基于自適應(yīng)交叉與協(xié)方差學(xué)習(xí)的改進(jìn)平衡優(yōu)化器算法

摘 要：針對(duì)平衡優(yōu)化器算法存在的收斂精度低和易陷入局部停滯的問(wèn)題，提出一種基于自適應(yīng)交叉與協(xié)方差學(xué)習(xí)的改進(jìn)平衡優(yōu)化器算法。首先，構(gòu)建外部存檔來(lái)保留歷史優(yōu)勢(shì)個(gè)體，增加種群多樣性，以提高算法的全局尋優(yōu)能力。其次，引入自適應(yīng)交叉概率來(lái)平衡算法的全局探索能力和局部開(kāi)發(fā)能力，以提高算法的尋優(yōu)精度和魯棒性。最后，采用協(xié)方差學(xué)習(xí)策略，充分利用濃度向量之間的關(guān)系來(lái)增強(qiáng)種群間信息交流，以避免算法陷入局部停滯。通過(guò)對(duì)CEC2019測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并將改進(jìn)算法與反向傳播（back propagation，BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合用于預(yù)測(cè)新疆瑪納斯河的徑流情況，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)算法在收斂精度和魯棒性方面有顯著提升，且大幅提高了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的徑流預(yù)測(cè)效果。

關(guān)鍵詞：平衡優(yōu)化器算法；智能算法；外部存檔；自適應(yīng)交叉概率；協(xié)方差；徑流預(yù)測(cè)

中圖分類號(hào)：TP301.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1001-3695（2024）06-008-1656-07

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2023.10.0518

Improved equilibrium optimizer based on adaptive crossover and covariance learning

Abstract： Aiming at the problems of low convergence accuracy and ease of trapping into local stagnation in the equilibrium optimizer， this paper proposed an improved equilibrium optimizer based on adaptive crossover and covariance learning. Firstly， this algorithm constructed an external archive to retain the historically dominant individuals and increase the population diversity for improving the global optimization ability. Secondly， it introduced an adaptive crossover probability to balance the global exploration ability and local exploitation ability of the algorithm， so as to improve the optimization accuracy and robustness of the algorithm. Finally， it applied a covariance learning strategy to make full use of the relationship between the concentration vectors to enhance the information exchange among the populations and thereby to avoid local stagnation. Through simulation experiments on the CEC2019 test functions and combining the improved algorithm with back propagation （BP） neural network to predict the runoff situation of the Manas River in Xinjiang， the experimental results show that the improved algorithm remarkably improves convergence accuracy and robustness， and significantly enhances the runoff prediction performance of the BP neural network.

Key words：equilibrium optimizer; intelligence algorithm; external archive; adaptive crossover rate; covariance; runoff prediction

0 引言

目前，優(yōu)化問(wèn)題變得更加復(fù)雜，因?yàn)殡S機(jī)算法可以在不計(jì)算目標(biāo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的情況下找到最優(yōu)解，所以在解決優(yōu)化問(wèn)題時(shí)比傳統(tǒng)的數(shù)值方法更有優(yōu)勢(shì)。元啟發(fā)式算法是目前應(yīng)用最廣泛的隨機(jī)算法，大多數(shù)元啟發(fā)式算法屬于群體智能和物理啟發(fā)算法，前者包括蝴蝶優(yōu)化算法（butterfly optimization algorithm，BOA）［1］、蜜獾算法（honey badger algorithm，HBA）［2］和人工蜂鳥(niǎo)算法（artificial hummingbird algorithm，AHA）［3］等，后者包括算數(shù)優(yōu)化算法（arithmetic optimization algorithm，AOA）［4］、流向算法（flow direction algorithm，F(xiàn)DA）［5］和能量谷優(yōu)化算法（energy valley optimizer， EVO）［6］等。

