基于等容瞬時單位線的水文模型研究

收稿日期：2023-12-21；接受日期：2024-03-12

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目（52079054）

作者簡介：閆寶偉，男，副教授，博士生導(dǎo)師，博士，主要從事水文基礎(chǔ)理論研究。E-mail：bwyan@hust.edu.cn

Editorial Office of Yangtze River. This is an open access article under the CC BY-NC-ND 4.0 license.

文章編號：1001-4179（2024） 06-0092-06

引用本文：閆寶偉，唐儀偉，劉昱，等.

基于等容瞬時單位線的水文模型研究

［J］.人民長江，2024，55（6）：92-97.

特邀作者簡介

閆寶偉，

男，副教授，博士生導(dǎo)師，博士，就職于華中科技大學(xué)土木與水利工程學(xué)院。主要研究方向包括：人工智能+水文預(yù)報、水文模型及不確定性分析、水庫防洪調(diào)度及風(fēng)險評估、流域洪旱災(zāi)害預(yù)警及風(fēng)險評價。近年來，主持和參與國家自然科學(xué)基金、國家重點研發(fā)計劃以及其他國家重大工程應(yīng)用項目20余項，取得的標(biāo)志性成果有：理論上創(chuàng)立了廣義Nash匯流理論，技術(shù)上創(chuàng)新了反映空間異質(zhì)性的流域產(chǎn)匯流建模方法，發(fā)展了變化環(huán)境下工程水文計算與風(fēng)險評估方法，應(yīng)用上研發(fā)了水文水資源預(yù)報預(yù)警及風(fēng)險評估多套系統(tǒng)。研究成果獲省部級獎勵6項，授權(quán)發(fā)明專利10余項，在權(quán)威期刊發(fā)表高水平學(xué)術(shù)論文60余篇，包括中國精品科技期刊頂尖學(xué)術(shù)論文（F5000）1篇、SCI/EI檢索30余篇。

摘要：流域下墊面空間分布的不均勻性對徑流的形成有較大影響，流域蓄水容量曲線解決了流域產(chǎn)流空間異質(zhì)性的問題，但在采用瞬時單位線進行地表匯流計算時，又將其作為空間分布均勻的凈雨處理，局部產(chǎn)流并沒有實現(xiàn)局部的匯流。考慮匯流時間與蓄水容量的空間相關(guān)性，通過Copula函數(shù)構(gòu)造二者的聯(lián)合分布，以條件概率的形式反映不同蓄水容量處匯流時間的空間分布特征，進而以等蓄水容量為計算單元，提出了等容瞬時單位線的概念，相當(dāng)于采用變單位線的方式計算單元產(chǎn)流量的地表徑流，從而可以實現(xiàn)局部產(chǎn)匯流計算過程的統(tǒng)一。由此，創(chuàng)建了基于等容瞬時單位線的水文模型IIUHH，并根據(jù)Copula函數(shù)的類型構(gòu)建了多種形式的IIUHH，最后選擇清江上游作為案例進行驗證。結(jié)果表明：Clayton型的IIUHH在研究區(qū)域表現(xiàn)更優(yōu)，相比于新安江模型，Nash效率系數(shù)可以提高4%～12%，Kling-Gupta效率系數(shù)可以提高13%～27%，洪峰相對誤差則可降低26%～36%，較大程度上提高了洪峰和洪水過程的模擬精度。研究成果可為流域高精度徑流預(yù)報提供技術(shù)支撐。

