基于核心素養(yǎng)背景的初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接實(shí)踐

蔡玲玲

核心素養(yǎng)，不僅是現(xiàn)代社會(huì)對人才的基本要求，更是貫穿各個(gè)教育階段、滲透于各學(xué)科教學(xué)的核心目標(biāo)。數(shù)學(xué)，作為培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、分析解決問題能力的基礎(chǔ)學(xué)科，其重要性不言而喻。特別是在函數(shù)這一關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)上，初中階段和高中階段的銜接性教學(xué)顯得尤為重要。

在初中階段，學(xué)生初步掌握了函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和圖象等基礎(chǔ)知識(shí)，對函數(shù)有了初步的認(rèn)識(shí)和理解。然而，進(jìn)入高中階段后，函數(shù)知識(shí)不僅涉及更多的函數(shù)類型和性質(zhì)，還要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題。因此，如何幫助學(xué)生順利過渡，成為高中數(shù)學(xué)教師必須面對的重要課題。

一、基于教學(xué)要求，明晰初高中“正弦函數(shù)”教學(xué)內(nèi)容差異

初中階段的銳角三角函數(shù)教學(xué)側(cè)重于關(guān)系的度量，而非關(guān)系本身。然而，當(dāng)我們將三角函數(shù)視為一種函數(shù)時(shí)，它應(yīng)當(dāng)描述角的大小與三角函數(shù)值之間的深層關(guān)系。這種關(guān)系不僅存在于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，更廣泛地體現(xiàn)在自然界和生活中的各種周期現(xiàn)象中。事實(shí)上，絕大多數(shù)周期性變化都可以通過三角函數(shù)的線性組合來精確表征。正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，作為起源于圓周運(yùn)動(dòng)、密切配合的周期函數(shù)，是解析幾何學(xué)和周期函數(shù)分析學(xué)中最為基礎(chǔ)和重要的函數(shù)。它們的基本性質(zhì)直接反映了圓的幾何特性，特別是其對稱性。因此，利用單位圓研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不僅是從本質(zhì)上出發(fā)的溯源之舉，更是深化學(xué)生理解的有效途徑。

在函數(shù)教學(xué)中，初中和高中階段的定義、幾何載體和正弦定義等方面都存在明顯的差異和躍遷。初中階段主要采用角度制的方法引入三角函數(shù)的概念，并通過直角三角形內(nèi)的正弦運(yùn)算進(jìn)行初步的探索和應(yīng)用。而到了高中階段，隨著弧度制的引入和任意角的推廣，角的幾何圖形與實(shí)數(shù)之間建立起了緊密的對應(yīng)關(guān)系。這為正弦函數(shù)等三角函數(shù)的深入學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在坐標(biāo)系中，對于任意確定的角α，比值與是唯一確定的。這使得正弦函數(shù)和余弦函數(shù)成為以角α為自變量的特殊函數(shù)類型。需要強(qiáng)調(diào)的是這里的α、與都是實(shí)數(shù)，這完全符合函數(shù)概念中實(shí)數(shù)對應(yīng)關(guān)系的要求。

因此正弦函數(shù)不僅是函數(shù)的一種特殊形式更是連接幾何與代數(shù)的重要橋梁。但與初中直角三角形中以銳角為變量的函數(shù)變量相比，高中階段的正弦函數(shù)定義更加抽象和一般化，如表1所示。

二、問題驅(qū)動(dòng)，構(gòu)建角度模型，重塑正弦函數(shù)概念

高中數(shù)學(xué)的教學(xué)，遠(yuǎn)不止知識(shí)點(diǎn)的簡單傳授。更重要的是，如何幫助學(xué)生深化對所學(xué)內(nèi)容的理解，使學(xué)生在面對多變的數(shù)學(xué)問題時(shí)能夠游刃有余。為此，教師必須注重提高課堂教學(xué)的趣味性和引導(dǎo)性，讓學(xué)生更加積極地參與課堂學(xué)習(xí)。

初中三角函數(shù)教學(xué)主要圍繞平面幾何問題，特別是直角三角形中的銳角函數(shù)模型的展開，為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。進(jìn)入高中后，正弦函數(shù)概念變得更為抽象和復(fù)雜。為幫助學(xué)生順利過渡，教師需要采用有效教學(xué)策略，重點(diǎn)是讓學(xué)生根據(jù)給定的角獲取對應(yīng)的函數(shù)值，并在三角函數(shù)圖象上準(zhǔn)確量化點(diǎn)的坐標(biāo)。突破這一教學(xué)難點(diǎn)，可顯著提升教學(xué)效果。“正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識(shí)”教學(xué)目標(biāo)如表2所示。

