例析含容電磁感應問題中的兩種模型

【摘要】電磁感應問題是高中物理中的一個重要板塊，其以法拉第電磁感應定律為基礎，輔以電磁學知識，研究一系列問題.其中含電容器的電磁感應問題是難度較大的一類問題，綜合性強，對思維能力要求高.本文結合例題探究含容電磁感應問題中的兩種模型，以供讀者參考.

【關鍵詞】電容器；電磁感應；高中物理

1 無外力穩態模型

無外力穩態模型的關鍵點在于“無外力”和最終的“穩態”過程.“無外力”意味著有物理量守恒，而穩態則是將問題簡化，不需要去過多研究中間復雜的變化過程，而只需要研究最后的穩態，就可以利用能量守恒定律和動量守恒定律等簡化解題.

例1 如圖1所示，兩根平行光滑金屬導軌的間距L為1m，其左端通過導線與N=10的金屬線圈連接，而右端與一個電容C=1F的電容器相連接.導軌固定在平面內，其中M，N兩處用絕緣光滑材料制成.金屬線圈內有面積S=0.2m2的圓形區域的勻強磁場，方向垂直于紙面向里，磁感應強度的大小隨時間變化，滿足B1=B0+kt的規律，其中k=3T/s.除此之外，整個平行導軌區域內存在垂直于平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B2=1T.將一個質量m=2kg，電阻R=2Ω，長度比導軌間距L略大的導體棒置于左側的導軌上，金屬線圈內的磁場開始變化時，導體棒就立刻開始運動并在到達M，N兩處前做勻速運動，經過M，N兩點后在右側導軌上最終做速度較小的勻速運動.整個過程中導體棒始終與導軌接觸良好并垂直，不計其它電阻.

（1）求導體棒到M，N兩處之前做勻速運動的速度v1；

（2）求導體棒最終做速度較小的勻速運動時的速度大小v2以及在穩定時電容器的帶電量q.

（3）忽略其它的能量損失，已知電容器的電場能公式為E=12CU2，試求導體棒在右側軌道上運動過程中的發熱量Q.

解析 （1）當導體棒的動生電動勢等于圓環產生的感生電動勢時，導體棒受力平衡，導體棒做勻速運動，則E感=NSk.

又因為E1=B2Lv1，E1=E感，

解得v1=6m/s.

（2）導體棒再次做勻速運動時，電容器兩端電壓相當于導體棒的電動勢，則UC=qC，E2=B2Lv2，E2=UC.對導體棒使用動量定理可得－B2Lq=mv2－mv1，綜上所述可解得q=4C，v2=4m/s.

（3）導體棒的動能減a521949d8e733ed36b3358b54afc94f2少量應等于電容器電場能和導體棒電阻的發熱量之和，即ΔEk=E+Q.由（2）可得穩定時電容器兩端電壓為U=4V，

則由E=12CU2，解得E=8J，

可得ΔEk=20J，

所以可得Q=12J.

2 恒定外力模型

恒定外力雖然在不斷地做功，但是只要明晰物體之間的作用關系，就可以解出答案.因恒定外力，所以也可能存在守恒量，利用守恒量列出等式，與題目條件結合即可.

例2 如圖2所示，兩個軌道ABEF，CDGH平行放置，距離為d，AB、CD與水平面之間的夾角為30°，BE，DG是光滑且絕緣的圓弧軌道（長度忽略），其余部分則都是金屬材料，電阻忽略不計.EF，GH兩端均光滑且長度足夠長，兩者在同一水平面上，軌道的AC端接上一個電容C=mB2d2的電容器，FH端接上一個電阻不變，阻值為R的燈泡.ABCD所在的平面內的磁場方向垂直于平面向下，EG右側水平面內的磁場方向豎直向上，兩個磁場磁感應強度的大小均為B.現有一根長為d，質量為m的導體棒從AC附近由靜止釋放，不計導體棒5b97a4f6e32522fac596aa636843f56d的電阻，在兩平面的交界處EG與靜止的質量為2m，電阻為2R，長度大小為d的導體棒Q發生彈性碰撞，碰后的瞬間，導體棒P被拿走時小燈泡恰好正常發光.導體棒P的初始位置離水平面的高度為h，導體棒與傾斜導軌之間的動摩擦因數為μ=39，重力加速度大小為g，導體棒在運動過程中始終與導軌接觸良好并垂直.

（1）求小燈泡的額定功率；

（2）求導體棒Q在磁場中運動的距離以及過程中導體棒Q上產生的焦耳熱.

解析 （1）導體棒P在傾斜導軌上運動時，對導體棒P受力分析可得：mgsin30°－μmgcos30°－FA=ma.

又因為FA=BId=BΔqΔtd=BCΔUΔtd

=BCBdΔvΔtd=CB2d2a，

解得a=mg3（m+CB2d2）=g6.

設棒P到達EG時的速度為v0，

則有v02=2a×hsin30°.

設導體棒P，Q相撞后瞬間的速度分別為v2，v1，因為在碰撞過程中動量守恒，

所以有mv0=mv2+2mv1，

由能量守恒定律可得：

12mv02=12mv22+12×2mv12，

解得v1=232gh3，

此時導體棒Q產生的感應電動勢為E=Bdv1，

此時流過燈泡的電流為I=ER+2R，

此時燈泡的功率為P=P額=I2R=8B2d2gh243R.

（2）導體棒Q在水平軌道上滑動時，對導體棒使用動量定理可得IA=0－2mv1.

設導體棒Q在水平軌道上滑動的時間為t，通過的距離為x，

則IA=－BIdt=－BE2R+Rdt

=－BBdxt2R+Rdt=B2d2x3R，

解得x=4mRB2d22gh3.

導體棒Q在運動過程中由能量守恒定律有

Q總=12×2mv12，

導體棒Q上產生的熱量為

Q1=2RR+2RQ總=16mgh81.

3 結語

上述兩種模型常常以壓軸題出現，學生要根據例題分析其中的細節，體悟解題的過程，歸納總結解題方法，從而提高物理素養.除此之外，要有扎實的知識基礎才能在面對各種題型時從容不迫.

【基金項目：福建省教育科學“十三五”規劃2020年度教育教學改革專項課題：物理奧賽分層教學實踐研究（FJJGZX20-089）研究成果】