瑪納斯河是新疆最具代表性的河流之一，高精度的徑流預(yù)測(cè)對(duì)農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟(jì)以及社會(huì)穩(wěn)定至關(guān)重要，是當(dāng)下迫切需要解決的關(guān)鍵科學(xué)問(wèn)題［7］。傳統(tǒng)徑流預(yù)測(cè)模型通過(guò)歷史經(jīng)驗(yàn)來(lái)推算未來(lái)信息，其預(yù)測(cè)精度難以滿足水資源精細(xì)化管理的需求［8］。機(jī)器學(xué)習(xí)模型是數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的徑流預(yù)測(cè)模型，在水文預(yù)報(bào)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（artificial neural network，ANN）是機(jī)器學(xué)習(xí)的分支之一，反向傳播（back propagation，BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是目前水文建模中應(yīng)用最為廣泛的ANN［9］。許多學(xué)者用智能算法代替BP的梯度下降算法來(lái)優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，從而提高徑流預(yù)測(cè)模型精度。陳芳等人［10］用BOA優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值，提高了北京市密云水庫(kù)潮河流域的預(yù)測(cè)精度。李代華［11］借助斑點(diǎn)鬣狗算法來(lái)優(yōu)化BP網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，更精確地預(yù)測(cè)了云南省盤龍河徑流。然而這些研究只是把算法應(yīng)用于徑流預(yù)測(cè)模型，沒(méi)有比較分析算法在不同測(cè)試函數(shù)上的性能，實(shí)驗(yàn)缺少算法泛化能力的討論。

平衡優(yōu)化器（equilibrium optimizer，EO）算法是由Faramarzi等人［12］提出的一種物理啟發(fā)式算法，因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且求解能力強(qiáng)，已有研究者將其應(yīng)用于識(shí)別燃料電池參數(shù)、微電網(wǎng)動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)調(diào)度問(wèn)題等領(lǐng)域［13～16］。但面對(duì)不同問(wèn)題時(shí)，EO表現(xiàn)出收斂精度低、容易陷入局部停滯等缺陷。近年來(lái)，已有研究者探索了不同的途徑來(lái)解決這些缺點(diǎn)。例如，Abdel-Basset等人［17］將線性減少多樣性技術(shù)與局部最小值消除方法相結(jié)合來(lái)改進(jìn)EO；張夢(mèng)溪等人［18］引入自適應(yīng)因子來(lái)平衡EO的全局搜索和局部開(kāi)發(fā)能力；Hemalatha等人［19］利用高斯變異和基于種群劃分的搜索機(jī)制來(lái)避免EO陷入局部停滯。雖然上述改進(jìn)算法在不同程度上對(duì)EO進(jìn)行了優(yōu)化，但是這些算法仍然存在種群多樣性不足、探索開(kāi)發(fā)能力不平衡和種群間信息交流不夠等問(wèn)題。為此，本文首先構(gòu)建外部存檔改進(jìn)的生成率來(lái)提高種群多樣性，其次引入自適應(yīng)交叉概率來(lái)平衡探索開(kāi)發(fā)能力，最后采用協(xié)方差學(xué)習(xí)策略來(lái)增加種群間信息交流，結(jié)合上述策略提出基于自適應(yīng)交叉與協(xié)方差學(xué)習(xí)的改進(jìn)平衡優(yōu)化器（improved equilibrium optimizer based on adaptive crossover and covariance learning，ACCLIEO）算法。為檢驗(yàn)ACCLIEO的泛化能力，本文首先在CEC2019測(cè)試函數(shù)上檢驗(yàn)其收斂精度和跳出局部停滯的能力，然后將ACCLIEO與BP結(jié)合來(lái)建立瑪納斯河徑流預(yù)測(cè)模型，并進(jìn)行模型預(yù)測(cè)精度的實(shí)驗(yàn)分析。

1 平衡優(yōu)化器算法

平衡優(yōu)化器算法的靈感來(lái)自于控制體積上簡(jiǎn)單的動(dòng)態(tài)質(zhì)量平衡，其物理原理為控制體積質(zhì)量隨時(shí)間的變化與進(jìn)出系統(tǒng)質(zhì)量的差值相等。本文假設(shè)有N個(gè)D維的濃度向量，第i個(gè)濃度向量在第it次迭代的位置記為Citi（i∈1，2，…，N）。EO運(yùn)用隨機(jī)初始化方式種群，初始化公式如下：

Cit+1i， j=LBj+randj×（UBj－LBj）（1）

其中：Cit+1i， j是Cit+1i第j維分量， j∈1，2，…，D；rand是位于（0，1）的隨機(jī)數(shù)；UBj和LBj分別表示第j維的上界和下界。在算法迭代中，用式（5）更新濃度向量：

