基于改進粒子群算法的機械臂能耗軌跡優化

摘 要：針對工業機器人能耗軌跡優化問題，提出了一種基于金字塔層拓撲結構的粒子群算法。該算法引入了金字塔層式的拓撲結構，將粒子進行排序、分層，從而改進算法的競爭策略，增加了種群多樣性；引入了新的合作策略以更新粒子的速度和位置；引入勝利百分比來自適應地調整粒子群算法的權重系數，提高了粒子的搜索效率。為了驗證該算法的有效性，在測試函數集上進行了測試，并與其他八種變體粒子群算法進行比較，結果表明所提出的算法性能具有顯著優勢。最后將該算法應用到工業機器人軌跡規劃中，仿真實驗表明該算法能有效求解機器人的能耗最優軌跡，機器人的能耗明顯減低，且滿足工業機器人的運動學及動力學約束。

關鍵詞：機械臂；最小能耗；軌跡規劃；拓撲結構；改進粒子群算法

中圖分類號：TP242 文獻標志碼：A文章編號：1001-3695（2024）06-007-1649-07

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2023.10.0441

Optimisation of energy consumption trajectory of robotic arm based on improved particle swarm algorithm

Abstract：This paper proposed a particle swarm algorithm based on pyramid layer topology to optimize energy consumption trajectories of industrial robots. The algorithm introduced a pyramid layer topology to sort and stratify the particles thus improving the competitive strategy of the algorithm and increasing the population diversity. The algorithm introduced a new cooperation strategy to update the speed and position of the particles. It introduced a victory percentage to adaptively adjust the weight coefficients of the particle swarm algorithm and improved the search efficiency of the particles. In order to verify the effectiveness of the algorithm， this paper tested it on the set of test functions and compared it with other eight variants of particle swarm algorithms. The results show that the performance of the proposed algorithm has significant advantages. Finally， it applied the algorithm to industrial robot trajectory planning. Simulation experiments show that the algorithm can effectively solve the optimal trajectory of the robot’s energy consumption， and the energy consumption of the robot is significantly reduced， which meets the kinematics and dynamics constraints of industrial robots.

Key words：robotic arm; minimum energy consumption; trajectory planning; topology; improved particle swarm algorithm

0 引言

工業機器人的節能降耗是綠色智能制造系統發展中的焦點問題之一［1］。由于多關節機器人的軌跡優化具有高自由度性、強非線性及高度耦合性，導致難以用解析法直接求解，安凱等人［2］通過降低自由度并基于變分法求解了平面機械臂的能耗最小路徑，但解析法難以解決空間高維機器人的軌跡規劃問題，所以有很大的局限性。因此，有大量學者將軌跡優化轉換為大規模非線性規劃問題，從而應用智能算法來求解工業機器人的最小能耗軌跡。賀瑩等人［3］針對碼垛機器人的“門字形”路徑，提出遺傳算法以求解最優能耗軌跡；賈文友等人［4］提出改進蜻蜓算法用以點焊機器人的軌跡優化；鄧乾旺等人［5］則采用蜜蜂進化型遺傳算法求解點焊機器人的最優能耗軌跡；Chai等人［6］使用偏置粒子群優化方法來處理機器人約束軌跡設計問題；Lu 等人［7］利用增量拉格朗日約束粒子群優化算法來解決機器人的時空最優軌跡規劃問題；Deng等人［8］引入了一種新穎的差分進化算法來建立碼垛機器人的能耗模型，從而優化軌跡；Saravanan等人［9］基于惰性非支配排序遺傳算法和微分進化的進化算法，用于考慮有效載荷約束的工業機器人機械手的最優軌跡規劃。以上算法對機器人的節能降耗都具有一定的作用，但存在著陷入局部最優和過早收斂等問題，所以提升優化算法的性能是能耗軌跡優化的主要問題之一。

