牛頓-萊布尼茨的微積分發(fā)明優(yōu)先權之爭（上）

幾年前，筆者寫了一篇關于牛頓萬有引力和蘋果故事的文章（《牛頓的蘋果——真的、假的》，以下簡稱《蘋果》），指出牛頓受蘋果下落啟發(fā)而發(fā)現(xiàn)萬有引力的故事并非虛假，而是來自牛頓本人的回憶；筆者也介紹了牛頓與胡克爭端的始末，牛頓的名言“我之所以看得更遠，是因為站在巨人的肩膀上”并非如某些流行說法那樣是對胡克個子矮的諷刺。一位前輩對筆者說，他之前受霍金《時間簡史》中對牛頓負面描述的影響，對牛頓為人的印象極差，讀了我的文章后有所改善。確實，在霍金這本影響巨大的科普名著中，雖然也描述了牛頓的重大科學貢獻，但可能是受某些牛頓傳記的影響（那些傳記打破了之前傳記中過于呆板的類型化敘述，但又不免矯枉過正），對牛頓個人品德的描述卻極為負面。尤其是里面著重提到牛頓與萊布尼茨就誰先發(fā)明微積分而進行的爭論，牛頓利用皇家學會主席的權力，成立委員會調(diào)查此事，并撰寫了對自己有利的調(diào)查報告，這給讀者留下印象：牛頓是個喜歡玩弄權術手腕的學閥。

但是，這種印象恐怕并不完全準確，是在缺失了相關歷史背景和不了解前因后果情況下讓人們自行腦補當時場景而產(chǎn)生的。牛頓固然并非淡泊名利的圣人，確實有點專橫，但他遠不是那種陰險狡詐、縱橫捭闔的權術玩弄者。本文將介紹微積分發(fā)明優(yōu)先權爭端的來龍去脈，希望讀者能獲得一個更接近真實的牛頓形象。

微積分的發(fā)明

自古以來，人們就遇到了許多其中的變量正在發(fā)生連續(xù)變化的數(shù)學問題，比如幾何學中的各種曲線，如何求曲線的切線？如何求曲線圍成的面積？又比如對于運動的物體，已知其不同時刻到達的位置，如何求其瞬間的速度方向和大小？或者反之，如果知道每一時刻的速度，如何求其抵達的位置，等等。解決這類問題的數(shù)學方法就是微積分（calculus，本意是“運算”），它在現(xiàn)代科技中有廣泛的應用。那么，微積分方法是誰發(fā)現(xiàn)或發(fā)明的呢？（有關數(shù)學究竟算是發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明有很多討論，為行文方便起見，本文以下姑且采用“發(fā)明微積分方法”的說法，但應該說數(shù)學方法的發(fā)明本質上是一種發(fā)現(xiàn)。）針對一些特殊的問題，古代數(shù)學家已找出了特殊解法，例如古希臘的阿基米德、中國的祖沖之等都曾計算出圓周率的近似數(shù)值，其方法可能就有微積分的萌芽。17世紀，人們遇到了越來越多的這類問題，德國的開普勒，法國的笛卡兒、費馬，英國的巴羅（I. Barrow）、沃利斯（J. Wallis）等，在解答某些特殊問題時運用了微積分的思想。但直到牛頓和萊布尼茨，才給出了普遍解法。

不過，就微積分的發(fā)明歷史，牛頓和萊布尼茨曾爆發(fā)過一場激烈的爭論。簡單地說，牛頓更早做出這項發(fā)明，但他的結果在長達20多年里都沒有公開發(fā)表，只有極少數(shù)人知道；萊布尼茨發(fā)明微積分的時間約晚10年，但最終是他首先公開發(fā)表了微積分方法，他引入的術語和符號也被當時和后世的人廣泛使用。不過引起爭議的是，萊布尼茨在公開發(fā)表微積分之前，也是少數(shù)讀到過牛頓早期工作成果的人之一，因此晚年的牛頓及其追隨者們懷疑他是否剽竊了牛頓的成果，而萊布尼茨和他的一些朋友如約翰·伯努利等人則又反過來質疑牛頓是否真的發(fā)明了微積分。由于牛頓和萊布尼茨的大量手稿留存下來，根據(jù)對這些手稿的研究，后世一般認為，牛頓和萊布尼茨其實是各自獨立地發(fā)明了微積分，他們本可以分享這一榮譽，卻不幸卷入了相互猜疑和指責。我們這里介紹一下這一歷史。