其中：λ是由［0，1］組成的隨機(jī)數(shù)；V是單位體積；Ceq是從平衡池中隨機(jī)選擇的濃度向量；Ceqj是Ceq的第j維分量。平衡池Cpool的構(gòu)造如下：

Cpool={Ceq（1），Ceq（2），Ceq（3），Ceq（4），Ceqave}（3）

其中：Ceq（1）、Ceq（2）、Ceq（3）、Ceq（4）、Ceqave分別是當(dāng)前迭代中4個(gè)最好的濃度向量和它們的平均向量。F是指數(shù)項(xiàng)參數(shù)，其表達(dá)式為

其中：時(shí)間t的公式為

其中：a2是控制常量；T是最大迭代次數(shù)。t0具體如下：

其中：a1是控制常量；r是位于（0，1）的隨機(jī)數(shù)。將式（6）中給出的表達(dá)式代入式（4）后，得到的指數(shù)項(xiàng)參數(shù)F為

F=a1×sign（r－0.5）×（e－λt－1）（7）

式（2）的生成率G是EO中的主要影響因素之一，該參數(shù)的值定義如下：

其中：GP為生成率概率；GCP為生成率G的控制參數(shù)；G0控制是否使用GCP來(lái)更新濃度向量；r1和r2是（0，1）中均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

2 基于自適應(yīng)交叉與協(xié)方差學(xué)習(xí)的改進(jìn)平衡優(yōu)化器算法

2.1 引入外部存檔優(yōu)化生成率

生成率G是EO中的主要影響因素之一，但是在EO中，G僅由本次迭代中平衡池和隨機(jī)的濃度向量得到，不考慮前幾代產(chǎn)生的濃度向量，不利于算法的全局尋優(yōu)。外部存檔［20］能夠保護(hù)種群的歷史信息，以提高算法全局尋優(yōu)能力。因此，本文引入外部存檔來(lái)優(yōu)化EO的生成率G。

首先，構(gòu)造一個(gè)用來(lái)保存部分歷史個(gè)體的外部存檔Cea，公式如下：

Cea={Cea（1），Cea（2），…，Cea（κ）}（11）

κ=round（ω×N）（12）

其中：Cea（1），Cea（2），…，Cea（κ）是所有迭代中適應(yīng)度值排名前κ的濃度向量；round是四舍五入的取整函數(shù)；ω是比例系數(shù)；N為種群大小。

其次，用第it代隨機(jī)挑選的濃度向量Eit和外部向量Rit來(lái)改進(jìn)生成率Gnew，并最終更新濃度向量。具體公式如下：

其中：Eitj和Ritj分別是Eit和Rit的第j維分量；Gnew為改進(jìn)的生成率。

為了研究上述策略對(duì)算法種群多樣性的影響，本節(jié)采用Morrison［21］提出的慣性矩來(lái)測(cè)量算法的種群多樣性，圖1為EO和引入外部存檔優(yōu)化生成率的EO（EAEO）在CEC2019［22］多峰函數(shù)F7上測(cè)量的慣性矩。

由圖1可知，EAEO的種群多樣性波動(dòng)更大，并且多樣性優(yōu)于EO，表明改進(jìn)策略提高了算法的全局尋優(yōu)能力。

2.2 自適應(yīng)交叉概率

交叉變異策略有利于算法跳出局部最優(yōu)，可以平衡算法的探索和開(kāi)發(fā)能力，但是僅僅引入交叉概率會(huì)導(dǎo)致尋優(yōu)的盲目性，因此許多研究者［23～25］將自適應(yīng)交叉概率作為控制交叉變異策略的重要因素。為了提高EO的尋優(yōu)精度和魯棒性，本文引入自適應(yīng)交叉概率來(lái)控制濃度向量的選擇。

首先，本文根據(jù)父代和子代濃度的適應(yīng)度值，挑選適應(yīng)度值更小的優(yōu)勢(shì)位置來(lái)調(diào)整交叉概率，具體公式如下：

其中：CRiti為第it代的i個(gè)位置的交叉概率，初始值設(shè)置為0.5；fitnessi和childfiti分別為第i個(gè)父代和子代適應(yīng)度值；CRrand為服從均值為0.5、方差為0.1的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。

