非完美頻譜感知下認知超密集網(wǎng)絡(luò)的資源分配

摘 要：針對實際認知超密集網(wǎng)絡(luò)場景中認知無線電存在非完美頻譜感知的情況，提出了一種基于非完美頻譜感知的資源分配方案，目標是在考慮跨/同層干擾約束、保障用戶服務(wù)質(zhì)量下，最大化非完美頻譜感知下認知超密集網(wǎng)絡(luò)中次級網(wǎng)絡(luò)的能效。為此，依據(jù)網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建能效優(yōu)化問題，其為混合整數(shù)非凸規(guī)劃問題，先通過分時共享松弛法和丁克爾巴赫法將其轉(zhuǎn)換成等價的凸優(yōu)化問題，再使用拉格朗日對偶法求其最優(yōu)解，以此獲得最優(yōu)能效時的子信道和功率分配策略。基于此，提出了一種迭代的子信道和功率分配算法；為權(quán)衡計算復(fù)雜度，還提出了一種實用的子信道和功率分配算法。仿真結(jié)果表明，所提算法都有效地提升了網(wǎng)絡(luò)能效。

關(guān)鍵詞：非完美頻譜感知；認知超密集網(wǎng)絡(luò)；跨/同層干擾約束；能效

中圖分類號：TN929.5 文獻標志碼：A文章編號：1001-3695（2024）06-034-1833-07

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2023.10.0536

Resource allocation of cognitive ultra-dense network with imperfect spectrum sensing

Abstract： Aiming at the situation of imperfect spectrum sensing of cognitive radio in actual cognitive ultra-dense network scenarios， this paper proposed a resource allocation scheme based on imperfect spectrum sensing. The target was to maximize the energy efficiency of secondary network in cognitive ultra-dense network with imperfect spectrum sensing while taking into account cross-tier/co-tier interference constraints and ensuring users’ quality of service. And this paper constructed the energy efficiency optimization problem based on the network model， which was a mixed integer non-convex programming problem， then transformed it into an equivalent convex optimization problem by the time-sharing relaxation method and Dinkelbach me-thod， and finally used the Lagrangian dual method to get its optimal solution， thereby obtained the sub-channel and power allocation strategy for optimal energy efficiency. Based on this， this paper proposed an iterative sub-channel and power allocation algorithm. In order to trade o5OsA+djx1J6sOJUtQDk/9w==ff the computational complexity， this paper also proposed a practical sub-channel and power allocation algorithm. Simulation results show that the proposed algorithms effectively improve energy efficiency.

Key words：imperfect spectrum sensing; cognitive ultra-dense network（UDN）; cross-tier/co-tier interference constraint; energy efficiency

0 引言

超密集異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)簡稱為超密集網(wǎng)絡(luò)（UDN）［1，2］，是5G時代解決容量緊張、降低網(wǎng)絡(luò)能耗、實現(xiàn)綠色通信的新型組網(wǎng)方式。但這種超密集、多層次、異構(gòu)化網(wǎng)絡(luò)中的信道資源采用共享方式，容易導(dǎo)致用戶對頻譜資源的競爭進一步加劇，由此帶來的跨層干擾（宏小區(qū)與小小區(qū)之間的干擾）及同層干擾（不同小小區(qū)間的干擾）嚴重影響了網(wǎng)絡(luò)性能。具備頻譜感知與分配功能的認知無線電（cognitive radio，CR）［3，4］技術(shù)可有效提高頻譜利用率，緩解因頻譜資源共享導(dǎo)致的干擾。因此，把CR集成到UDN而構(gòu)成的CR-UDN能很好地緩解干擾、提高頻譜利用率，且合理的資源分配方案也能減少資源浪費和提升網(wǎng)絡(luò)性能。