關(guān)" 鍵" 詞：等容瞬時單位線； 水文模型； 蓄水容量； 空間相關(guān)性； 新安江模型； 清江

中圖法分類號： TV11

文獻標(biāo)志碼： A

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2024.06.013

0" 引 言

流域水文模型是研究水文自然規(guī)律和解決水文實際問題的主要工具，它以整個流域水文系統(tǒng)為研究對象，根據(jù)自然界中降雨、蒸發(fā)和徑流等水文過程運動規(guī)律建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，借助必要的計算工具，模擬、分析和預(yù)測流域內(nèi)水體的存在方式、運動規(guī)律和分布狀況等。流域內(nèi)的自然水體運動規(guī)律復(fù)雜，如何通過適當(dāng)概化，利用現(xiàn)有方法體系去描述流域水體的自然運動規(guī)律，達(dá)到高度近似或逼近真實物理過程的目的，一直以來都是水文學(xué)要解決的核心問題。降雨和下墊面的空間異質(zhì)性是水文過程非線性的主要根源，是制約水文模型發(fā)展的關(guān)鍵因素。自從20世紀(jì)50年代流域水文模型的概念提出以來，水文模型在描述水文過程的機理上經(jīng)歷了系統(tǒng)性模型、概念性模型、物理性模型的發(fā)展歷程，同時在降雨和下墊面空間變異性的處理上也從集總式模型走向分布式模型［1］。分布式水文模型通過空間離散的方式解析降雨和下墊面的空間異質(zhì)性，能夠更好地反映真實的物理過程。然而，在實際應(yīng)用中，相比集總式水文模型，分布式水文模型并沒有體現(xiàn)出其應(yīng)有的優(yōu)勢，模擬精度沒有實質(zhì)性提高，水文模型的發(fā)展陷入了瓶頸期。

降雨和下墊面空間異質(zhì)性的科學(xué)描述成為水文模型尤其是概念性水文模型的“卡脖子”難題，構(gòu)建包含這些影響因素的流域水文模型是水文學(xué)家追求的目標(biāo)［2］，同時也是提高預(yù)報精度的重要突破口。概念性水文模型常通過引入蓄水容量曲線反映下墊面空間分布的異質(zhì)性。例如，新安江模型采用拋物線［3］、雙拋物線［4］或Erlang分布曲線［5］等描述土壤蓄水容量空間分布的不均勻性；同樣，在SCS模型中引入新的土濕比分布函數(shù)可以更好地解釋模型的超滲產(chǎn)流特性［6］；基于HAND地形指數(shù)曲線建立的HSC產(chǎn)流模型可以很好地描述植被根系區(qū)蓄水容量的空間分布［7］。雖然通過引入這些特征曲線可以考慮土壤蓄水容量的空間異質(zhì)性，一定程度上可以反映局部產(chǎn)流特征，但匯流計算時仍然是按流域平均產(chǎn)流量進行計算，導(dǎo)致這些概念性模型無法實現(xiàn)局部產(chǎn)流面積上的局部匯流。為此，本文以等蓄水容量（簡稱等容微元）為計算單元，采用條件概率的形式，創(chuàng)造性地提出等容瞬時單位線的概念，相當(dāng)于采用變單位線的方式計算等容微元產(chǎn)流量的地表徑流，從而可以實現(xiàn)局部產(chǎn)匯流計算過程在空間尺度上的統(tǒng)一。

1" 等容瞬時單位線

流域蓄水容量表示的是包氣帶最干旱時的缺水量，受流域下墊面地形和土壤質(zhì)地等多種因素影響，考慮到地形指數(shù)同樣是反映流域缺水情況的指標(biāo)，兩者之間存在某種關(guān)系，有學(xué)者通過地形指數(shù)間接計算蓄水容量，為了解蓄水容量的空間分布提供了一條途徑［8-9］。對于一些山丘型流域，降雨空間分布均勻的情況下，越靠近流域出口，坡降越緩，集水面積越大，地形指數(shù)越大，蓄水容量越小，這部分地區(qū)越容易先產(chǎn)流；而越靠近流域出口，匯流長度越小，匯流時間越短。因此，先產(chǎn)流的這部分地區(qū)越先匯流到出口斷面。反之，越靠近流域邊緣，蓄水容量越大，產(chǎn)流越晚，匯流時間越長，越晚到達(dá)出口斷面。可見，匯流與產(chǎn)流存在一定的空間關(guān)聯(lián)性，具體可由匯流時間與蓄水容量的空間相關(guān)性體現(xiàn)。這種相關(guān)性取決于流域的地形地貌特征，某種意義上可看成是流域的一個內(nèi)在屬性。流域匯流時間與蓄水容量在空間上的相關(guān)程度決定了流域產(chǎn)匯流過程的空間分布特征，如果能科學(xué)地描述這兩者之間的相關(guān)性，將在一定程度上改善現(xiàn)有產(chǎn)匯流機制。

