考慮土拱效應的多層土體墻后主動土壓力模式研究

收稿日期：2023-05-06；接受日期：2023-06-23

基金項目：中鐵第四勘察設計院集團有限公司科技研究開發計劃項目（2021K027）

作者簡介：李文彪，男，高級工程師，主要從事超深風井開挖及穩定性方面的研究。E-mail：004523@crfsdi.com

Editorial Office of Yangtze River. This is an open access article under the CC BY-NC-ND 4.0 license.

文章編號：1001-4179（2024） 06-0204-07

引用本文：李文彪，呂延豪，游龍飛.考慮土拱效應的多層土體墻后主動土壓力模式研究

［J］.人民長江，2024，55（6）：204-210.

摘要：土拱效應已經被廣泛證明存在于巖土工程中，然而關于土拱效應的土壓力研究目前常局限于單層土體，對于多層土體墻后主動土壓力的分布規律尚不清楚。基于土拱效應理論，提出了多層土體擋土墻后非線性主動土壓力求解公式，并通過兩種典型地層研究了土體內摩擦角和墻土摩擦角對主動土壓力分布規律的影響。結果表明：所提出的計算公式能夠很好地描述多層土體墻后主動土壓力分布規律，計算結果與數值模擬結果基本一致；當上、下土層參數一致時，該公式可以退化成單一土層土壓力計算模型；當墻土摩擦角充分發揮時，上層土體墻后土壓力受土體內摩擦角影響明顯，而當墻土摩擦角部分發揮時，下層土體墻后土壓力受墻土摩擦角影響更大。

關" 鍵" 詞：土拱效應； 擋土墻； 多層土體； 主動土壓力

中圖法分類號： TU432

文獻標志碼： A

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2024.06.028

0" 引 言

擋土墻的墻后主動土壓力一直是巖土工程學科中的重要研究課題。目前，經典土壓力理論解和基于有限差分和有限元法等的數值手段是墻后土壓力求解過程中常常采用的兩類典型方法。其中經典土壓力理論基于朗肯土壓力［1-2］和庫倫土壓力［3-4］。朗肯土壓力理論假定墻后為豎直光滑，庫倫土壓力在朗肯土壓力理論的基礎上做了改進，拓展到了墻后傾斜且有墻土摩擦角的一般情況。然而經典土壓力理論解的局限性在于墻后土體的土壓力分布為線性增加的分布模式，這與大量室內試驗以及實際監測結果相悖，墻后土體往往是一種非線性的分布模式［5］。

土拱效應廣泛存在于巖土工程中，如樁承式復合路基、地下管道、抗滑樁［6］、盾構等結構的應力集中和擴散現象。Terzaghi［7-9］最早研究了土拱效應，并對土拱效應進行如下定義：“當土體受到不均勻變形時，變形較大區域和變形較小區域存在一種剪切摩擦力，這種剪切摩擦力有阻撓變形較大區域土體繼續運動的趨勢和增加臨近靜止區域土體變形的趨勢”。由此可知，土拱效應實際是一種應力重分布的現象。Finn［10］采用彈性理論研究了土拱效應，然而這種理論僅當土體處于小變形時才有效。實際情況是土拱形成時往往伴隨著大變形，所以應用塑性理論特別是極限分析方法比較合適。Wang等［11］在邊坡工程的抗滑樁設計時應用了土拱效應，把邊坡假設成一個經典無限邊坡模型，滑面上土體假設成理想剛塑性，滑面下臥非常堅硬的基礎。他們得到如下結論：土拱效應存在于黏性土和無黏性土邊坡中，存在一個極限樁間距，當樁間距超過這個極限值時，土拱效應消失。土拱效應影響因素頗多，c、φ值對土拱效應影響最明顯。應宏偉等［12］基于傳統的考慮土拱效應的土壓力解，考慮土體內摩擦角對墻后土體滑傾面的影響，推導了擋土墻后主動土壓力的計算公式。

目前，考慮土拱效應的墻后主動土壓力研究中大多將土層假定為單層土［12-15］，然而，在實際地層中，土層并不是唯一的，而是沿著深度方向逐漸變化。為此，本文在前人研究基礎上［16-18］，將考慮土拱效應的土壓力計算公式擴展到多層土體，并以雙層土為例，研究了“上軟下硬”型地層和“上硬下軟型”地層中的土壓力分布規律，有助于深入認識土拱效應對墻后主動土壓力分布規律的影響。

