數列通項公式解法探究

【摘要】數列是高中數學教材選擇性必修第二冊第四章的重要內容，求解數列的通項公式是學習這部分知識的重點和難點，常用的方法主要有：遞推關系法，累加法，累乘法，定義法（適用于an+1=anf（n）），數學歸納法等，而本文介紹的方法是以教材課后閱讀與思考的“斐波那契數列”為模型，用二階常系數線性齊次遞歸方程an+p1an－1+p2an－2=0求解數列的通項公式.以數學教材為本，以高考試題為范，結合“斐波那契數列”模型，介紹另外一種新的解法——特征值法，以拓展解題思路，更好的理解數列的本質和規律，同時增強數學教材的引領作用，提升數學學科核心素養.

【關鍵詞】 數列；通項公式；斐波那契數列

1 知識溯源（數學教材選擇性必修第二冊P10）

意大利數學家斐波那契在他的著作《算盤全書》中收錄了一個有意思的兔子繁殖問題：

如果1對兔子每月能生1對小兔子（一雌一雄），而每1對小兔子在它出生后第3個月里，又生下1對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，由1對初生的小兔子開始，50個月后會有多少兔子？100個月后呢？

并且得到如下規律：

從第1個月開始，每月末的兔子總對數是

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144 ……

如果用Fn表示第n個月的兔子總對數，可以看出，

Fn=Fn－1+Fn－2（n>2）.

這是一個由遞推公式給出的數列，稱為斐波那契數列.可以發現：斐波那契數列的后一項是前兩項之和.

在實際的數學問題中，我們經常會遇到類似“斐波那契數列”模型的題型，并且所要求的項數很大，如果用遞推的方式求解的話，就會變得很繁瑣，計算量很大，這是不可取的，下面介紹的是求解“斐波那契數列”通項公式的一種新的方法：特征值法，并對斐波那契數列由Fn=Fn－1+Fn－2（n>2）拓展到二階常系數線性齊次遞歸方程an+p1an－1+p2an－2=0.

引理（特征值法）

求二階常系數線性齊次遞歸方程an+p1an－1+p2an－2=0通解的主要思路是通過令an=xn代換，把上述方程轉化為特征方程x2+p1x+p2=0.解此特征方程即得原方程的通解，對通解可分三種情況討論：

①當Δ>0時，有兩個相異的實根，x1=q1，x2=q2，則通解為：

an=c1q1n+c2q2n

②當Δ=0時，有兩個相等的實根，x1=x2=q，則通解為：

an=c1+c2·nqn.

③當Δ<0時，有一對共軛復根，x1=r（cosθ+isinθ），x2=r（cosθ－isinθ），則通解為：

an=rn（c1cosnθ+c2sinnθ）.

這里的c1，c2為任意常數.利用這個引理和初始條件a1，a2我們很容易獲得所求數列的通項公式.下面我從3個例子分別介紹這類數列問題的解法.

2 “斐波那契數列”通項公式

（2022·云南師范大學實驗中學高三模擬）斐波那契數列an滿足an+2=an+1+an，且a1=1，a2=1，求an的通項公式.

試題分析：題目已經明確an是斐波那契數列，且滿足an+2=an+1+an，a1=1，a2=1，因此an符合“斐波那契數列”模型特點：Fn=Fn－1+Fn－2（n>2）.并且可以看作

解法評析 特征值法是求解數列通項公式的重要方法，遇到有“斐波那契數列”特征的數列題型時，先觀察題目條件是否符合Fn=Fn－1+Fn－2（n>2）的特點，如果符合，可以優先選用特征值法，按照引理中所介紹的解題步驟得到特征方程，結合初始條件a1，a2進行求解.這種方法可以快速地推導出數列的通項公式，從而更好地理解數列的性質和規律.

3 “an+1=2an+2an－1”型數列通項公式

（2023·江蘇省灌云高級中學）已知數列an滿足an+1=2an+2an－1（n≥2）.a1=0，a2=1.求通項公式an

試題分析：這個例題涉及同一個數列的相鄰3項，并且已知初始條件a1=0，a2=1.如果我們用常規的遞推法求解，會發現遞推法太過繁瑣，而且在猜想通項公式的過程中容易出錯，而構造法需要以等差數列為基礎依據，形式也十分復雜.結合題意條件，此題符合二階常系數線性齊次遞歸方程an+p1an－1+p2an－2=0（p1=－2，p2=－2）特點，因此，可以結合上面的引理進行巧妙求解.

解法評析 在高中數學的學習過程中，數列主要分為兩類：等差數列和等比數列，對于不規則數列（例：“斐波那契數列”模型）通項公式的求解方法討論得比較少，而特征值法對求解這類數列的通項公式有很大的優勢.數學知識呈現方式的多樣性、解決數學問題方法的不唯一性和數學思維方式的開放性要求在學習數列這部分知識的過程中，要注重理解數列的本質，抓住二階常系數線性齊次遞歸方程的特征，注重方法和技巧.

4 結語

這3個例子都有一個共性：涉及同一個數列的相鄰三項，并且這三項具有和差系數關系，這都是“斐波那契數列”模型的拓展與推廣.此外，“吃透教材”，首先要理解教材上的基本定義、概念，掌握例題的做題方法，課后完成練習務實基礎知識.“超越教材”，在學有余力的情況下，不應拘泥于教材，根據自己的實際情況，進行課后閱讀，對教材上閱讀與思考部分進行延申，在增強學習能力，提升數學思維的同時激發學習興趣和創新能力，做一個真正的數學學習者.

參考文獻：

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