在智能優化算法中，粒子群優化算法（PSO）具有簡單、有效和計算成本低的優點，但標準PSO也存在著局限性，為了提升PSO的性能，研究人員從參數調整、學習策略、與其他進化算法的結合等方面對PSO進行了改進，這些PSO變體相比標準PSO，提高了搜索能力。Li等人［10］通過提出多信息融合的三變量迭代慣性權重系數來改進粒子群算法；謝美華等人［11］則結合Q學習來設計參數的自適應調整策略，從而改進PSO；Ye 等人［12］提出了一種動態多群粒子群優化方法學習策略以提高PSO的性能；Zhang等人［13］將差分變異和具有社會學習的行為結合來改進粒子群算法；Laskar等人［14］將鯨魚算法引入粒子群算法中，以提升PSO的性能；Karimi-Mamaghan等人［15］通過集成機器學習來改進PSO。這些改進策略對標準PSO的性能都具有一定的提升作用，但都無法完全避免其算法陷入局部最優和過早收斂。為了進一步提升PSO算法的性能，本文基于金字塔式的拓撲結構和勝利百分比，提出一種改進的粒子群算法，并用于求解機器人的能耗最優軌跡，計算結果表明，融合新拓撲結構的自適應粒子群算法的穩定性、收斂速度和收斂性能都明顯提高。對機械臂進行仿真實驗，其結果表明，得到的最優軌跡能滿足約束條件，證明了所改進的粒子群算法的可行性。

1 基于五次多項式的軌跡規劃

本文在機械臂的關節空間中，針對機械臂所必經的n個關鍵點，兩點之間用五次多項式連接，五次多項式在進行機械臂的點到點軌跡優化時，不僅滿足速度、加速度連續，還可以保證加加速度的連續，可使機械臂減少振蕩，運行更加平穩［16］，所以本文在關節空間中基于五次多項式規劃兩點間的軌跡，其軌跡函數表達式為

q=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5（1）

其中：q 為關節角位置；a0、a1、a2、a3、a4、a5 為軌跡方程代求的系數。考慮到在此段軌跡中起始點和終止點的約束，得到以下方程：

qs=a0+a1ts+a2t2s+a3t3s+a4t4s+a5t5svs=a1+2a2ts+3a3t2s+4a4t3s+5a5t4sαe=2a2+6a3te+12a4t2e+20a5t3eqe=a0+a1te+a2t2e+a3t3e+a4t4e+a5t5eve=a1+2a2te+3a3t2e+4a4t3e+5a5t4eαe=2a2+6a3te+12a4t2e+20a5t3e

整理上式得到

其中：ts、te分別為起始點和終止點的時間； qs、vs、αs、qe、ve、αe 分別為起始點的角位置、角速度、角加速度和終止點的角位置、角速度及角加速度。

通過式（2）可求解出軌跡函數的代求系數，從而完成軌跡規劃。對于多段的軌跡規劃，由于要求各段軌跡在連接點時仍能保證軌跡的連續，所以只要將上一段軌跡終止點的約束條件作為此段軌跡起始點的約束條件，代入式（2），就能確定多段整體的軌跡函數，且滿足各關鍵點的速度、加速度連續。

2 能耗模型的建立

牛頓-歐拉遞推法、拉格朗日分析法是建立機械臂動力學方程的主要方法，牛頓-歐拉法是基于牛頓-歐拉公式，通過遞推的方式計算連桿的速度和加速度，從而得到整個機械臂的動力學方程。拉格朗日方程則是基于能量的動力學方法。已經證明這兩種方法得到的動力學方程是等價的，但拉格朗日方程形式簡潔，得到串聯機械臂的方程可以寫為［17］

只考慮關節驅動力矩所作的功，則整個機械臂的能耗為［18］

其中：i=1，2，…，n 為機械臂的關節數目；τ（i）是關節力矩矢量τ 的第i 個分量。

雖然建立了能耗模型，但只有轉換成優化問題，才能利用各類的智能算法進行求解。形成能耗優化問題可以通過建立能耗與某一物理量的函數，也可以通過優化與參考軌跡的偏差來間接得到［11］。本文通過建立各段規劃軌跡的時間和能耗的函數關系來形成優化問題。容易知道機械臂的運動學及動力學約束條件為

3 粒子群優化算法

3.1 標準粒子群優化算法

粒子群優化算法［19］是一種典型的群智能優化算法，最初由Eberhart和Kennedy于1995年提出，用于模擬鳥類覓食行為。PSO由N個粒子組成，粒子的運動就是粒子群在d維搜索空間D中搜索最優解的迭代過程。每個粒子在任何時候都有自己的速度和位置，而位置則表示特定問題的解。對于第t次迭代的第i個粒子，其速度和位置為

vid（t+1）=ωvid+c1r1×（pid－xid（t））+c2r2×（pgd－xid（t））

xid（t+1）=xid（t）+vid（t） 1≤i≤n，1≤d≤N（7）

其中：vid（t）為第t次迭代后粒子速度向量的第d維分量；xid（t）為第t次迭代后粒子位置向量的第d維分量；pid為粒子歷史最優解pbest對應位置的第d維分量；pgd為群體最優解pgest對應位置的第d維分量；c1、c2為學習因子；r1、r2為［0，1］的隨機數。