最后，本文用自適應(yīng)交叉概率來(lái)更新濃度位置，具體公式如下：

其中：Xit+1i， j為第it+1代經(jīng)自適應(yīng)交叉概率選擇的第（i， j）個(gè)濃度位置；Cit+1i， j是濃度向量Cit+1i的第j個(gè)位置，Cit+1i由式（15）得到；rand為（0，1）的隨機(jī)數(shù)； jrand為1～D中隨機(jī)挑選的整數(shù)，確保Xit+1i， j中至少有一部分來(lái)自Cit+1i。

算法的全局探索和局部開(kāi)發(fā)過(guò)程分別是增加和降低個(gè)體之間距離的過(guò)程，因此兩者的平衡可以保證算法保留多樣性的同時(shí)提高收斂精度。本節(jié)采用Hussain等人［26］提出的探索開(kāi)發(fā)百分比進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，圖2為EO分別在CEC2019單峰函數(shù)F1和多峰函數(shù)F4上得到的探索開(kāi)發(fā)百分比，圖3為融合自適應(yīng)交叉概率的EO（ACEO）在相同測(cè)試函數(shù)下得到的探索開(kāi)發(fā)百分比。

由圖2可知，EO的開(kāi)發(fā)能力更強(qiáng)，探索能力更弱，兩種能力不平衡，因此容易陷入局部最優(yōu)，由圖3可知，ACEO開(kāi)發(fā)能力隨迭代平緩增加，并且時(shí)刻保持一定的探索能力，因此自適應(yīng)交叉概率平衡了算法的探索和開(kāi)發(fā)能力。本文在后續(xù)實(shí)驗(yàn)中驗(yàn)證了該策略對(duì)算法收斂精度的影響。

2.3 協(xié)方差學(xué)習(xí)策略

為了提高濃度向量之間的聯(lián)系，避免算法陷入局部停滯，本文采用協(xié)方差矩陣［27～29］搭建一個(gè)有相關(guān)性的特征坐標(biāo)系，令更新后的濃度向量在這個(gè)坐標(biāo)系中進(jìn)行更新。具體操作如下：

在種群第it代中，第i、 j維的協(xié)方差矩陣為

A={ai， j|ai， j=cov（i， j）}（19）

隨后進(jìn)行協(xié)方差學(xué)習(xí)策略，具體操作如下：首先利用特征分解來(lái)得到協(xié)方差矩陣A的特征向量矩陣M=（mj，i）∈CD×N；其次根據(jù)M組成一個(gè)種群特征坐標(biāo)系；最后根據(jù)變異參數(shù)選擇個(gè)體，并將其映射在特征坐標(biāo)系中。具體公式如下：

其中：Xrit+1i， j為經(jīng)過(guò)協(xié)方差學(xué)習(xí)策略更新后的第（i， j）個(gè)濃度位置；θ為控制協(xié)方差學(xué)習(xí)的參數(shù)，設(shè)置為0.4。

2.4 ACCLIEO算法偽代碼

在EO的基礎(chǔ)上，首先，AMSLEO引入外部存檔來(lái)優(yōu)化生成率；其次，結(jié)合自適應(yīng)交叉概率來(lái)平衡EO的全局探索和局部開(kāi)發(fā)；最后，采用協(xié)方差學(xué)習(xí)策略來(lái)增強(qiáng)種群間信息交流。

算法1 ACCLIEO算法

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 測(cè)試函數(shù)與實(shí)驗(yàn)算法

本文使用全套CEC2019測(cè)試函數(shù)來(lái)評(píng)估ACCLIEO的有效性，以上測(cè)試函數(shù)的信息如表1所示。實(shí)驗(yàn)中，計(jì)算機(jī)的操作系統(tǒng)為Windows 11，CPU為AMD Ryzen 7 5800H，主頻3.20 GHz，內(nèi)存16 GB，編程軟件為MATLAB 2022a。本文使用蝴蝶優(yōu)化算法、蜜獾算法、算數(shù)優(yōu)化算法、流向算法、人工蜂鳥(niǎo)算法、能量谷優(yōu)化算法、平衡優(yōu)化器算法與ACCLIEO進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，以上算法的參數(shù)設(shè)置與原文獻(xiàn)保持一致。

