事組合最優化、數學分析研究。

作者簡介：王林（1964—??），男，漢族，云南人，二級教授，主要從事非線性泛函分析、數學分析研究；劉穎（1988-?），女，漢族，云南人，講師，研究方向：思政教育。