3.2 改進金字塔層拓撲結構的粒子群算法

標準PSO由于其拓撲結構簡單，導致其粒子間的競爭與合作策略形式單一，容易使算法早熟和收斂到局部解。已有相關研究通過改變標準PSO的拓撲結構來提升算法的性能，典型的鄰域結構包括星形、環形、球形、金字塔形及馮·諾伊曼結構等，根據問題特性，配置適當的鄰域結構，有利于實現 PSO 算法的自適應搜索。Wu等人 ［20］提出了一種基于歐幾里德距離的自適應拓撲結構，增大了粒子群的多樣性，從而提高了PSO的整體性能；Zhang等人［21］將一種基于集群的具有領導者更新機制的環形拓撲應用于PSO，并求解了多目標優化問題（MMPO），其結果表明，環形拓撲結構能夠保持種群的多樣性，提高PSO的性能；Yao等人［22］提出將單向動態混合力拓撲結構應用于 PSO算法。本文通過構造金字塔層式的拓撲結構［23］來改進PSO算法的競爭及學習策略，從而提升PSO的性能。

3.2.1 構建金字塔層

算法1 構建金字塔層（PB）

在算法1的第6行中，PPi， j 表示金字塔第i層的第j個粒子。因此金字塔層結構具有以下特性：a）每個粒子被分配到特定的層;b）粒子所在的層越高，粒子則越優，全局最佳粒子位于頂層，而最差的粒子位于底層;c）同一層的粒子具有相近的適應度值。

3.2.2 競爭策略

與標準PSO相比，除了與歷史最優競爭外，PPSO采取了另外兩種競爭策略。首先，在構建金字塔時，所有粒子都參與排序，以決定它們在金字塔中的層。由于分選涉及所有粒子，稱之為全局競爭策略。其次，將每個粒子都置于特定的層中，對不同層的粒子進行不同的處理，從而提高其有效性。基于此，除頂層外的其他層粒子隨機配對，根據適應度值分為勝者組和敗者組兩組。勝者可以從更高層的粒子中學習，而敗者只能從同一層的獲勝者中學習。由于競爭只涉及同層的粒子，可以稱為局部競爭策略，描述如算法2所示。

算法2 金字塔層中的競爭

本文所提出的競爭策略使全局最優的粒子位于頂層，所有的粒子可以從比自己更優的不同的粒子中學習，而不是像標準PSO那樣從唯一的全局最優粒子學習。因此，競爭策略提高了粒子種群的多樣性。

3.2.3 合作策略

理想的合作策略是每個粒子都有機會與更多的粒子合作，不僅是與全局最優的粒子，而且是任何其他比當前粒子更優的粒子。這樣，合作的多樣性將得到增強，從而能獲得更好的性能。基于此提出了一種新的合作策略，即每個粒子都有機會與除了最優粒子之外的幾個更優的粒子合作。首先，同一層的敗者與它們的歷史最優值及同層的勝者合作。其次，除了那些在頂層的粒子，其他的勝者將與包括其他上層的粒子及頂層的粒子合作。基于此，第i層（i=2，3，…，L）粒子的勝者和敗者分別根據式（3）（4）更新它們的速度和位置。

其中：ri 為（0，1）的隨機數；ρ 為用來控制頂層粒子對當前粒子影響的常數；PLij、PWij 分別表示第j個粒子在第i層的敗者和勝者; Xtp、Vtp、Btp 分別表示粒子p在t次迭代的位置、速度和歷史最佳值；k和m分別是不大于ni－1和ni的隨機正整數。