3.2 算法尋優(yōu)性能實(shí)驗(yàn)與分析

為了實(shí)驗(yàn)的公平性，本文設(shè)置最大迭代次數(shù)為1 500，并記錄8種算法在CEC2019測(cè)試函數(shù)上分別獨(dú)立運(yùn)行30次所得最優(yōu)解的平均值（mean）和標(biāo)準(zhǔn)差（Std）。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示，最優(yōu)結(jié)果加粗處理。

由表2可知，雖然在F1上ACCLIEO的結(jié)果達(dá)不到最優(yōu)值，但是顯著提高了EO的收斂精度和穩(wěn)定性，且接近理論最優(yōu)值；在F2上所有算法都達(dá)不到理論最優(yōu)值，但是ACCLIEO相比于EO的收斂效果得到較大提升；在F3～F10上，ACCLIEO的收斂精度和魯棒性均優(yōu)于其他8種算法。綜合來(lái)看，在CEC2019測(cè)試函數(shù)上，ACCLIEO有更好的收斂精度和魯棒性。

3.3 收斂曲線分析

為了直觀比較算法的收斂性，本節(jié)繪制了算法在CEC2019測(cè)試函數(shù)上的收斂曲線，如圖4所示。

在F1和F2上，雖然ACCLIEO收斂速度弱于BOA、HBA和AHA，但是其收斂曲線在緩慢下降，不斷接近理論最優(yōu)值，收斂精度和跳出局部最優(yōu)的能力比其他算法更有優(yōu)勢(shì)。

在F3上，雖然ACCLIEO前期收斂速度略遜于AHA、HBA和EO，但是最終迭代18475ed5a1d97b95882c908fdfaef2cd76c76f4d5224325671db1df6c6ea6958結(jié)果優(yōu)于其他7種算法。在F4和F6上，ACCLIEO收斂速度最快且精度最高。在F5和F9上，除BOA和AOA之外的算法幾乎同時(shí)收斂，并且表2中ACCLIEO的收斂精度最高，說(shuō)明其收斂精度的提高并未犧牲收斂速度。在F7、F8和F10上，ACCLIEO收斂速度和收斂精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他算法。

綜合來(lái)看，ACCLIEO整體實(shí)驗(yàn)結(jié)果比其他7種算法更接近理論最優(yōu)值、持續(xù)尋優(yōu)能力更強(qiáng)、收斂精度更高。

3.4 改進(jìn)策略有效性分析

為了驗(yàn)證ACCLIEO中3種改進(jìn)策略的有效性，將ACCLIEO與EO、EAEO、ACEO、引入?yún)f(xié)方差學(xué)習(xí)策略的EO（CLEO）進(jìn)行比較。本節(jié)實(shí)驗(yàn)統(tǒng)一設(shè)置種群規(guī)模為30、迭代次數(shù)為1 500且獨(dú)立運(yùn)行30次，以保證實(shí)驗(yàn)的公平性。表3記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果，最優(yōu)結(jié)果加粗標(biāo)出。由表3可知，EAEO在一半CEC2019測(cè)試函數(shù)上尋優(yōu)性能比原始EO強(qiáng)，說(shuō)明引入外部存檔來(lái)優(yōu)化EO生成率的策略增加了種群多樣性，提高了EO的全局尋優(yōu)能力；ACEO的整體性能比EO更優(yōu)，且稍遜于ACCLIEO，驗(yàn)證了自適應(yīng)交叉概率平衡EO的全局探索和局部開(kāi)發(fā)能力，提高了EO的尋優(yōu)精度和魯棒性；CLEO在F1和F2上的收斂效果是最好的，且整體性能比EO有優(yōu)勢(shì)，說(shuō)明協(xié)方差學(xué)習(xí)策略充分利用了濃度向量之間的關(guān)系來(lái)增強(qiáng)種群間的信息交流，避免算法局部收斂。