文獻［5，6］提出了CR-UDN的實現(xiàn)框架，并比較了遺傳算法和圖著色算法在提升網(wǎng)絡(luò)吞吐量上的優(yōu)劣。文獻［7，8］對認知異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中因頻譜共享導(dǎo)致的干擾進行協(xié)調(diào)，有效地抑制了干擾，提升了性能。文獻［9］為提高CR-UDN中次級用戶的吞吐量，提出了一種改進的基于用戶分簇的資源分配算法，該算法以次級用戶受到的平均弱干擾來進行分簇，仿真結(jié)果表明該算法在保障資源分配公平性的同時提升了吞吐量。文獻［10］提出一種以認知毫微微小區(qū)用戶吞吐量最大為目標的聯(lián)合優(yōu)化用戶關(guān)聯(lián)和資源分配的改進遺傳算法，縮小了可行解的搜索空間，能在較低復(fù)雜度下有效提高CR-UDN的總吞吐量。文獻［11］優(yōu)化了基于正交頻分多址（orthogonal frequency division multiple access，OFDMA）的異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)能效。文獻［12］提出一種動態(tài)搜索功率分配算法來提升多用戶異構(gòu)認知無線電網(wǎng)絡(luò)中次級用戶的吞吐量和整個網(wǎng)絡(luò)的能效。

以上文獻主要研究的是基于完美系統(tǒng)參數(shù)（如完美的頻譜感知和確定的信道信息狀態(tài)）來進行資源分配，但在實際的認知超密集網(wǎng)絡(luò)中，實現(xiàn)完美的頻譜感知是極其困難的。文獻［13］基于OFDMA接入的認知毫微微小區(qū)場景，在同時考慮用戶服務(wù)質(zhì)量（quality of service，QoS）、跨層干擾約束和非完美頻譜感知下，提出了一種聯(lián)合子信道和功率分配的算法來最大化認知毫微微小區(qū)網(wǎng)絡(luò)的吞吐量。文獻［14］結(jié)合貝葉斯理論，提出子載波狀態(tài)信任指數(shù)和統(tǒng)計平均干擾功率的概念，利用拉格朗日對偶分解理論求解資源分配問題，得到一種分布式多用戶資源分配算法，有效提高了非完美頻譜感知下認知無線電網(wǎng)絡(luò)容量。文獻［15］最大化了基于認知異構(gòu)非正交多址網(wǎng)絡(luò)的工業(yè)認知物聯(lián)網(wǎng)在非完美頻譜感知下的總吞吐量。文獻［16］為方便求解，將資源分配方案分為子信道分配和功率分配兩個步驟，把混合整數(shù)非線性規(guī)劃的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變成線性規(guī)劃問題，再基于分數(shù)規(guī)劃和次梯度方法，給出了一種在非完美頻譜感知情況下提高異構(gòu)認知無線電網(wǎng)絡(luò)中次級網(wǎng)絡(luò)能效的分配算法。文獻［17］為減少跨層干擾，利用窗函數(shù)來抑制OFDM信號旁瓣中的功率泄露，并提出一種次優(yōu)資源分配算法來優(yōu)化多用戶認知無線電網(wǎng)絡(luò)在非完美頻譜感知下次級網(wǎng)絡(luò)的能效。文獻［18］同時考慮非完美頻譜感知和信道狀態(tài)信息不確定，提出了聯(lián)合優(yōu)化功率分配、子載波分配和傳輸時間的算法，在有效保障認知異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中次級用戶QoS需求的同時提升次級網(wǎng)絡(luò)的能效。

可以看到，現(xiàn)有大多文獻主要優(yōu)化吞吐量。文獻［11，12，16～18］雖然優(yōu)化了能效，但文獻［11］只進行了信道分配，并沒有功率分配，文獻［12，16～18］沒有考慮次級網(wǎng)絡(luò)的層間干擾，這對實際情況來說過于理想化，文獻［17］也沒有考慮次級用戶的QoS需求。針對以上問題，本文提出了一種基于非完美頻譜感知下的認知超密集網(wǎng)絡(luò)的資源分配方案，旨在考慮跨/同層干擾約束、保障用戶服務(wù)質(zhì)量下，最大化非完美頻譜感知下認知超密集網(wǎng)絡(luò)中次級網(wǎng)絡(luò)的能效。為此，基于非完美頻譜感知下的認知超密集網(wǎng)絡(luò)模型，構(gòu)建能效優(yōu)化問題，其因布爾變量的引入和分數(shù)形式的表述，屬于混合整數(shù)非凸規(guī)劃問題。為了求得全局最優(yōu)解，本文使用分時共享松弛法和丁克爾巴赫法將此問題轉(zhuǎn)換為等價形式的凸優(yōu)化問題，再通過拉格朗日對偶法求得其解；根據(jù)求解過程總結(jié)出一種迭代的子信道和功率分配算法。全局最優(yōu)求解方案的計算復(fù)雜度隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大呈指數(shù)增長，為了給出合理計算復(fù)雜度下的求解方案，本文還提出一種次優(yōu)的資源分配算法。最后仿真結(jié)果表明，與現(xiàn)存資源分配算法相比，所提兩種算法均能有效地提升能效。