【溫習(xí)舊知】

回顧單位圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)與角α的正弦值之間的關(guān)系，學(xué)生重新建立對正弦函數(shù)的基本認(rèn)識(shí)。在此過程中，教師強(qiáng)調(diào)角度與弧度的轉(zhuǎn)換，以及正弦函數(shù)的定義域和值域等關(guān)鍵概念。

問題1：上一章節(jié)已經(jīng)深入討論了任意角的正弦、余弦及正切的概念。以正弦為例，現(xiàn)在，請同學(xué)們回顧一下，我們是如何定義任意角的正弦的呢？

在學(xué)生思考并回答之后，教師梳理關(guān)鍵要點(diǎn)。

問題2：思考變量之間的關(guān)系，并提出自己的思考依據(jù)。

學(xué)生觀察單位圓中兩個(gè)幾何量的對應(yīng)關(guān)系，得出結(jié)論。

教師關(guān)注學(xué)生的理解情況，一旦發(fā)現(xiàn)有遺漏或誤解，應(yīng)及時(shí)補(bǔ)充和糾正，確保學(xué)生對知識(shí)的掌握準(zhǔn)確無誤。

【抽象函數(shù)概念及數(shù)學(xué)表示方法】

在實(shí)際的教學(xué)過程中，學(xué)生對通過sin α=這樣的形式來理解α的正弦函數(shù)時(shí)常感到困惑。為了幫助學(xué)生更好地掌握這一概念，教師可以引入單位圓的概念。單位圓的特點(diǎn)是其半徑r為1，這樣就可以將sin α=簡化為sin α=y的形式。通過這一方式，學(xué)生更容易理解正弦函數(shù)是如何將實(shí)數(shù)α映射到其對應(yīng)的正弦值上的。這種形式不僅有助于消除學(xué)生的困惑，還為學(xué)生提供了一種更直觀、更易理解的方式來掌握正弦函數(shù)的概念。

三、適當(dāng)簡化，從特殊中提煉出常規(guī)正弦函數(shù)畫法

本課時(shí)的核心目標(biāo)在于利用單位圓與正弦線的輔助，精確地繪制出y=sin x的圖象，通過觀察這一圖象的特征，進(jìn)而引入一種高效的圖象繪制技巧——“五點(diǎn)作圖法”。隨后，教師緊密結(jié)合這一圖象，深入探索正弦函數(shù)的關(guān)鍵性質(zhì)，特別是其增減變化的規(guī)律以及最大值與最小值的確定。然而，在教學(xué)過程中，我們預(yù)測學(xué)生可能會(huì)面臨利用正弦線作圖的挑戰(zhàn)。這些困難主要源自兩個(gè)方面：一是學(xué)生長期習(xí)慣于傳統(tǒng)的列表描點(diǎn)法，對于正弦函數(shù)這種特殊性質(zhì)的圖象繪制可能感到不適應(yīng)；二是學(xué)生對于正弦函數(shù)定義的理解可能尚未深入，難以將角度與其對應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行幾何化的直觀聯(lián)系。

為了有效克服這些難點(diǎn)，教師設(shè)計(jì)一系列實(shí)踐操作的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在動(dòng)手的過程中感受困難，并激發(fā)學(xué)生尋求解決方案的欲望。同時(shí)，教師深入淺出地講解正弦函數(shù)的定義，揭示其背后的幾何意義，幫助學(xué)生構(gòu)建清晰、穩(wěn)固的概念基礎(chǔ)。

問題：如何精準(zhǔn)地描繪出點(diǎn)（，sin）的橫坐標(biāo)？

為了正確地描繪出點(diǎn)（，sin）的橫坐標(biāo)，教師引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓，找到與2π相對應(yīng)的幾何量，即單位圓的周長，并將單位圓巧妙地12等分，這樣每個(gè)等分點(diǎn)都代表了一個(gè)特殊的角度，如、、等，通過這種等分的方式，教師啟發(fā)學(xué)生將這些特殊角度與x軸上的點(diǎn)建立對應(yīng)關(guān)系。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，教師引導(dǎo)學(xué)生想象將單位圓的周長展開，化曲為直，然后平移到x軸上。這樣一來，x軸上的每個(gè)點(diǎn)都對應(yīng)了一個(gè)特定的角度。為了進(jìn)一步加深學(xué)生的理解，教師運(yùn)用課件展示動(dòng)畫，使學(xué)生直觀地看到單位圓符合被等分、展開和平移到x軸上的過程。

