豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的分析與拓展

【摘要】本文通過例題的形式對(duì)豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題進(jìn)行分類分析，并給出相應(yīng)的解題思路．然后，對(duì)豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的處理方法進(jìn)行拓展延伸分析．

【關(guān)鍵詞】高中物理；圓周運(yùn)動(dòng)；臨界問題

豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是高中物理的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是歷年高考的高頻考點(diǎn)，常以“繩”模型或“桿”模型為載體命題，以臨界問題為考查的切入點(diǎn)，考查學(xué)生的模型建構(gòu)能力和科學(xué)推理能力．

1 豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的分析

1.1 “輕繩（外軌道）”模型臨界問題

例1 如圖1是某教具“離心軌道”，它可以形象地演示“過山車”的運(yùn)行原理，其演示過程可簡(jiǎn)化成圖2所示的“小滑塊軌道”模型．已知圖中軌道光滑且處于豎直平面內(nèi)，其中圓弧軌道的半徑R=10cm，B、C兩點(diǎn)分別為圓弧軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，現(xiàn)將一質(zhì)量m=100g可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑塊，自軌道AB段上距B點(diǎn)的高度為h的位置由靜止釋放．重力加速度g取10m/s2．

（1）欲使小滑塊順利通過C點(diǎn)h的最小值多大？

（2）在實(shí)際操作時(shí)發(fā)現(xiàn)，若將小滑塊自（1）問所得高度由靜止釋放，小滑塊總無法通過C點(diǎn)，而是會(huì)中途脫軌，這是為什么？若調(diào)整釋放高度，當(dāng)h=0.27m時(shí)，小滑塊恰能通過C點(diǎn)完成圓周運(yùn)動(dòng)，則小滑塊自釋放到C點(diǎn)的過程中克服阻力所做的功多大？

解析 （1） 小滑塊順利通過C點(diǎn)的最小速度滿足mg=mv2R，

從A到C由動(dòng)能定理得mg（h－2R）=12mv2－0，

解得h=0.25m.

（2）由于軌道及空氣有阻力，小球到達(dá)C點(diǎn)之前就會(huì)脫離軌道，故無法到達(dá)C點(diǎn)．

根據(jù)動(dòng)能定理得

mg（h－2R）－Wf=12mv2－0，

解得Wf=0.02J.

點(diǎn)評(píng) 小球在豎直面內(nèi)的“軌道”模型中做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件是在圓周上的速度最小處剛好不脫離軌道，即軌道對(duì)小球剛好沒有彈力，那么，僅有重力給小球做圓周運(yùn)動(dòng)提供向心力．

1.2 “輕桿（管道）”模型臨界問題

例2 如圖3所示，豎直平面內(nèi)由傾斜軌道AB、半徑為R的圓周細(xì)圓管O1（在底部C處有交錯(cuò)，交錯(cuò)寬度不計(jì)）、半徑為R的四分之一圓弧軌道DE構(gòu)成一游戲裝置固定于地面．B，D處均平滑連接，粗糙水平直軌道CD段長(zhǎng)為1.5R，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，其他所有摩擦均不計(jì)．現(xiàn)將質(zhì)量為m的小滑塊從斜面的某高度h處靜止釋放，不計(jì)滑塊大小和經(jīng)過連接處的機(jī)械能損失．求：

（1）若h =3.5R，小滑塊第一次沖出E點(diǎn)后達(dá)到的最高點(diǎn)離E點(diǎn)的高度；

（2）若h =3R，小滑塊第一次到達(dá)細(xì)圓管的最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的作用力.

解析 （1）若h=3.5R，設(shè)小滑塊第一次沖出E點(diǎn)后達(dá)到的最高點(diǎn)離E點(diǎn)的高度為h1，由開始到小滑塊第一次到達(dá)最高點(diǎn)的過程由動(dòng)能定理mg（3.5R－R－h(huán)1）－μmg（1.5R）=0，

解得h1=1.75R.

（2）若h=3R，設(shè)小滑塊第一次到達(dá)細(xì)圓管的最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，從開始到小滑塊第一次到達(dá)細(xì)圓管道的最高點(diǎn)的過程，根據(jù)動(dòng)能定理有mg（3R－2R）=12mv2，

設(shè)小滑塊在最高點(diǎn)時(shí)所受管道的支持力大小為FN，根據(jù)牛頓第二定律有FN+mg=mv2R，

解得FN=mg.

根據(jù)牛頓第三定律，可知小滑塊在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)管道的壓力大小為mg，方向豎直向上．

點(diǎn)評(píng) 小球在豎直面內(nèi)的“管道”模型中做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件是小球恰好能通過最高點(diǎn)，即通過最高點(diǎn)的臨界速度為0，此時(shí)，在最高點(diǎn)管道對(duì)支持力等于小球的重力．

2 豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的拓展應(yīng)用

例3 如圖4所示，一個(gè)光滑斜面與一個(gè)光滑的豎直圓軌道在A點(diǎn)相切，B點(diǎn)為圓軌道的最低點(diǎn)，C點(diǎn)為圓軌道的最高點(diǎn)，整個(gè)空間存在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量m=1kg，電荷量為－q（q>0）的帶電小球從斜面上靜止釋放，小球始終能沿軌道運(yùn)動(dòng)．已知電場(chǎng)強(qiáng)度E=3mg4q，θ=53°，圓軌道半徑R=0.8m，g取10m/s2，sin53°=0.8，若小球恰好能完成圓周運(yùn)動(dòng)，釋放點(diǎn)沿斜面到A的距離為（ ）

（A）1.2m. （B）2.2m.

（C）2.0m. （D）2.1m.

解析 對(duì)小球受力分析，如圖5所示，小球所受電場(chǎng)力水平向右，若小球恰好能完成圓周運(yùn)動(dòng)，則設(shè)小球于B點(diǎn)右側(cè)某位置達(dá)到最大速度，位置和圓心連線與豎直方向成α角，由受力分析得tanα=qEmg，故α=37°，此時(shí)兩個(gè)力的合力F合=mgcos37°=54mg，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到與該位置關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的位置時(shí)，小球速度最小，則最小速度滿足 54mg=mv21R，解得v1=10m/s，從開始釋放到速度最小的位置，列動(dòng)能定理mg（ssinθ－Rcosθ－Rcosα）+qE（scosθ+Rsinθ－Rsinα）=12mv21，解得s=1.2m．故選（A）．

點(diǎn)評(píng) 帶電小球在豎直面內(nèi)受重力和電場(chǎng)力，這兩個(gè)力都是恒力，所以可將這兩個(gè)力等效為一個(gè)力，找“物理最高點(diǎn)”和“物理最低點(diǎn)”，問題很快得到解決．若不理解小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)，會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件是vC=gR．

3 結(jié)語

豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)考查的問題綜合性強(qiáng)，解決這類問題時(shí)，學(xué)生先要認(rèn)清是哪種模型，根據(jù)不同模型中小球做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件的本質(zhì)入手，根據(jù)題目所給的條件列出小球恰好做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界方程才能正確地解決問題．

參考文獻(xiàn)：

[1]陸丁，王春梅.問題驅(qū)動(dòng)思維引領(lǐng)——對(duì)豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)再分析[J].物理通報(bào)，2020（S2）：33-35.