1" 考慮土拱效應的單層土墻后主動土壓力

1.1" 擋土墻后土體滑裂面

如圖1所示，分析墻后土楔體的受力，假定擋土墻墻背直立，墻后填土水平，δ為墻土摩擦角，φ為土體內摩擦角，β為墻后滑裂面傾角，q為墻后均布荷載，P為主動土壓力合力，W為墻后土楔體的重力。

水平方向上力的平衡方程為

Pcosδ－Rcos（π2+φ－β）=0（1）

豎直方向上力的平衡方程為

Psinδ－Rsin（π2+φ－β）－W－qHcotβ=0（2）

其中，

W=12γH2cotβ（3）

將式（3）代入（2），得到：R=（12γH2+qH）cotβ－Psinδsin（π2+φ－β）（4）

P=（12γH2+qH）cosβsin（β－φ）sinβcos（β－φ－δ）（5）

為求主動土壓力，用微分學中求極值的方法求P的最大值，令dP/dβ=0，得到：

β=arctantan2φ+tanφtan（φ+δ）+tanφ（6）

1.2" 擋土墻后主動土壓力求解

以一個典型的擋土墻為例，取微段進行受力分析，其受力分析模型可以大致概化為圖2所示。假定擋土墻墻背直立，墻后填土水平，σh為土體微元的水平受力，τ1為水平單元的豎向受力，dy為土體微元的豎向長度，τ2為滑裂面受到的切應力，r為滑裂面受到的正應力，σav+dσav為作用于水平微分單元底面的平均豎向應力，H為墻體高度，y為土體微元段所處深度。

根據水平土壓力與豎直土壓力的關系，可得水平土壓力為

σh=Kwσav（7）

要求解水平土壓力系數，需要獲得側土壓力系數Kw和豎向平均土壓力σav，本節先推導豎向平均土壓力的計算公式。

根據受力平衡分析，水平方向上力的平衡條件為

σhdy+τ2cosβsinβdy－rsinβcosβdy=0（8）

根據土體單元的豎向受力平衡分析可得：σav（H－y）cotβ+dW－（σav+dσav）（H－y－dy）×cotβ－τ1dy－τ2dy－rdycosβsinβ=0（9）

式中：dW為土體微元自重。根據土體重度定義，可得：dW=［（H－y）cotβ+（H－y－dy）cotβ］dy2γ（10）

式中：γ為土體自重。將公式（10）代入公式（9）后整理，略去二階量，可以得到：dσavdy=γ+1H－y［σav－r－（τ1+τ2）tanβ］（11）

將公式（7）中的σh=Kwσav，以及τ1=σhtanδ，τ2=rtanφ，代入公式（8）可得：r=Kwsinβcosφsin（β－φ）σav（12）

結合公式（11）和公式（12）可得：dσavdy=［1－sinβcos（β－φ－δ）cosβcosδsin（β－φ）Kw］·σavH－y+γ（13）

令（13）式中的sinβcos （β-φ-δ）cosβcosδsin （β-φ）=α，則公式（13）可以簡寫為

dσavdy=1－αKw·σavH－y+γ（14）

對式（14）積分，并利用邊界條件y=0時，豎向土壓力σav等于地表壓力q，可得：σav=（q－γαKw－2H）（H-yH）αKw－1+γαKw－2（H－y）（15）

注意到上式中只有Kw未知，因此問題轉換為求土壓力系數Kw。

1.3" 圓弧拱形的側土壓力系數

根據摩爾庫倫準則，土體任意一點受到的剪應力τ和水平應力σh與最大主應力σ1和最小主應力σ3的關系分別為

τ=（σ1－σ3）sinθcosθ（16）

σh=τcotθ+σ3（17）

式中：θ為應力偏轉角，σ1為最大主應力，σ3為最小主應力。聯立公式（16）和（17），并令σ3/σ1=Ka，可得：σhσ1=cos2θ+Kasin2θ（18）

根據應力狀態分析易得Ka=（1-sinφ）/（1+sinφ）。由于σh-σ3=σ1-σv，因此有式（19）成立：σvσ1=sin2θ+Kacos2θ（19）

考慮土拱效應時，土壓力系數Kw是土體微段水平應力與平均豎向應力之比，即σh/σav，而不是σh/σv，因此不能簡單采用式（18）與式（19）比值得到。根據如上所述，考慮土拱效應的側土壓力系數為