1 系統(tǒng)模型

非完美頻譜感知下的認知超密集網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示。該模型基于OFDMA，由一個宏基站（macro base station，MBS）和F個隨機地部署在宏基站覆蓋區(qū)域中的認知毫微微基站（congitive femto base station，CFBS）共同部署構(gòu)成，且考慮下行鏈路傳輸。

擾；因非完美頻譜感知，主網(wǎng)絡(luò)會受到次級網(wǎng)絡(luò)的跨層干擾。CFBS的工作方式為下墊模式，即SU可在不影響PU服務(wù)質(zhì)量的前提下與PU同時使用授權(quán)信道。

由構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)模型可知，與CFBS-f關(guān)聯(lián)的SU-s在SC-k上接收到的信干噪比（signal-to-interference-plus-noise ratio，SINR）為

其中：pf，k，s是CFBS-f在SC-k上對SU-s的發(fā)射功率；hf，k，s是在SC-k上從CFBS-f到SU-s的信道增益；pi，k，z是CFBS-i（i≠f）在SC-k上對SU-z（SU-z與CFBS-i關(guān)聯(lián)）的發(fā)射功率；hf，s，k，z是在SC-k上從服務(wù)于SU-s的CFBS-f到SU-z的信道增益；pM，k，p是服務(wù)于PU-p的MBS在SC-k上的發(fā)射功率；hM，p，k，s是在SC-k上從服務(wù)于PU-p的MBS到SU-s的信道增益；σ2為加性高斯白噪聲功率。基于香農(nóng)公式可知，認知毫微微小區(qū)f中的SU-s在SC-k上可實現(xiàn)的傳輸速率為

Rf，k，s=ω×lb（1+SINRf，k，s）（2）

用布爾變量xf，k，s表示SC-k是否通過CFBS-f分配給SU-s，如果其為1表示分配，否則不分配。所以次級網(wǎng)絡(luò)總?cè)萘繛?/p>

每個CFBS的損耗功率包括發(fā)射功率和電路運行功率兩個部分，所以在下行鏈路傳輸中，次級網(wǎng)絡(luò)總功耗可定義為

其中：Pc為認知毫微微基站群的總電路運行功率。

能效是指單位能量消耗所獲得的吞吐量，因此次級網(wǎng)絡(luò)的能效為

次級網(wǎng)絡(luò)對主網(wǎng)絡(luò)的跨層干擾由帶外發(fā)射和非完美頻譜感知兩個原因?qū)е隆?/p>

帶外發(fā)射是因為OFDM信號旁瓣中的功率泄漏導(dǎo)致的［13］。SU-s在SC-k上以功率pf，k，s傳輸對被PU占用的SC-j造成的帶外發(fā)射干擾量為

當CFBS無法檢測到低于頻譜感知閾值的微弱信號時，就會出現(xiàn)非完美頻譜感知。完美頻譜感知時，次級用戶無論采用哪種頻譜共享接入方式都不會對主用戶造成跨層干擾，但非完美時就會引起干擾，影響主用戶。CFBS可以確定子信道是否被PU占用，有四種不同的情形，即：情形1：信道被PU所占用，且CFBS感知的結(jié)果也為其被占用；情形2：信道被PU所占用，但CFBS感知的結(jié)果是其為空閑；情形3：信道沒有被PU所占用，且CFBS感知的結(jié)果也是其為空閑；情形4：信道沒有被PU所占用，但CFBS感知的結(jié)果是其被占用。情形1和3是正確感知，情形2是漏檢感知，它會引起同信道干擾；情形4是虛警感知，它不會增加干擾水平，但會導(dǎo)致SU失去傳輸機會。