牛頓的微積分工作

牛頓是兩人中首先做出這一發(fā)明的，其取得突破的時間大約在1665—1666年，也就是所謂牛頓的“奇跡年”。1661年，牛頓進入劍橋大學三一學院學習。當時劍橋大學的課程內(nèi)容仍是經(jīng)院哲學，并沒有多少數(shù)學和科學，不過牛頓很快就形成了自己的學習興趣，大量閱讀新出的各種自然科學著作。他列了一個包括許多自己想要理解的問題的提綱，其中大多是關于物質、運動、流體、光、顏色等后世歸于物理學方面的問題。1664年，劍橋大學設立了盧卡斯數(shù)學講座教授席位，巴羅成為第一任盧卡斯講座教授，開始講授數(shù)學，這可能也激發(fā)了牛頓對數(shù)學的興趣。

1665年，英國暴發(fā)了疫病，劍橋大學停課，牛頓回到自己的家鄉(xiāng)，專心鉆研，一年多時間里在微積分和光學方面取得了巨大突破，并開始思考萬有引力問題。1667年疫情結束后，牛頓回到劍橋大學，將自己取得的一些成果告訴了巴羅教授，使后者深為欽佩，遂于1669年主動讓賢，將盧卡斯教授席位讓給了牛頓。當然，巴羅讓出這一職位也是因為他可以獲得更高的職位（三一學院院長），但無疑他是深為青年牛頓的學識所折服。

1669年，經(jīng)巴羅介紹，身在劍橋的牛頓開始與倫敦的皇家學會會員柯林斯（J. Collins）通信。柯林斯當過海員、數(shù)學教師和會記，是一位數(shù)學愛好者，也是皇家學會的兼職圖書館員。當時學術期刊才剛剛出現(xiàn)，還缺少成熟的學術交流渠道。柯林斯本人雖然學術水平不高，但他一心想要促進學術交流，因此熱情地聯(lián)絡英國各地的數(shù)學家，了解他們的最新研究進展并廣為傳播。他給巴羅送去了一位名叫墨卡托（N. Mercator， 1620—1687）的德國數(shù)學家出版的一本新書，里面給出了通過求雙曲線面積計算對數(shù)log（1+x）的方法。巴羅回復說他的一位年輕的同事（牛頓）已經(jīng)給出了解決這類問題的普遍方法，并讓牛頓撰寫了一篇論文《無窮級數(shù)的分析》（De Analysis per Aequationes Numero Terminorum Infinitas，以下簡稱《分析》）寄給柯林斯，闡述其方法。在此文中牛頓給出了積分和微分的一些法則和實例，包括求出多種曲線下的面積，以及指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的無窮級數(shù)表達式。柯林斯請求發(fā)表這一論文，但牛頓不同意，并以這一著作內(nèi)容不夠完整為由向柯林斯索回了論文。不過，柯林斯在將論文寄回給牛頓之前自己抄錄了一份，這是后來微積分之爭的一篇關鍵文獻。

牛頓在《分析》中闡述了他的微積分方法。對于已知物體的位置隨時間變化的情況下求其速度的方法，牛頓后來將其稱之為求流數(shù)（fluxion），用現(xiàn)代術語說也就是求對時間的導數(shù)，牛頓用在變量字母上方加點來表示。牛頓也給出了其逆運算，即已知速度求其位置，牛頓后來稱之為求通量（fluence）也就是對時間求積分，牛頓用圍繞被積函數(shù)的方框表述。牛頓也指出在幾何上如何用上述方法求曲線的切線和面積。不過在最早的這篇《分析》中，牛頓還沒有采用“流數(shù)”這個術語。柯林斯私下把《分析》一文給許多人看過，還寫信將其主要結果摘要介紹給了一些學者，這使沃利斯、格里高利（D. Gregory）等同時代英國數(shù)學家都對牛頓的才華深為欽佩。不過盡管柯林斯建議牛頓出版這些結果，但牛頓卻堅決拒絕。這一時期牛頓撰寫的多篇論文都未能及時公開出版，為后來與萊布尼茨的爭端埋下了禍根。