Kw=σhσav=σh/σ1σav/σ1=1σav/σ1（cos2θ+Kasin2θ）（20）

要求解式（20）得到土壓力系數，需要知道兩個未知量，即應力偏轉角θ和平均豎向應力與最大主應力的比值σav/σ1。

當墻體光滑時，θ=90°；當墻土摩擦角充分發揮時，θ=45°+φ/2。但是實際工程中，墻土摩擦角往往并未充分發揮。Paik等［18］考慮到墻土摩擦角往往小于土體內摩擦角，采用Mohr Circle計算獲取拱角主應力偏轉角θ：θ=π2－12arcsin（sinδsinφ）+δ2（21）

另一方面，任意位置微分單元豎向應力平均值都可表示為

σavσ1=∫B0σmvσ1dxB（22）

式中：σmv為土條微段的任意一點受到的豎向土壓力，B為圓弧圓心距離擋土墻的水平距離（圖3）。假設土拱的形狀為圓弧狀，根據公式（19），可以得到圓弧上任意一點的水平應力σmh和豎直應力σmv為

σmh/σ1=cos2ψ+Kasin2ψσmv/σ1=sin2ψ+Kacos2ψ（23）

式中：σmh為任意圓弧拱任意微分單元上的水平方向應力；σmv為圓弧拱任意微分單元上的豎直方向應力；ψ為圓弧拱任意位置的中心線與水平方向的夾角。

根據相似三角形可以很容易得出：ψ=arccos（B－xBcosθ）（24）

根據圖3，土拱寬度L與圓弧圓心距離擋土墻的水平距離B的關系為

L=cotβcot（π/4+φ/2）B（25）

將式（25）代入式（24）可得：ψ=arccos（1－xLcotβcot（π/4+φ/2））cosθ（26）

將式（26）代入式（23），可以得到：σmvσ1=sin2{arccos［（1－xLcotβcot（π/4+φ/2））cosθ］}+Kacos2{arccos［（1－xLcotβcot（π/4+φ/2））cosθ］}（27）

注意到式（23）中所有的參數都在求解過程中得到具體的值，只有x為隨著圓弧拱的位置而變化的橫坐標，將式（27）代入式（22），可以得到任意位置微分單元豎向應力平均值σav/σ1，進而可以由式（20）得到考慮土拱效應的側土壓力系數Kw，再代入公式（15）和公式（7），即可得到墻后主動土壓力。

2" 多層土墻后主動土壓力計算

如圖4所示，對于多層土，由于每一層土體的重度、內摩擦角、墻土摩擦角等參數不盡相同，根據前述推導過程，可以知道每一層土體的側土壓力系數Kw都是不同的。因此，在土層分界處由于側壓力系數的突變，分界處的土壓力也會出現突變，為此，需要計算分界面位置處上下的土壓力。以A點計算為例，考慮土拱效應后上層土體中A點的墻后主動土壓力σUpperA計算公式為

σUpperA=Kw1［（γ1α1Kw1－2H）（H-H1H）α1Kw1－1+γ1α1Kw1－2（H－H1）］（28）

下層土體中A點的主動土壓力σLowerA為

σLowerA=Kw2σUpperAKw1－γ2α2Kw2－2（H－H1）+γ2α2Kw2－2（H－H1）（29）

對于第二層土中的其他任意位置處的土壓力分布計算公式可以表達為

σ=Kw2（σUpperAKw1－γ2α2Kw2－2（H－H1）（H-yH）α2Kw2－1+γ2α2Kw2－2（H－y）（30）

3" 算例分析

3.1" 算例1，上軟下硬型土層

本節考慮墻體后土層為“上軟下硬型”時主動土壓力的分布規律。假定墻后土層為雙層土體，墻高20 m，上層土厚度為10 m，分別考慮墻后墻土摩擦角充分發揮時與部分發揮時兩種情況，并將理論解和數值解進行對照，以便驗證結果的準確性。

3.1.1" 理論驗證

為了驗證所提理論解的合理性，在PLAXIS-2D中建立了一個相同尺寸的基坑開挖模型。土體參數上層土取內摩擦角為10°，下層土內摩擦角為20°，開挖深度為20 m，計算雙層土體墻后主動土壓力。如圖5所示，可以發現借助有限元計算的土壓力和采用式（30）計算得到的土壓力可以較好地吻合在一起，在變化趨勢上也頗為一致，這說明本文提出的理論解可以計算考慮土拱效應的多層土體墻后主動土壓力。