能夠最完整描述兩個隨機變量關(guān)系的方式就是它們之間的聯(lián)合分布函數(shù)［10-11］，而Copula 函數(shù)以聯(lián)合概率的形式反映變量間的相依性，是描述變量間相關(guān)性結(jié)構(gòu)的有效工具［12］，近幾年在水文分析計算、水文預(yù)報等多個領(lǐng)域得到了成功應(yīng)用［13-15］。由于蓄水容量與匯流時間的空間分布都會受到地形地貌的影響，兩者在空間上具有一定的相關(guān)性，考慮到蓄水容量曲線和瞬時單位線恰是反映兩者空間分布的概率分布形式，為此，可以通過Copula函數(shù)構(gòu)造蓄水容量與匯流時間的空間相關(guān)性結(jié)構(gòu)，借以條件概率的形式實現(xiàn)產(chǎn)匯流過程在空間尺度上的統(tǒng)一。首先以等容微元為計算單元進行產(chǎn)流計算，得出每個單元的產(chǎn)流量，再借用Copula函數(shù)構(gòu)造兩者的聯(lián)合分布，進而得出等容微元匯流時間的條件概率密度函數(shù)，相當(dāng)于每個計算單元的瞬時單位線，由此計算每個單元的地表匯流，最后得出整個流域的出口流量過程。

假定u=FT（t）、v=FS（s）分別為匯流時間T和蓄水容量S在空間上的概率分布函數(shù)，則它們的聯(lián)合分布可以根據(jù)Copula函數(shù)構(gòu)建，即［12］：" FT，S（t，s）=C（u，v，θ）=C（FT（t），F(xiàn)S（s），θ）

（1）

式中：FT，S（t，s）為蓄水容量與匯流時間的聯(lián)合分布函數(shù)，C（u，v，θ）為Copula函數(shù)，θ為反映T和S空間相關(guān)性的參數(shù)。

Copula函數(shù)分為橢圓型、Archimedean型和二次型三大類，其中Archimedean 型在水文領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛，常見的Archimedean Copula函數(shù)如表1所列。不同的函數(shù)形式刻畫了不同的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，具體應(yīng)用時需根據(jù)流域的特點選用合適的Copula函數(shù)形式。例如，Clayton具有較強的下尾部相關(guān)性，更適合描述匯流時間和蓄水容量越低相關(guān)性越強的流域；與之相反，Gumbel-Hougaard（GH）具有較強的上尾部相關(guān)性，更適合描述匯流時間和蓄水容量越高相關(guān)性越強的流域。Ali-Mikhail-Haq（AMH）和Frank則適用于匯流時間和蓄水容量沒有尾部相關(guān)性的流域。

可見，只要已知T和S的概率分布函數(shù)或概率密度函數(shù)就可以得到二者的聯(lián)合分布。結(jié)合Nash瞬時單位線的物理含義可知［16］，它實質(zhì)上就是均勻降落在流域上的無窮個凈雨水滴匯集至流域出口斷面所形成的時間-面積曲線，也是匯流時間在空間上的概率密度函數(shù)fT（t）［17］，即：

fT（t）=1KΓ（n）tKn-1e-tK

（2）

式中：n、K為參數(shù);Γ（n）為伽馬函數(shù)。

流域蓄水容量曲線是指蓄水容量的面積分布曲線，反映了蓄水容量在空間上的概率分布，因此FS（s）可用蓄水容量曲線即B次拋物線表示，則有：FS（s）=1-1-sWmmB

（3）

式中：Wmm為流域蓄水容量的最大值，B為參數(shù)。

基于構(gòu)建的蓄水容量和匯流時間的聯(lián)合分布FT，S（t，s），進一步推求匯流時間的條件概率密度函數(shù)fT|S（t，s），可得：

fT|S（t，s）=c（FT（t），F(xiàn)S（s），θ）fT（t）

（4）

式中：c（u，v，θ）為Copula函數(shù)的概率密度。

根據(jù)fT|S（t，s）的數(shù)學(xué)含義可知，fT|S（t，s）為某一蓄水容量面積上匯流時間的概率密度，進一步結(jié)合瞬時單位線的含義，它即為等容微元的瞬時單位線，簡稱等容瞬時單位線，如圖1所示。可以看出，蓄水容量越小的地方，匯流時間越短，形成的出口流量過程呈現(xiàn)尖峰狀；而蓄水容量越大的地方，匯流時間相對越長，形成的出口流量過程則比較平緩。等容瞬時單位線可以很好地體現(xiàn)匯流過程的這種空間異質(zhì)性。