從我們現(xiàn)代人的角度，可能不太容易理解牛頓為何如此不愿出版這些著作。現(xiàn)代學者已形成了有發(fā)現(xiàn)就應寫成論文發(fā)表的習慣，甚至可以說，如果一項工作還沒有發(fā)表，就不算完成。但是我們不應忘記，迅速出版學術成果在當時還是一件比較新的事物，古代學者一般是通過著書來發(fā)布自己的結果的，有時還只公布結果而長期對方法保密。事實上，萊布尼茨在發(fā)明微積分后也拖了8年才發(fā)表。牛頓在給柯林斯的信中曾表示他自己還過于年輕，尚不適合發(fā)表著作。不過另一方面，牛頓在巴羅、柯林斯等人多次勸他發(fā)表的情況下仍然不發(fā)，也有其個性和遭遇方面的原因。牛頓是個非常在意別人批評的人。在他因發(fā)明反射式望遠鏡而被選為皇家學會會員后，曾發(fā)表了一篇光學論文，但立即引起了一些爭議。身為皇家學會元老的胡克尖銳地攻擊了初出茅廬的牛頓，此外還有其他一些人質疑牛頓。這些批評者對有關問題并不很理解，卻不斷提出一些低級問題，這令牛頓對答復他們感到很不耐煩。另一方面，牛頓又是一個拿起一件事就必須做完、做好的人，對于批評他總要回復反駁，而且回復的稿子都要反復修改完善，因此他又要花大量時間，這令牛頓非常痛苦。此后，牛頓就不太愿意公開發(fā)表自己的作品了。

另外，當時微積分的許多結果是使用無窮小量等不太精確的語言導出的，牛頓或許感到它更容易被批評和質疑（牛頓去世后，著名的英國唯心主義哲學家貝克萊果然就此提出了質疑）。后來他在《自然哲學的數(shù)學原理》（以下簡稱《原理》）中沒有直接使用微積分，而盡量使用一種經(jīng)典幾何的方式來表述他的結果，一定程度上可能也是出于這種擔心。直到19世紀，才形成了更嚴格的微積分表述形式和證明，也就是現(xiàn)代高等數(shù)學教材中那套讓初學者頭大的所謂“ε-δ語言”。

牛頓雖以數(shù)學、物理方面的研究而聞名于世，但終其一生，他在這些方面的研究總是突擊式的，像在“奇跡年”（1665—1666）期間，以及在撰寫《原理》（1685—1687）時，牛頓都是在短時間內(nèi)爆發(fā)，集中全力研究，而其他時候對這些題目卻往往興趣寥寥。因此，1672年后牛頓對柯林斯的回復就很冷淡，聲稱自己現(xiàn)在對數(shù)學和哲學（物理）已沒有興趣，而主要在研究化學（煉金術），因此沒有時間完成數(shù)學論文的撰寫，這在筆者《蘋果》一文中已做了介紹，這里不再重復。除煉金術外，此時的牛頓還在進行一項秘而不宣的研究，就是神學研究。他特別感興趣的是根據(jù)圣經(jīng)和其他古代文獻還原西方古代重大事件的紀年，以及根據(jù)圣經(jīng)對未來特別是“審判日”也就是世界末日進行預測（牛頓預測的審判日在2060年）。盡管在后世的我們看來，他的這些煉金術和神學研究幾乎等于浪費時間，而預測未來更是類似《推背圖》的荒誕不經(jīng)，但對于當時的學者來說，投入時間研究這些其實也并不奇怪，比如牛頓的前輩巴羅也是如此。