根據(jù)以上四種情形，顯然有兩種情況會對主網(wǎng)絡(luò)造成有害干擾。首先，SU在SC-k上傳輸會對PU使用的SC-j造成帶外發(fā)射干擾，即情形1；其次，任何SC-m被CFBS感知為空閑，但它實際上被PU占用，即情形2，這將導(dǎo)致同信道干擾。因此，SC-k上SU的接入對PU造成的下行鏈路總跨層干擾表示為

其中：GFM表示由帶外發(fā)射和非完美頻譜感知引起的跨層干擾。

基于以上分析，在兩種情況下SU-s將使用SC-k。首先，空閑子信道被直接檢測為空閑，即情形3；其次，繁忙子信道被錯誤地檢測為空閑，即情形2，但此情形下SU-s的信號會與PU的傳輸發(fā)生沖突而丟失，吞吐量為零。因此，在非完美頻譜感知下次級網(wǎng)絡(luò)吞吐量變?yōu)?/p>

本文的目標是最大化CR-UDN中次級網(wǎng)絡(luò)的能量效率，需考慮在一個認知毫微微小區(qū)中子信道不能同時分配給多于一個用戶，且每個CFBS的發(fā)射功率不能超過其最大發(fā)射功率，每一個SU需要滿足最低速率要求以實現(xiàn)可靠傳輸，另外跨層干擾也需要限制在門限值內(nèi)以保護PU傳輸。因此優(yōu)化問題可以描述為

其中：約束條件C1為子信道分配標志；C2表示在認知毫微微小區(qū)內(nèi)一條子信道只分給一個SU；C3表示CFBS最大發(fā)射功率限制，pmax為每個CFBS的最大發(fā)射功率；C4保證功率的有效利用；C5表示SU最低數(shù)據(jù)速率的限制，保證SU的QoS要求；C6表示允許的最大跨層干擾，IFMth為宏小區(qū)中被PU占用子信道的最大跨層干擾門限。

2 基于非完美頻譜感知的資源分配方案

2.1 優(yōu)化問題的變形

問題式（13）是一個混合整數(shù)非凸規(guī)劃問題，是一個離散的NP（non-deterministic polynomial）難問題，不可能直接獲得其最優(yōu)解。為了使問題易于求解，本文引入一個同層干擾約束C7。

其中：X和P是子信道和功率分配策略向量組，該問題有非線性的分數(shù)目標函數(shù)。基于丁克爾巴赫方法［20］，OP2的目標函數(shù)可以轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

其中：η>0。

當η收斂到+∞時，F(xiàn)（η）<0，當η收斂到-∞時，F(xiàn)（η）>0；因此F（η）是關(guān)于η的凸函數(shù)且是η的遞減函數(shù)。如果最優(yōu)解是xf，k，s和τf，k，s，則最優(yōu)能效η可由

得到，因此最優(yōu)能效為

基于上述分析，優(yōu)化問題OP2可轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

對于給定的η，式（16）中的目標函數(shù)是關(guān)于xf，k，s 和τf，k，s 的凹函數(shù)，因此目標函數(shù)是凹的，凹性在附錄中被證明。由于式（16）中的不等式約束是凸的，則目標函數(shù)的可行集是凸集，OP3是凸優(yōu)化問題，所以O(shè)P3的閉式解可以通過拉格朗日對偶理論推導(dǎo)出來。

2.2 拉格朗日對偶分解法

本節(jié)通過使用拉格朗日對偶分解法用求解最優(yōu)子信道和功率分配策略，優(yōu)化問題OP3的拉格朗日函數(shù)為

其中：μ，λ，ν，δ，π分別為約束C2、C3、C5、C6、C7的拉格朗日乘子向量組，邊界約束C1和C4被包含在KKT條件［21］中，對偶函數(shù)和對偶問題分別為