此時(shí)可以借助單位圓繪制正弦函數(shù)y=sin x在區(qū)間［0，2π］圖象上，師生共同探討，分步進(jìn)行。第一步，列表。找到區(qū)間［0，2π］上的x數(shù)值，選擇一些特殊的x值，如0、…2π等，利用單位圓的性質(zhì)，找到這些x值對應(yīng)的正弦函數(shù)值。第二步，描點(diǎn)。為了方便繪圖，可以將x軸上的0到所選區(qū)間的終點(diǎn)這一段劃分為若干等份。然后，對于每一個(gè)x值，都將其對應(yīng)的正弦線向右平移，使正弦線的起點(diǎn)恰好與x軸上的對應(yīng)點(diǎn)x重合。這樣，正弦線的終點(diǎn)就是正弦函數(shù)圖象上的一個(gè)點(diǎn)。第三步，連線。在這一步，使用光滑的曲線將這些已經(jīng)標(biāo)出的點(diǎn)連接起來。這樣，我們就可以得到正弦函數(shù)在選定區(qū)間內(nèi)的完整圖象y=sin x。

四、從概念產(chǎn)生的數(shù)學(xué)模型中探究正弦函數(shù)的性質(zhì)

在學(xué)習(xí)正弦函數(shù)的過程中，圖象的性質(zhì)及其變換是一個(gè)核心且復(fù)雜的知識(shí)點(diǎn)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力有著深遠(yuǎn)的影響。標(biāo)準(zhǔn)的正弦函數(shù)形式為y=sin x，但實(shí)際上，圖象經(jīng)常會(huì)經(jīng)歷平移和伸縮等變化。這就引出了一個(gè)關(guān)鍵問題：面對這些變化，我們?nèi)绾螠?zhǔn)確地繪制圖象并重新確定其單調(diào)區(qū)間？為了幫助學(xué)生更好地理解和掌握這一內(nèi)容，教師需要為學(xué)生提供既考查知識(shí)又鍛煉思維的例題。例如，通過對比y=sin（x+）和y=sin x-2這兩個(gè)函數(shù)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考圖象和性質(zhì)的變化。對于y=sin（x+），自變量x經(jīng)歷了一個(gè)平移變換。在這里，教師可以引入換元法，將x+視為一個(gè)新的變量u，從而將問題簡化為標(biāo)準(zhǔn)的正弦函數(shù)形式sin u。通過這種方式，學(xué)生可以更好地理解平移變換對正弦函數(shù)圖象的影響。接下來，對于y=sinx-2，雖然自變量x沒有變化，但函數(shù)值整體下移了2個(gè)單位。這種變化同樣會(huì)影響函數(shù)的圖象和性質(zhì)。教師可以鼓勵(lì)學(xué)生利用之前學(xué)到的知識(shí)，自行繪制圖象并分析單調(diào)區(qū)間。通過這樣的教學(xué)過程，學(xué)生不僅能夠掌握正弦函數(shù)圖象的基本性質(zhì)和變換規(guī)律，還能鍛煉數(shù)學(xué)思維能力和知識(shí)遷移能力。同時(shí)，學(xué)生也會(huì)更加深刻地理解換元法等數(shù)學(xué)工具在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值。

綜上所述，在具體教學(xué)中，教師需要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知情況。初中階段與高中階段，學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)習(xí)慣有很大的差異，這也是很多初中生到了高中后出現(xiàn)成績波動(dòng)的原因，為了幫助學(xué)生平穩(wěn)過渡，任課教師在處理初高中數(shù)學(xué)銜接時(shí)，需采取一系列策略。為此，任課教師在處理初高中數(shù)學(xué)銜接方面，需要找到兩者的內(nèi)在聯(lián)系，對比研究初高中教材內(nèi)容的差異，以學(xué)生熟悉的案例，復(fù)習(xí)初中內(nèi)容的同時(shí)引出高中學(xué)習(xí)要點(diǎn)，在比較中強(qiáng)化學(xué)生對高中正弦函數(shù)的知識(shí)銜接，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（作者單位：石獅市第三中學(xué)）

編輯：曾彥慧