假定將蓄水容量按照Wmm/m的間隔將流域離散為m個不同的等容微元，則第j （j=1，2，…，m） 個等容微元的相對面積αj為

αj=FS×jWmmm-FS×（j-1）Wmmm

（5）

根據(jù)其概率密度函數(shù)可得第j個等容微元的平均蓄水容量sj為

sj=Wmm1-mαjB1B-1

（6）

則該等容微元的時段單位線qj，t為

qj，t=Aαj3.6Δt［FT|S（t，sj）-FT|S（t-Δt，sj）］

（7）

式中：A為流域面積；Δt為計算時段；FT|S（t，s）為fT|S（t，s）的累積分布函數(shù)，且FT|S（t，s）=Cv（FT（t），F(xiàn)S（s），θ），Cv（u，v）=C（u，v）/v。當(dāng)匯流時間與蓄水容量的空間相關(guān)性為0時，F(xiàn)T|S（t，s）即退化為FT（t），等容微元的時段單位線即退化成流域時段單位線。

2" 等容微元產(chǎn)流量的計算

等容微元的蒸散發(fā)Ej，t按照一層蒸散發(fā)模型進行計算，即認(rèn)為實際蒸發(fā)量與等容微元蓄水量呈正比：

Ej，t=Wj，tsjE0，t

（8）

式中：Wj，t為等容微元蓄水量，E0，t為潛在蒸散發(fā)。

按照蓄滿產(chǎn)流理論，等容微元未蓄滿之前，不產(chǎn)生徑流。等容微元蓄滿之后，下滲能力達(dá)到流域穩(wěn)定下滲率fc，降雨全部產(chǎn)流。即當(dāng)Pt-Ej，tgt;fcΔt時，該等容微元的地表徑流產(chǎn)流量為

RSj，t=Pt-Ej，t-fcΔt

（9）

式中：Pt為t時刻的降雨。

地下徑流產(chǎn)流量為

RGj，t=fcΔt

（10）

當(dāng)Pt-Ej，t≤fcΔt時，只產(chǎn)生地下徑流量：RGj，t=Pt-Ej，t

（11）

假定地表和地下產(chǎn)流量各有部分產(chǎn)流轉(zhuǎn)化為壤中流，分配系數(shù)分別為KI和KG，則壤中流為

RIt=KImj=1αjRSj，t+KGmj=1αjRGj，t

（12）

3" 流域匯流計算

采用等容時段單位線計算每個等容微元的地表徑流，再按線性疊加原理求和得到流域出口斷面的地表徑流過程，即：

QSt=mj=1nTi=1（1-KI）RSj，iqj，t-i+1

（13）

式中：QSt為地表徑流；nT為等容時段單位線的時段數(shù)。

壤中流和地下徑流匯流均采用線性水庫法進行計算，即：QIt=CI×QIt-1+A3.6Δt（1-CI）×RIt

（14）

QGt=CG×QGt-1+A3.6Δt（1-CG）（1-KG）mj=1αjRGj，t

（15）

式中：QIt，QGt分別為壤中流和地下徑流；CI，CG分別為壤中流和地下徑流的消退系數(shù)。

將三者求和即可得到整個流域出口斷面的總徑流，則有：Qt=QSt+QIt+QGt

（16）

綜上所述，將流域以等容微元為計算單元分別進行產(chǎn)匯流的計算，最終得到流域出口斷面的流量過程，由此提出了基于等容瞬時單位線的水文模型（Isovolumetric Instantaneous Unit Hydrograph based Hydrological Model，以下簡稱為IIUHH）。IIUHH模型共有11個參數(shù)，分別是瞬時單位線參數(shù)n和K、蓄水容量曲線參數(shù)Wmm和B、Copula參數(shù)θ、穩(wěn)定下滲率fc、壤中流分配系數(shù)KI和KG、壤中流和地下徑流的消退系數(shù)CI和CG，以及蒸散發(fā)折算系數(shù)k。