3.1.2" 墻土摩擦角充分發揮

當墻后土體充分發揮時，土體內摩擦角φ與墻土摩擦角δ相等，此時雙層土體的墻后主動土壓力分布規律如圖6所示，可以發現在土體分界處土壓力會出現突減的現象。此外，由圖可知，隨著土體內摩擦角的增大，墻后的主動土壓力逐漸減小，這主要由于內摩擦角增大時，降低了土體的側壓力系數，當豎向壓力不變時，根據σh=Kaσv可得側壓力系數越小，橫向主動土壓力越小。當上下土層的參數相同時，得到的土壓力分布與單層土相同，這驗證了本文提出的多層土公式的正確性。

3.1.3" 墻土摩擦角部分發揮

圖7給出了當墻土摩擦角部分發揮時（δlt;φ），墻后主動土壓力分別隨著上層土體的墻土摩擦角和下層土體的墻土摩擦角變化的規律，可以發現當下層土體的參數保持不變，上層土體的墻土摩擦角逐漸增大時，上層土的墻后主動土壓力逐漸增大，而下層土的土壓力逐漸減小；當上層土的土體參數保持不變時，上層土的墻后主動土壓力不會隨著下層土的墻土摩擦角變化，然而下層土的墻后主動土壓力會產生較大變化，最明顯的一個趨勢在于當下層土的墻土摩擦角部分發揮時，下層土體的主動土壓力最大值不會出現在土體分層處，而是由所下移，且最大土壓力會略大于墻土摩擦角充分發揮時的值。

3.2" 算例2，上硬下軟型土層

3.2.1" 理論驗證

同樣，在PLAXIS-2D中建立與算例1中相同的數值模型。上層土體內摩擦角取40°，下層土體內摩擦角取20°。圖8為上硬下軟型土層的墻后主動土壓力數值解與理論解之間的對比。可以發現無論在量值上還是在變化趨勢上，所提理論解均能很好地與有限元模擬數據吻合在一起，這反映了所提理論解的準確性。

3.2.2" 墻土摩擦角充分發揮

以“上硬下軟型”土層為例，研究墻土摩擦角充分發揮時墻后主動土壓力的分布規律。圖9給出了此時的墻后主動土壓力分布規律，可以發現當土層分布為“上硬下軟”時，土層分界處的主動土壓力會出現突增現象，這與上軟下硬型土層的分布規律是相反的，但是隨著上層土的內摩擦角逐漸增大，墻后主動土壓力逐漸減小。

3.2.3" 墻土摩擦角部分發揮

圖10為當墻土摩擦角部分發揮時墻后主動土壓力的分布規律。可以發現，當下層土體參數保持不變，上層土體的墻土摩擦角逐漸增大時，上層土的墻后土壓力變化較小，但是下層土體主動土壓力逐漸減小；當上層土體參數保持不變時，隨著下層土體墻土摩擦角的增大，下層土的最大土壓力位置逐漸上移，這與“上軟下硬型”土層的分布規律是一致的。

4" 結 論

本文結合傳統土拱效應理論，推導建立了一種多層土體的墻后主動土壓力分布計算方法，并以兩個典型土層為例，通過數值模擬方法驗證了所提計算方法的適用性和合理性。同時，討論了兩種不同土層條件下墻土摩擦角充分發揮和未充分發揮時的墻后主動土壓力變化規律，主要結論如下：（1） 提出了考慮土拱效應的多層土體墻后主動土壓力計算方法，通過與數值模擬結果對比，驗證了該方法的合理性和適用性。

（2） 在“上軟下硬型”土層中，當墻土摩擦角充分發揮時，上層土體的主動土壓力受到的影響更大，且隨著內摩擦角的逐漸增大，墻后土壓力逐漸減小；當墻土摩擦角部分法發揮時，下層土體的主動土壓力受到的影響更大，且下層土體的最大應力出現位置會隨著下層土體墻土摩擦角的增大而逐漸上移。

（3） 在“上硬下軟型”土層中，當墻土摩擦角充分發揮時，隨著內摩擦角的增大墻后主動土壓力逐漸減

小；當墻土摩擦角部分發揮時，隨著上層土墻土摩擦角

的逐漸增大，下層土的主動土壓力逐漸減小，當下層土的墻土摩擦角逐漸增大時，下層土體的主動土壓力最大作用點逐漸上移。

（4） 墻土摩擦角充分發揮時，上層土的墻后土壓力受到土體內摩擦角影響更大；而當墻土摩擦角部分發揮時，下層土體的墻后土壓力受到墻土摩擦角變化影響更大。

參考文獻：［1］" 梅國雄，宰金珉.考慮變形的朗肯土壓力模型［J］.巖石力學與工程學報，2001，20（6）：851-854.