但是，牛頓的神學研究卻一不小心把他帶上了一條異端之路：雖然像當時幾乎所有的歐洲人一樣，牛頓從小就虔誠地信仰上帝，但身為劍橋三一學院研究員（fellow）的牛頓對基督教核心教義之一的三位一體學說產(chǎn)生了強烈懷疑。基督教和猶太教、伊斯蘭教都是一神教，它認為世界上只有一位神（上帝），如果崇拜這位之外的其他神，則被認為是偶像崇拜，是褻瀆神明的。但是這就帶來一個問題，那就是耶穌究竟是神，還是人？如果是后者則不能崇拜，而如果是前者則似乎與神的唯一性發(fā)生矛盾。基督教的正統(tǒng)教條是所謂三位一體，也就是圣父（耶和華）、圣子（耶穌）、圣靈（上帝）都是一體的，所以崇拜耶穌也就并不違反崇拜唯一的神。但這個概念頗令人困惑，因為圣經(jīng)里明明有耶穌經(jīng)歷上帝考驗等情節(jié)，如果耶穌與上帝是一體的，又為什么需要經(jīng)受考驗呢？對此早就有人提出質疑，其代表是4世紀埃及亞歷山大的教士阿里烏（Arius），他認為耶穌也是人而不是神，只是地位比凡人高，但基督教教會把阿里烏教派（Arianism）宣布為異端。牛頓認為三位一體教義是錯誤的，但他終其一生都沒敢公布自己的這一觀點，只有少數(shù)和他具有相似觀點的朋友可能知道他的想法。

不過，這給牛頓帶來了一個問題：按照三一學院章程，在擔任研究員若干年后，牛頓應該領受教會圣職。雖然這個圣職只是名義上的，并不需要他承擔實際的教會工作，但作為對宗教信仰極為認真的人，牛頓無法宣誓遵從他不認同的教義，這樣一來他將無法繼續(xù)待在三一學院，而且他的異端思想也將暴露，這在當時無異于社死。好在最后關頭，巴羅幫他爭取到國王查理二世的特旨，以減輕負擔為由免除了盧卡斯數(shù)學講座教授擔任圣職的義務，牛頓躲過了這一劫。此后牛頓小心翼翼地隱藏著自己的異端觀點，不過，他最后在去世前還是拒絕了教會的臨終圣禮，以表明自己不認同正統(tǒng)教義。

萊布尼茨的工作

萊布尼茨研究微積分取得突破的時間是1675—1676年，大約比牛頓晚10年，但他卻是首先發(fā)表這一結果的，我們現(xiàn)在仍然使用的微積分術語和符號就來自他的著作。

萊布尼茨1646年生于萊比錫。盡管比牛頓小3歲，但他卻與牛頓同一年進入大學學習，并僅用一年時間就獲得了哲學學士學位。此后他又學習法學，1666年獲得法學博士學位。當時德國由多個小諸侯國組成，有點類似中國的春秋戰(zhàn)國時代，萊布尼茨也有點類似那個時代的蘇秦張儀。他結識了美因茨選帝侯的首相并獻上一計：誘使法國進攻埃及，從而免除其對德國諸侯的威脅，因此1672年萊布尼茨被派遣到巴黎擔任外交使者助手。萊布尼茨的外交計策沒有成功，不過他卻在巴黎結識了惠更斯等當時的一流學者，也迅速學到了最新的數(shù)學。

1673年2月，萊布尼茨又隨美因茨使團從巴黎前往倫敦，借機造訪了皇家學會。萊布尼茨在學會展示并講解了他新發(fā)明的可以完成加減乘除運算的機械計算器（此前帕斯卡已發(fā)明了可以進行加減運算的計算器），不過令他尷尬的是，此時這一計算器還沒有做好，無法實際運行，因而受到胡克的嘲笑。胡克仔細研究了萊布尼茨計算器后，不久就自己做了一個可以運行的計算器。更糟的是，萊布尼茨在訪問著名化學家玻意耳時談到他的一項數(shù)學成果，卻被在場的一位英國老數(shù)學家佩爾（J. Pell）指出，這一結果之前就已有別人做出來了，并印在一本法文書里。萊布尼茨從未聽說過這書，他后來給奧登堡（H. Oldenburg）寫信解釋自己是獨立的發(fā)明，并非剽竊別人。40多年以后，在萊布尼茨和牛頓爭論誰先發(fā)明微積分時，此事也作為萊布尼茨的劣跡被再次提起。