4" 應(yīng)用研究

清江是長江出三峽水庫后的第一大支流，發(fā)源于鄂西利川市齊岳山龍洞溝。自西向東流經(jīng)湖北省利川、恩施、建始、咸豐、宣恩、巴東、鶴峰、五峰、長陽、枝城等10縣市，在枝城注入長江，全長423 km，流域面積約17 000 km2。其中，恩施水文站以上為清江上游，全長153 km，河床平均比降為6.5‰，流域面積2 928 km2，流域的水系及水文、氣象站點分布如圖2所示。流域內(nèi)碳酸鹽巖分布廣泛，占流域面積的56％，屬于典型的喀斯特地貌，地下暗河、盲谷、伏流極為發(fā)育，為該地區(qū)的洪水預(yù)報帶來了巨大挑戰(zhàn)。本文采用IIUHH建立清江上游的洪水預(yù)報模型，驗證所提模型在該流域的適用性，并為該地區(qū)的洪水預(yù)報提供科學(xué)依據(jù)。

為評估所構(gòu)建IIUHH模型的綜合性能，選取Nash效率系數(shù)（NSE）、洪峰相對誤差（PRE）和Kling-Gupta效率系數(shù)（KGE）作為精度評價指標(biāo)，各指標(biāo)計算公式如下：NSE=1-Tt=1（Qt，s-Qt，o）2Tt=1（Qt，o-Q—o）2

（17）

PRE=Qp，s-Qp，oQp，o

（18）

KGE=1-（ρ-1）2+σsσo-12+QsQo-12

（19）

式中：Qt，s和Qt，o分別為實測值和模擬值；Qp，s和Qp，o分別為實測洪峰和模擬洪峰；Qs和Qo分別為實測和模擬序列的均值；T為洪水序列長度；σs和σo分別為實測和模擬序列的標(biāo)準(zhǔn)差；ρ為實測和模擬序列的相關(guān)系數(shù)。

選用清江上游2008～2019年16場場次洪水進行模型的率定和檢驗。其中，前12場用于模型率定，后4場用于模型檢驗，計算時段長為1 h，按照蓄水容量由小到大共劃分了10個等容微元，以NSE為目標(biāo)函數(shù)，采用SCE-UA算法進行模型參數(shù)率定。選用表1中常用的Copula函數(shù)構(gòu)建不同形式的IIUHH，選取常用的新安江模型作為對比，同時，為了衡量匯流時間與蓄水容量相關(guān)性的影響，將兩者零相關(guān)的情形也進行了計算，參數(shù)率定結(jié)果見表2。參數(shù)θ可以反映蓄水容量和匯流時間的相關(guān)性，從各IIUHH的參數(shù)率定結(jié)果及參數(shù)θ與Kendall秩相關(guān)系數(shù)的關(guān)系可以算出［12］，兩者的Kendall秩相關(guān)系數(shù)為0.20～0.28，呈現(xiàn)一定程度的弱相關(guān)性。

表3給出了各水文模型評價指標(biāo)的計算結(jié)果，可以看出，在率定期和檢驗期，新安江模型的平均NSE分別為0.777 2和0.830 0，而所有IIUHH模型的平均NSE都超過了0.85。其中，零相關(guān)情形下的IIUHH表現(xiàn)最差，平均NSE分別為0.851 7和0.850 4；Clayton形式的IIUHH表現(xiàn)最優(yōu)，平均NSE分別達(dá)到了0.870 9和0.859 1；AMH形式的IIUHH次之，平均NSE分別為0.865 2和0.863 6；Frank和GH形式的IIUHH結(jié)果相當(dāng)。因此，IIUHH相比傳統(tǒng)的新安江模型有較大程度的提高，而考慮了匯流時間和蓄水容量空間相關(guān)性的IIUHH要比不考慮相關(guān)性的IIUHH精度要高。