整體來(lái)看，雖然EAEO、ACEO和CLEO都對(duì)EO有一定的提升，甚至在某些測(cè)試函數(shù)上比ACCLIEO精度和魯棒性更優(yōu)，但是只有ACCLIEO在每個(gè)測(cè)試函數(shù)上都比原始EO有更優(yōu)的收斂性能。由此可知，ACCLIEO犧牲了某些單獨(dú)改進(jìn)策略的優(yōu)勢(shì)，換取了算法整體效果的提升。因此，3種策略相結(jié)合比單一策略效果好，能夠更好地提高EO的尋優(yōu)精度和魯棒性。

4 瑪納斯河徑流預(yù)測(cè)

4.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是目前水文建模中應(yīng)用最為廣泛的ANN，圖5為一個(gè)典型的三層BP結(jié)構(gòu)示意圖。

輸入值x=（x1，x2，…，xM）和預(yù)測(cè)值y=（y1，y2，…，yS）通過(guò)隱藏層h=（h1，h2，…，hN）連接，其中M、N、S分別是輸入層、隱藏層和輸出層的神經(jīng)元總數(shù)。輸入層到隱藏層：

其中：hn是第n個(gè)隱藏層神經(jīng)元；xm是第m個(gè)輸入數(shù)據(jù)；ωmn是兩層間的連接權(quán)重；bn是hn的偏置項(xiàng)。隱藏層到輸出層：

其中：ys是第s個(gè)輸出值；vns是連接兩層的權(quán)重；bn+s是ys的偏置項(xiàng)；F1（·）和F2（·）是激活函數(shù)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)每層之間激活函數(shù)必須可微［30］，因此雙曲正切sigmoid函數(shù)和線性函數(shù)分別作為激活函數(shù)F1（·）和F2（·），連接輸入層到隱藏層，隱藏層到輸出層。誤差反向傳播過(guò)程：

vns（t+1）=lEs+vns（t）（23）

其中：vns（t+1）和vns（t）分別為t+1和t時(shí)刻的權(quán)值；l為學(xué)習(xí)率；Es為第s個(gè)輸出層的誤差。輸出層到隱藏層的權(quán)值ωmn（t+1）同理更新，達(dá)到誤差設(shè)定時(shí)結(jié)束。此外，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)借助MATLAB工具箱中的Newff、Train和Sim函數(shù)實(shí)現(xiàn)。

4.2 基于ACCLIEO的BP預(yù)測(cè)模型

傳統(tǒng)BP網(wǎng)絡(luò)基于梯度下降訓(xùn)練方式，網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)容易陷入局部最優(yōu)，求解徑流預(yù)測(cè)結(jié)果的能力較差。因此，本節(jié)采用ACCLIEO代替BP的梯度下降算法實(shí)現(xiàn)模型率定，以尋找神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)參數(shù)。利用ACCLIEO優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的具體步驟如下：

a）將1954—2016年瑪納斯河的月徑流作為原始數(shù)據(jù)，并按照0.55∶0.2∶0.25［31］將其劃分為訓(xùn)練集、驗(yàn)證集、測(cè)試集。

b）輸入ACCLIEO算法的參數(shù)，隨機(jī)生成初始解，每個(gè)解代表個(gè)體的位置，如圖6所示。

c）根據(jù)ACCLIEO的迭代尋優(yōu)機(jī)制，更新個(gè)體位置，得到新種群。在每一次迭代過(guò)程中，利用種群個(gè)體在訓(xùn)練集上建立模型，并借助驗(yàn)證集檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠?xùn)練結(jié)果，將訓(xùn)練結(jié)果與實(shí)際結(jié)果之間的誤差作為適應(yīng)度值。

d） 判斷是否滿足ACCLIEO的迭代終止條件，若滿足輸出最優(yōu)解，此時(shí)將原來(lái)的訓(xùn)練集和驗(yàn)證集合并成新的訓(xùn)練集，利用最優(yōu)解重新訓(xùn)練模型，最后利用訓(xùn)練后的模型實(shí)現(xiàn)測(cè)試集的預(yù)測(cè)；否則，重復(fù)步驟c）d），直到滿足終止條件。

4.3 徑流預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了全面比較智能算法與BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)合后的效果，本節(jié)采用標(biāo)準(zhǔn)化后的均方根誤差（NRMSE）、平均絕對(duì)相對(duì)誤差（MAPE）和納什效率系數(shù)（NSE）三種水文領(lǐng)域經(jīng)典指標(biāo)［32］進(jìn)行測(cè)試，具體公式如下：