盡管有這些挫折，萊布尼茨還是當選為皇家學會外籍會員，這可能是因為，當時的皇家學會秘書長奧登堡也是德國人，與萊布尼茨是同鄉(xiāng)，對他頗有好感。在這一時期，皇家學會會長由政要掛名，因此學會秘書奧登堡是實際的負責人。萊布尼茨返回巴黎后，奧登堡讓柯林斯寫了一份關于英國數(shù)學的報告并托人帶給他。柯林斯在報告中列出了每位英國數(shù)學家解決的數(shù)學問題，但并未說明其方法。在此期間，萊布尼茨的數(shù)學水平在以極高的速度提升，兩年多后的1675年秋，萊布尼茨也獨立地在微積分上取得了突破。

1676年，萊布尼茨致信奧登堡，詢問英國數(shù)學家得出的一些無窮級數(shù)展開，這是牛頓給出的，因此奧登堡和柯林斯請牛頓回復。牛頓并未見過萊布尼茨（此后也沒有），但他還是通過奧登堡回了信。在第一封回信中，牛頓解釋了他如何獲得級數(shù)展開，以及如何用級數(shù)求得面積、體積等，并暗示了他還掌握有更多的方法。奧登堡轉抄后發(fā)給萊布尼茨，萊布尼茨回了信，熱情稱贊了牛頓，說這封薄薄的信中所包含的信息量遠大于一些卷帙浩繁的巨著。他也展示了自己的一些成果，同時又提出了一些新問題。

牛頓于是又回了第二封信，在這封信中，牛頓在給出解答時說用到了他自己發(fā)明的一種普遍方法，也就是微積分，不過他仍然沒有透露其具體內(nèi)容，而是如當時流行的那樣，給出了一個用于證明自己優(yōu)先權的字謎（anagram）。這種字謎是把新發(fā)明的關鍵內(nèi)容或訣竅總結成一句話，比如牛頓的總結是“給定任何數(shù)作為流量，求其流數(shù)，以及其逆問題”。如前所述，牛頓的流數(shù)其實就是求微分，其逆問題就是求積分。寫成拉丁文是Data aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente， fluxiones invenire； et vice versa。而字謎則是給出這句話中每個字母出現(xiàn)的次數(shù)。比如牛頓給出的字謎是“6accd？13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12vx”，因為這句話中字母a出現(xiàn)了6次，字母c出現(xiàn)了2次，d出現(xiàn)了一次……這類似于現(xiàn)代計算機中的“哈希”。顯然，對方不可能猜出這句話是什么，而將來牛頓要證明自己當時已發(fā)明了這一方法，只要寫出這句拉丁文訣竅，就可以驗證其中每個字母的數(shù)量確實與字謎中給出的一致。多年之后牛頓才公布了他這個字謎的謎底。

不過萊布尼茨雖然不知道牛頓的謎底語句到底是什么，但由于下面的原因，他可能知曉了牛頓的方法。還在牛頓回這第二封信之前，萊布尼茨再次來到了倫敦。此前雇傭萊布尼茨的美因茨選帝侯和首相在他來到巴黎后不久就相繼去世，萊布尼茨陷于失業(yè)。他希望能在當時的科學文化中心巴黎找到一個職位，但遺憾未能如愿。最終，他被另一個德國諸侯不倫瑞克公爵聘用，現(xiàn)在要去雇主所在地漢諾威就職了。在經(jīng)水路前往漢諾威的路上，他來到倫敦，把一臺能工作的計算器交給了奧登堡，算是找回了自己的面子。他也見到了柯林斯，并靠淵博的學識震動了柯林斯，使他一時沖動把自己的秘藏都展示給萊布尼茨看，其中就包括他抄錄的牛頓的《分析》。萊布尼茨還摘抄了一些柯林斯收藏的文獻內(nèi)容，其中就包括《分析》中的一些內(nèi)容，這些被后世歷史學家在他的筆記中發(fā)現(xiàn)。有趣的是，他摘抄的是一些關于級數(shù)的內(nèi)容，但并未摘抄關于如何做微分和積分的內(nèi)容。后世的歷史學家一般認為，這是因為萊布尼茨此時已發(fā)明了微積分，因此對這些求微分和積分的內(nèi)容已無須抄錄，而牛頓給出的級數(shù)對于當時的萊布尼茨來說仍是新鮮的知識。