PRE的計算結(jié)果表明，在率定期和檢驗期，新安江模型的平均PRE都是0.19，而所有IIUHH模型的平均PRE都有一定程度的降低。其中，Clayton形式的IIUHH降低最多，平均值只有0.14和0.12。KGE是一個綜合評價指標(biāo)，它同時考慮了模擬序列的誤差、方差以及與實測序列的相關(guān)性。由表3可知，在率定期和檢驗期，新安江模型的平均KGE只有0.7403和0.607 5，而不同形式的IIUHH模型都有不同程度的提高。相對而言，AMH和Clayton形式的IIUHH提高較多，在率定期分別達(dá)到了0.840 1和0.837 2；兩者在

檢驗期也分別達(dá)到了0.751 3和0.770 5。綜合來看，

Clayton形式的IIUHH表現(xiàn)更優(yōu)，其相對于新安江模

型，率定期的NSE和KGE分別提高了12%和13%，PRE降低了26%；檢驗期的NSE和KGE分別提高了4%和27%，PRE降低了36%。因此，Clayton型的IIUHH更適用于清江上游洪水的模擬。圖3進一步展示了該模型部分場次洪水的模擬結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，Clayton型的IIUHH模擬結(jié)果更加接近于實際的洪水過程，洪峰也更接近實測值，相比新安江模型有不同程度的提高。

5" 結(jié) 論

本文考慮到產(chǎn)流和匯流在進程上的密切關(guān)聯(lián)性，基于蓄水容量和匯流時間的聯(lián)合分布及條件概率，提出了等容瞬時單位線的概念，并構(gòu)建了基于等容瞬時單位線的水文模型，該模型具有如下特點：（1） 以等蓄水容量為計算單元，基于蓄滿產(chǎn)流原理計算單元產(chǎn)流量，采用等容瞬時單位線進行單元產(chǎn)流量的地表匯流計算，從而實現(xiàn)了局部產(chǎn)流和局部匯流計算過程的統(tǒng)一。

（2） 以條件概率形式表述的等容瞬時單位線，考慮了匯流時間與蓄水容量的空間相關(guān)性，反映了瞬時單位線在流域上的空間差異。

（3） 相較于新安江模型，等容瞬時單位線模型對洪峰和洪水過程的模擬有一定程度的提高。此外，模型參數(shù)個數(shù)相對較少，一定程度上降低了模型的不確定性。

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（編輯：謝玲嫻）

A hydrological model based on isovolumetric instantaneous unit hydrograph

YAN Baowei1，2，TANG Yiwei1，2，LIU Yu3，GU Donglin1，2，SUN Mingbo1，2

（1.School of Civil and Hydraulic Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China;

2.Hubei Key Laboratory of Digital River Basin Science and Technology，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China;

3.Changjiang Survey，Planning，Design and Research Co.，Ltd.，Wuhan 430010，China）

Abstract：

The spatial heterogeneity of the underlying surface in a basin has a significant impact on runoff generation.The water storage capacity curve can effectively address the issue of spatial heterogeneity in runoff generation.When the instantaneous unit hydrograph is used for calculating surface runoff confluence，it is considered as the net rain with uniform spatial distribution.In this scenario，local runoff does not account for local confluence.In this paper，the spatial correlation between confluence time and water storage capacity was considered，and their joint distribution was constructed by a Copula function.The spatial distribution characteristics of confluence time at various storage capacities were manifested in the form of conditional probability.Furthermore，a concept of an isovolumetric instantaneous unit hydrograph was proposed by using the isovolumetric water storage capacity as the calculation unit.This approach was equivalent to the variable unit hydrograph method for calculating the confluence of surface runoff，thereby unifying the calculation process for local runoff and confluence.Therefore，an isovolumetric instantaneous unit hydrograph based hydrological model （IIUHH） was constructed，and various forms of IIUHH were developed based on the type of Copula function.Finally，the Qingjiang River upstream was selected as a case study.The results showed that Clayton Type IIUHH performed better in the study area.Compared with the Xin′anjiang model，the Nash efficiency coefficient can be increased by 4% to 12%，the Kling-Gupta efficiency coefficient can be increased by 13% to 27%，and the flood peak relative error can be reduced by 26% to 36%.The simulation accuracy of flood peak and flood processes has been significantly enhanced.The research results can be used for high-precision runoff prediction in a basin.

Key words：

isovolumetric instantaneous unit hydrograph; hydrological model; water storage capacity; spatial correlation; Xin′anjiang model; Qingjiang River