該拉格朗日對偶問題可以使用分解法來解決，可分解為一個主對偶問題和F×K個子問題，兩類問題都可以使用迭代法解決。首先，通過給定的拉格朗日乘子，利用KKT條件獲得最優(yōu)子信道和功率分配策略；其次，使用次梯度法更新拉格朗日乘子，直到收斂。因此式（17）重寫為

題，表達式為

所以，認知毫微微小區(qū)f中的SU-s在SC-k上獲得的最優(yōu)功率為

接下來，同理可知

基于式（24），SC-k應(yīng)該分配給認知毫微微小區(qū)f中具有最大Hf，k，s的SU-s，即

以上是F×K個子問題的解決過程，由于主對偶問題是可微的，可以通過迭代更新的次梯度方法解決。基于次梯度方法，主對偶問題求解如下：

2.3 算法及其復(fù)雜度分析

2.3.1 算法

盡管式（23）（25）～（29）已經(jīng)給出了資源分配問題的解決方案，但仍需設(shè)計一種算法來指示以上公式的執(zhí)行結(jié)構(gòu)。因此，總結(jié)上文，提出了迭代的子信道和功率分配（iterative sub-channel and power allocation，ISPA）算法，具體形式如下：

算法1 ISPA算法

算法1同時進行子信道分配和功率分配，使優(yōu)化問題得到一個最優(yōu)的解，但該算法的復(fù)雜度會隨著認知毫微微基站數(shù)、每個認知毫微微小區(qū)中次級用戶數(shù)和子信道數(shù)的增長呈指數(shù)上升，對未來超密集網(wǎng)絡(luò)部署環(huán)境來說并不適用，因此提出一個低復(fù)雜度但次優(yōu)（low complexity but suboptimal，LCS）的算法（算法2）。

算法2是由保障每個次級用戶QoS需求的次優(yōu)子信道分配和跨層干擾約束下的最優(yōu)功率分配組成。這種做法的好處就是大大降低了算法的計算復(fù)雜度，壞處是與算法1相比，系統(tǒng)的吞吐量和能效將降低，具體形式如下：

算法2 LCS算法

2.3.2 復(fù)雜度分析

算法1在計算式（23）功率分配和式（25）子信道分配時都需要進行O（FKS）次運算，設(shè)拉格朗日乘子最大收斂次數(shù)為Δ，根據(jù)式（26）～（29）更新拉格朗日乘子時需要進行O（K4S2F）次運算，故Δ是關(guān)于K4S2F的多項式函數(shù)，設(shè)Δη為算法1收斂時更新η的次數(shù)，所以算法1的計算復(fù)雜度為O（ΔηK2S2F2Δ）。在算法2中，為每個次級用戶分配子信道階段的復(fù)雜度為O（（Klog2K+K）FS），保障其QoS需求階段的復(fù)雜度為O（（K－S）Slog2S），再考慮更新拉格朗日乘子時的計算復(fù)雜度，得到算法2的計算復(fù)雜度為O（FKS log2K+KS log2S+K4S2F）。可見，算法2的復(fù)雜度低于算法1的復(fù)雜度。

3 仿真實驗與結(jié)果分析

本文利用MATLAB軟件進行實驗仿真，使用計算機的配置如表1所示。仿真場景由MBS和密集部署的CFBS組成，PU和CFBS隨機分布在MBS的覆蓋范圍內(nèi)，SU隨機分布在CFBS的覆蓋范圍內(nèi)，每個CFBS服務(wù)的SU個數(shù)不超過6個；圖2所示是1個MBS，30個CFBS，每個CFBS服務(wù)4個SU，30個PU的基站用戶分布圖。

將本文算法與其他兩種資源分配算法進行性能比較，分別是文獻［10］中的信道分配算法和注水功率分配算法構(gòu)成的兩階段算法，記為算法3；文獻［11］中的信道分配算法和等功率分配算法構(gòu)成的兩階段算法，記為算法4。