［2］" 汪丁建，童龍云，邱岳峰.降雨入滲條件下非飽和土朗肯土壓力分析［J］.巖土力學，2013，34（11）：3192-3196.

［3］" 丁兆鋒，吳沛沛，劉會娟，等.庫倫主動土壓力的通用解法［J］.鐵道工程學報，2016，33（8）：55-58.

［4］" 柯才桐，陳奕柏，謝洪波，等.庫倫土壓力合力作用點高度解析解［J］.水電能源科學，2014，32（5）：91-95.

［5］" 李海珍，李永剛.RB模式下擋土墻非極限狀態主動土壓力分析［J］.人民長江，2016，47（18）：92-95.

［6］" 呂濤，齊美苗，彭良泉.抗滑樁的土拱效應及數值模擬［J］.人民長江，2007，38（1）：42-45.

［7］" TERZAGHI K.Record earth pressure wall testing machine［J］.Engineering News Reeord，1932，109：365-369.

［8］" TERZAGHI K.Large retaining wall tests Ⅰ：pressure of dry sand［J］.Engineering News Reeord，1934，112：136-140.

［9］" TERZAGHI K.A fundamental fallacy in earth pressure computations［J］.Journal of Boston Society of Civil Engineering，1936，23：71-88.

［10］FINN W D L.Boundary value problems of soil mechanics［J］.Journal of the soil Mechanics and Foundations Division，ASCE，1963，89（SM5）：39-72.

［11］WANG W L，YEN B C.Soil arching in slopes［J］.Journal of Geotechnical Engineering Division，ASCE，1974，104（GT4）：493-496.

［12］應宏偉，蔣波，謝康和.考慮土拱效應的擋土墻主動土壓力分布［J］.巖土工程學報，2007，174（5）：717-722.

［13］蘇培東，張海傳，戚宗軻，等.不同截面抗滑樁的土拱效應對比研究［J］.防災減災工程學報，2023，43（2）：405-412.

［14］吳明，彭建兵，徐平，等.考慮土拱效應的擋墻后土壓力研究［J］.工程力學，2011，28（11）：89-95.

［15］蔣波，應宏偉，謝康和.擋土墻后土體拱效應分析［J］.浙江大學學報，2005，39（1）：131-136.

［16］劉金慧，屈克軍，丁萬濤，等.硬塑粉質黏土層深埋馬蹄形隧道開挖土拱演化分析［J］.人民長江，2022，53（1）：189-197.

［17］代云霞.飽和軟黏土靜止土壓力系數試驗探討［J］.人民長江，2017，48（增2）：240-243.

［18］PAIK K H，SALGADO R.Estimation of active earth pressure against rigid retaining walls considering arching effect［J］.Geoteehnique，2003，53（7）：643-653.

（編輯：鄭 毅）

Study on active earth pressure mode behind multi-layer soil considering soil arching effect

LI Wenbiao，LYU Yanhao，YOU Longfei

（China Railway Siyuan Survey and Design Group Co.，Ltd.，Wuhan 430063，China）

Abstract：

The soil arching effect is widely proven to be in geotechnical engineering.However，research on the soil pressure caused by the soil arching effect is currently limited to single-layer soil，and the distribution of active soil pressure behind multi-layer soil is still unclear.Therefore，based on the soil arching effect theory，this article proposed a solution for nonlinear active earth pressure behind retaining walls of multi-layer soil，and studied the influence of internal friction angle and friction angle between wall and soil on the distribution pattern of active earth pressure based on two typical strata.The results show that the proposed solution can effectively describe the distribution of active earth pressure behind multi-layer soil.The calculation results are basically consistent with the numerical simulation results.When the parameters of the upper and lower soil layers are consistent，the proposed solution can degenerate into a soil pressure calculation model of single soil layer.When the friction angle between wall and soil is fully utilized，the soil pressure behind the upper soil wall is significantly affected by the internal friction angle of the soil，while the friction angle between wall and soil is partially utilized，the soil pressure behind the lower soil wall is more affected by the wall soil friction angle.

Key words：

soil arching effect; retaining wall; multi-layer soil; active earth pressure