萊布尼茨走后，柯林斯意識到自己犯了錯，因為牛頓并未授權給他抄錄這一論文，更不用說將論文展示給別人看了。但他不敢把此事告訴牛頓，而只是再次建議牛頓發(fā)表這一結果。如果此時牛頓公開發(fā)表他的微積分，那么萊布尼茨將無話可說，因為到此時為止他的數(shù)學發(fā)現(xiàn)都是牛頓在之前早已做出的，而且他還當著柯林斯的面看過牛頓的著作，所以就算聲稱自己是獨立發(fā)明微積分都難以讓人相信。然而牛頓依然不為所動，不愿發(fā)表其成果。

萊布尼茨在漢諾威安頓下來后，給牛頓寫了兩封回信，其中給出了他自己的微積分方法——從這點看，他應該是了解到牛頓已發(fā)明了微積分，所以才會公開自己的方法，不過他也并未告訴牛頓他在柯林斯處讀了《分析》。萊布尼茨希望繼續(xù)與牛頓通信，他是個著名的通信者，每年寫的信都在300封以上。盡管已經(jīng)過了幾個世紀，學者們到現(xiàn)在都還沒有整理完他的通信——他的通信用多種不同的歐洲語言寫成，內(nèi)容又極為廣泛，整理也確實非常不易。萊布尼茨有幾篇流傳后世的著名哲學作品，就是他與別人的通信對話。如果這兩位天才大師持續(xù)通信，會不會相互啟發(fā)，推動數(shù)學和科學的巨大進展呢？但遺憾的是，牛頓并不喜歡與人通信，此時興趣也不在數(shù)學上，而奧登堡恰在這時也染病去世了，于是這一通信就此中斷。盡管從回信中牛頓知道萊布尼茨此時已掌握了微積分方法，卻還是沒有將其結果發(fā)表，他的這種固執(zhí)為自己埋下了苦果。

1683年，柯林斯也去世了。而1684年，萊布尼茨就在他參與創(chuàng)辦的德國第一個學術期刊萊比錫《學者學報》（Acta Eruditorum）上發(fā)表了史上第一篇公開的微積分論文“極大和極小的新方法”（Nova Methodus Pro Maximis et Minimis），介紹了微分學，1686年他又發(fā)表了第二篇論文，介紹了積分學。在這些論文中，萊布尼茨引入了我們現(xiàn)在還在使用的微分符號dy/dx和積分符號∫，以及相應的術語。萊布尼茨精心設計的符號使用方便，后來被普遍采用了，我們今天還在使用。

萊布尼茨在這些論文中并沒有提到牛頓的工作。如果萊布尼茨更慷慨大度一些，在此時就提到他與牛頓的交流，無疑會顯得更為光明磊落，但此時牛頓尚未發(fā)表其著作，因此萊布尼茨在此文中不提及牛頓也是可以理解的。不過，萊布尼茨在柯林斯去世后才公開發(fā)表微積分，這也有點讓人懷疑，他是否有意如此——如果他在柯林斯生前就公開發(fā)表微積分的話，柯林斯很可能會出來為牛頓主張這一發(fā)明的優(yōu)先權。

[1]Whiteside D T， eds. The mathematical papers of Isaac Newton， vols 1-8. Cambridge： Cambridge University Press， 1968.

[2]Newton I. The Principia， Mathematical Principles of Natural Philosophy. Translation by Cohen I B and Whitman A， guide by Cohen I B. Oakland： University of California Press， 1999.

[3]Westfall R. Never at Rest， a biography of Isaac Newton. Cambridge： Cambridge University Press， 1980.

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關鍵詞：微積分 牛頓 萊布尼茨 ■