對于信道模型，包括路徑損耗和陰影衰落的大尺度衰落和瑞麗型小尺度衰落被考慮。且所有SU的QoS需求相同，其他參數(shù)如表2所示。

圖3對比了四種算法在不同CFBS數(shù)量下次級網(wǎng)絡(luò)的能效。設(shè)定的參數(shù)為：S=4，IFMth=IFFth=-110 dBm，Rmin=5 bit/s/Hz。仿真結(jié)果表明：能效隨著CFBS數(shù)量的增加而降低，因為CFBS變多使網(wǎng)絡(luò)中的干擾和能耗變大，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)性能下降。本文算法1、2的性能總是優(yōu)于對比算法，算法1的優(yōu)異性能是犧牲巨大計算復(fù)雜度換取的；算法2在權(quán)衡計算復(fù)雜度的同時性能表現(xiàn)也不錯，其優(yōu)于對比算法是因為其功率分配算法是最優(yōu)的；不同的功率分配算法對能效的影響很大，算法3依據(jù)信道狀態(tài)的好壞分配功率，對比于本文功率分配算法其性能較差，算法4將相等的功率分配給所有可用的子信道浪費了功率。

圖4對比了四種算法在不同PU數(shù)下次級網(wǎng)絡(luò)的能效。設(shè)定的參數(shù)為S=4或6，IFMth=IFFth=－90 dBm，Rmin=5 bit/s/Hz，F(xiàn)=15。

觀察圖4可得：隨著PU的增多，四種不同算法所對應(yīng)的次級網(wǎng)絡(luò)能效都呈現(xiàn)下降趨勢，這是因為PU增多會導(dǎo)致SU可使用的信道數(shù)減少，從而降低了次級網(wǎng)絡(luò)的吞吐量，導(dǎo)致能效變差。且能效隨著SU的增多而降低，因為在跨層干擾約束下，CFBS為了保證SU的QoS需求會向其分配足夠大的功率，SU數(shù)量的增多會增加網(wǎng)絡(luò)能耗，降低網(wǎng)絡(luò)能效。

圖5是本文算法1在CFBS不同發(fā)射功率閾值下實現(xiàn)的次級網(wǎng)絡(luò)平均吞吐量。

從圖中可以觀察到，次級網(wǎng)絡(luò)的平均吞吐量隨著CFBS發(fā)射功率閾值的增加而增加；這是因為在一個認知毫微微小區(qū)中，具有較小吞吐量的SU被分配較小的功率，然而當SU有較高的吞吐量需求時，CFBS分配最優(yōu)功率來滿足其需求，但受制于最大發(fā)射功率閾值。且固定發(fā)射功率閾值，干擾門限越大，平均吞吐量越大；因為干擾門限越大，對宏小區(qū)而言，認知毫微微小區(qū)對其造成的可容忍干擾越大，SU接收到CFBS為其分配的功率上限越大，吞吐量越大。

圖6給出了四種算法關(guān)于次級網(wǎng)絡(luò)吞吐量的收斂性。設(shè)置的參數(shù)為：F=20，S=6，Rmin=5 bit/s/Hz，IFMth=IFFth=-90 dBm。觀察可得，算法1相對于算法2更能提高次級網(wǎng)絡(luò)的吞吐量，且它們都優(yōu)于對比算法。算法1、2、4都能在很少的迭代次數(shù)中收斂到最優(yōu)，算法2迭代至平穩(wěn)達到最優(yōu)所需次數(shù)最少，算法3雖收斂較慢但性能并不是最差的。

4 結(jié)束語

本文基于OFDMA的CR-UDN中下行傳輸場景，聯(lián)合考慮次級用戶QoS需求、次級網(wǎng)絡(luò)同層干擾約束、主用戶通信質(zhì)量保障，提出了兩種子信道資源和功率資源分配算法來最大化非完美頻譜感知下CR-UDN中次級網(wǎng)絡(luò)的能量效率。仿真結(jié)果表明與現(xiàn)有的一些算法相比，本文算法可以獲得較高的能效。但本文所考慮的系統(tǒng)模型是基于完美的信道狀態(tài)信息，在下一步研究中將考慮更加實際的場景，即研究非完美信道狀態(tài)信息和非完美頻譜感知模型下的資源分配問題。