的優(yōu)劣，其值越小，預(yù)測(cè)精度越優(yōu)；NSE描述樣本信息的擬合程度，其范圍為（－∞，1），越接近1說(shuō)明預(yù)測(cè)結(jié)果越穩(wěn)定。

4.4 實(shí)驗(yàn)分析

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為1954—2016年瑪納斯河的月徑流，來(lái)源于肯斯瓦特水庫(kù)。改進(jìn)BP預(yù)測(cè)建模過(guò)程參照4.2節(jié)，8種改進(jìn)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型分別記為BOABP、HBABP、AOABP、FDABP、AHABP、EVOBP、EOBP和ACCLIEOBP。

為了保證NRMSE、MAPE和NSE的公平性，上述3個(gè)指標(biāo)為8種改進(jìn)BP模型和BP模型獨(dú)立運(yùn)行20次的平均值，記錄在表4中，最優(yōu)結(jié)果加粗處理。為了直觀比較徑流預(yù)測(cè)模型的效果，圖7給出了預(yù)測(cè)模型的結(jié)果對(duì)比。圖7（a）為BP、EOBP和ACCLIEOBP的預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)值的對(duì)比；圖7（b）為優(yōu)化模型BOABP、HBABP、AOABP、FDABP、AHABP、EVOBP、ACCLIEOBP的預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)值的對(duì)比。

由表4可知，ACCLIEOBP與改進(jìn)模型和原始BP預(yù)測(cè)模型相比，在訓(xùn)練集和測(cè)試集上評(píng)價(jià)指標(biāo)最優(yōu)。因此ACCLIEOBP是收斂精度和穩(wěn)定性最好的改進(jìn)BP徑流預(yù)測(cè)模型。

由圖7（a）可知，徑流模型在最高點(diǎn)都存在預(yù)測(cè)偏差，但是由ACCLIEOBP預(yù)測(cè)的徑流和真實(shí)值最吻合。BP預(yù)測(cè)在最高點(diǎn)的預(yù)測(cè)上有優(yōu)勢(shì)，但是在最低點(diǎn)預(yù)測(cè)出現(xiàn)負(fù)值，偏離真實(shí)結(jié)果的問(wèn)題較嚴(yán)重。由圖7（b）可知，在預(yù)測(cè)過(guò)程中，F(xiàn)DABP預(yù)測(cè)結(jié)果較差，AOABP預(yù)測(cè)經(jīng)常超過(guò)最大徑流，波動(dòng)過(guò)大，ACCLIEOBP相較于其他模型更加接近真實(shí)值。

綜上所述，ACCLIEOBP模型用于徑流預(yù)測(cè)是可行和可靠的，可以有效提高BP模型的預(yù)測(cè)精度和泛化能力，因此ACCLIEO算法在徑流預(yù)測(cè)領(lǐng)域有一定的優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)平衡優(yōu)化器算法收斂精度低和易陷入局部停滯的問(wèn)題，本文提出一種基于自適應(yīng)交叉與協(xié)方差學(xué)習(xí)的改進(jìn)平衡優(yōu)化器算法。改進(jìn)算法引入外部存檔來(lái)保留歷史優(yōu)勢(shì)個(gè)體，增強(qiáng)了濃度向量多樣性，從而提高了算法的全局尋優(yōu)能力；該算法引入自適應(yīng)的交叉概率，更好地平衡了算法的全局勘探和局部開(kāi)發(fā)能力；協(xié)方差學(xué)習(xí)策略的引入加強(qiáng)了濃度向量之間的信息交流，避免了算法陷入局部停滯。上述三種策略共同作用下的ACCLIEO在全套CEC2019測(cè)試函數(shù)上的收斂精度和魯棒性都得到顯著提高，在改進(jìn)徑流預(yù)測(cè)模型的性能方面也有一定的優(yōu)勢(shì)，驗(yàn)證了ACCLIEO的收斂精度、收斂速度和實(shí)用可靠性。在未來(lái)研究中，可將改進(jìn)算法應(yīng)用到最新的測(cè)試函數(shù)和其他機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)模型中。

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