PPSO的框架如圖1所示，在每一代中，粒子根據它們的適應度以升序排序。在圖1中，粒子越優，其顏色越深。接下來，每個粒子被分配到金字塔中的特定層，從上到下，從左到右，通過其在排序粒子中的索引。因此粒子越優，它在金字塔中的層就越高。然后，每一層的粒子將隨機配對，產生勝者和敗者。勝者和相應的敗者分別放置在圖1的左側和右側。最后，每一層的敗者將從同一層的相應勝者以及自身的歷史最優中學習。相比之下，除了第1層的勝者之外，勝者將有機會從更優的粒子中學習，即向更高層的粒子、粒子群中最優的粒子（第1層的粒子），以及獲勝者的歷史最佳者學習。第1層的勝者將直接轉移到下一代。在圖1中，藍色粒子表示紅色粒子在相應位置的歷史最優值（參見電子版）。

3.2.4 收斂性分析

在PPSO中，勝者和敗者有不同的更新策略，由于失敗者的動態分析與成功者的動態分析相似，但比勝者的更容易，所以本文主要分析勝者組的動態行為。對于式（8），令

根據李雅普諾夫平衡點理論［24］，只要矩陣A的特征值λ1 、λ2 滿足|λ1|≤1，|λ2|≤1，就能說明系統的平衡點是穩定的，也就說明粒子最終是收斂的。矩陣A的特征值為式（11）的解，從而有

|A－λE|=0（11）

即得λ2+（s－1－ω）λ+ω=0，由韋達定理推出0<ω<1，s>0。因此，ρ>－2 是種群中勝者收斂的充分條件。該分析可以引入到PPSO中的敗者組。保證ρ ≥ 0及0<ω<1成立，就能滿足粒子收斂。需要指出的是，粒子群優化算法雖然滿足粒子收斂的條件，但并不能保證收斂到全局最優。

3.2.5 勝利百分比

通過引入粒子朝向最優值的成功率來進一步改進慣性權重系數。首先提出勝利百分比（PS）［25］的概念。勝利百分比越高，收斂到遠離局部最佳點的程度就越高，因此該組粒子以更慢的方式向全局最佳解前進。同樣，較低的勝利百分比意味著所有粒子都傾向于在局部最佳點周圍振蕩而沒有任何進一步的增強。通過使用粒子的勝者個數（SC）來確定勝利百分比。本文為求解最小值問題，所以，如果當前迭代中的適應度與在較早迭代中獲得的值相比更小，則SC被設置為1。在t次迭代時的粒子i，其SC可由下式計算：

PS根據SC計算：

其中：n是粒子的數量，并且PS位于0～1，其指示在先前迭代中具有其適應度的改善粒子的百分比。基于更新勝利百分比的自適應慣性權重為

ω=（ωmax－ωmin）PS+ωmin（12）

從而勝者組的速度、位置按式（13）（14）更新，而敗者組不改變更新方式。

3.2.6 復雜度分析

由于適應度評估的時間取決于實際問題，可以假定適應度的復雜度是相同的，將重點放在最后三個部分。在構建金字塔時，PPSO首先需要對整個群體中的粒子進行排序，然后將每個粒子分配到特定的層，如算法1所示。對于第一個操作，任何排序算法，如快速排序、選擇排序、歸并排序等，對于群中的N個粒子，排序的平均時間復雜度為O（N log2（N））。第二種操作只需要掃描整個群體一次，然后將每個粒子分配到L層中的一層，其復雜度為O（N）。因此，金字塔構建的總時間復雜度為O（N log2（N）+N）。配對操作只需掃描整個種群一次，因此其時間復雜度為O（N） 。假設每個粒子的維度都是D，除了第一層的勝者將直接進入下一代，N個粒子將在合作中更新D維度。因此，學習時間復雜度為O（ND）。由此得到PPSO的時間復雜度為O（N log2（N）+N+DN），略高于標準PSO的O（ND）。

該粒子群優化算法有四個主要概念，分別是構建金字塔層、將同層粒子分為勝者和敗者的競爭策略、勝者和敗者使用不同規則更新合作策略以及在勝者組中引入勝利百分比。本文PPSO算法流程如圖2所示。

3.2.7 PPSO算法性能分析

為了說明PPSO算法的收斂精度，在12個測試函數集［26］上進行測試，并和標準PSO及8種最先進的PSO變體，包括WPSO［27］、MPSO［28］、UPSO［29］、 DENPSO［30］、 HAPSO［31］、DMPSO［32］、GAPSO［33］及CPSO在測試函數集上進行比較分析。

所有的計算都是在相同維度下進行的，即d=30，并將所有算法的種群規模和最大適應度值分別設置為64和10000d。對于PPSO，使用4-8-20-32的金字塔結構進行比較，并且ρ設為0.02。每個算法在每個測試函數上進行30次運算，基于誤差的平均值、標準差和排名來評價收斂精度，均值反映了算法的優化能力，而標準差反映了算法的穩定性，運行結果如表1所示。可以看到，PPSO的平均排名為3.43，綜合排名為1，相比其他8種變體PSO，其在測試函數上的收斂精度表現最優。雖然UPSO和標準PSO也達到最佳均值，但它們最終的性能不如PPSO。

為了評價PPSO的效率，在表2中列舉了PPSO及變體PSO算法在測試函數集上的運行時間。可以看出，標準PSO在12種測試函數上都達到了最少的運行時間，明顯優于其他變體粒子群算法，其原因是PSO的競爭合作機制單一，導致其復雜度低。PPSO運行時間的平均排名為5.50，綜合排名為5，其運行效率較標準PSO略差。選取測試函數F7及F9，得到PPSO及變體PSO的迭代過程，如圖3所示。

可以看出，在F7及F9的測試函數上PPSO的迭代性能都明顯優于其他算法。

4 仿真實驗

4.1 仿真環境設置

本文以中科深谷自主搭建的實驗平臺六軸機器人為仿真對象，基于改進D-H法建立六軸機械臂的坐標系及仿真模型如圖4所示。

機械臂的運動學參數如表3所示，其中a表示連桿長度，α表示連桿扭轉角，d表示連桿偏置，θ為關節變量，M為連桿質量。機械臂各軸的約束參數如表4所示。通過逆運學計算得到機械臂所經過的關鍵點關節坐標如表5所示，其中q0，q1，q2，q3分別為機械臂所經過的第一、第二、第三、第四個點的坐標。

4.2 仿真結果及分析

設定求解優化軌跡的粒子群算法的種群規模N均為50，最大迭代次數maxgen均為100，基本粒子群算法的權重系數ω 設為1，學習因子c1=c2=c3=2。為了更好地對比分析各粒子群算法在實際問題中的性能并減少隨機性，各粒子群算法皆運行10次，得到各粒子群算法的結果如表6所示。

由表6可知，10次運行后，PPSO相較PSO和WPSO，其優化能力分別提升10.72%和6.43%，運行速度則分別降低14.3%和13.2%，其優化結果分別降低10.72%和6.43%。并且得了到各算法的平均迭代過程，如圖5所示。

由圖5可知，PPSO由于引入金字塔式的拓撲結構和PS因子，從而得到了更優的解，并且迭代次數也明顯小于其他算法，而其他兩種算法則在70次后陷入了局部最優。實驗結果證明了PPSO的性能明顯優于PSO和WPSO。

為了驗證求得的能耗最優軌跡在機械臂上的有效性，在simscape環境下搭建如圖6所示的仿真模型。

將得到的最優軌跡在仿真模型中進行可視化的仿真實驗，得到如圖7所示的機械臂前三關節能耗及總能耗的對比。

從圖7中可以得知，自適應粒子群算法求得的軌跡的能耗相比基本粒子群、改進粒子群及時間最短軌跡分別降低5.9%、4.8%和 30.56%。由于時間最短軌跡僅考慮機械臂在工作中的效率因素，導致機械臂在短時間內引起較大的速度變化，使得能耗明顯大于最優軌跡能耗，進一步得到由PPSO計算得到的最優軌跡變化如圖8所示。

5 結束語

本文針對工業機器人能耗軌跡優化問題，作出了如下改進：通過五次多項式在機器人的關節空間中分段規劃軌跡，從而使軌跡更加平滑；將金字塔式層的拓撲結構以及勝利百分比引入粒子群算法，用于求解最優軌跡。由仿真實驗得到如下主要結論：

a）計算結果表明，PPSO的尋優能力相較PSO、WPSO分別提高10.7%和6.1%。運行速度雖然分別降低了14.3%和13.2%，但PPSO得到的10次結果幾乎沒有波動，穩定性出色。

b）通過仿真實驗，PPSO得到的最優軌跡的能耗相較PSO、WPSO求解得到的軌跡及時間最短軌跡的能耗分別降低5.9%、4.8%和30.56%，并且各關節軌跡滿足機械臂的約束條件，由此證明了該軌跡優化方法的可行性。

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