附錄

基于此可以求得

為了證明Euclid Math OneHAp的半負定性，引入引理1：Euclid Math OneAAp為N×N的對稱矩陣，則Euclid Math OneAAp為半負定矩陣當且僅當Euclid Math OneAAp的k階主子式在k為奇數(shù)時小于等于0，在k為偶數(shù)時大于等于0，其中1≤k≤N。可以很輕松地看出Euclid Math OneHAp的一階主子式是負的，二階主子式是零，因此Euclid Math OneHAp為半負定矩陣，f（xf，k，s，τf，k，s）為凹的。又因為凹函數(shù)的任何線性正加權(quán)之和仍是凹的，所以得證。

參考文獻：

［1］Xu Yongjun，Gui Guan，Gacanin H，et al. A survey on resource allocation for 5G heterogeneous networks： current research，future trends，and challenges［J］. IEEE Communications Surveys & Tutorials，2021，23（2）： 668-695.

［2］Sharma N，Kumar K. Resource allocation trends for ultra dense networks in 5G and beyond networks： a classification and comprehensive survey［J］. Physical Communication，2021，48： 101415.

［3］Nasser A，Hassan H A H，Chaaya J A，et al. Spectrum sensing for cognitive radio： recent advances and future challenge［J］. Sensors，2021，21（7）： 2408.

［4］Koteeshwari R S，Malarkodi B. Spectrum sensing techniques for 5G wireless networks： mini review［J］. Sensors International，2022，3： 100188.

［5］Ivanov A，Tonchev K，Poulkov V，et al. Framework for implementation of cognitive radio based ultra-dense networks［C］// Proc of the 42nd International Conference on Telecommunications and Signal Proces-sing. Piscataway，NJ： IEEE Press，2019： 481-486.

［6］Tseng F H，Chou L D，Chao H C，et al. Ultra-dense small cell planning using cognitive radio network toward 5G［J］. IEEE Wireless Communications，2015，22（6）： 76-83.

［7］王改花，謝健驪，李翠然. 基于博弈資源分配的認知異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)干擾協(xié)調(diào)算法［J］. 計算機應(yīng)用研究，2023，40（1）： 244-248，256.（Wang Gaihua，Xie Jianli，Li Cuiran. Interference coordination algorithm for cognitive heterogeneous networks resource allocation based on game theory［J］. Application Research of Computers，2023，40（1）： 244-248，256.）

［8］張達敏，王義，鄒誠誠，等. 認知異構(gòu)蜂窩網(wǎng)絡(luò)中改進蜉蝣算法的資源分配策略［J］. 通信學報，2022，43（6）： 156-167.（Zhang Damin，Wang Yi，Zou Chengcheng，et al. Resource allocation strategies for improved mayfly algorithm in cognitive heterogeneous cellular network［J］. Journal on Communications，2022，43（6）： 156-167.）

［9］張俊杰，仇潤鶴. 基于用戶分簇的認知超密集網(wǎng)絡(luò)資源分配［J］. 電訊技術(shù)，2022，62（9）： 1321-1327.（Zhang Junjie，Qiu Runhe. Resource allocation for cognitive radio ultra-dense network based on user clustering［J］. Telecommunication Engineering，2022，62（9）： 1321-1327.）

［10］張俊杰，仇潤鶴. 認知超密集網(wǎng)絡(luò)用戶關(guān)聯(lián)與資源分配聯(lián)合優(yōu)化遺傳算法［J］. 計算機應(yīng)用，2022，42（12）： 3856-3862.（Zhang Junjie，Qiu Runhe. Joint optimization of user association and resource allocation in cognitive radio ultra-dense networks to improve genetic algorithm［J］. Journal of Computer Applications，2022，42（12）： 3856-3862.）

［11］Yang Liwei，Jia Boyu，Wang Fang，et al. Energy efficiency optimization of heterogeneous network resources based on OFDMA［C］// Proc of the 20th International Conference on Optical Communications and Networks. Piscataway，NJ： IEEE Press，2022： 1-3.

［12］Prabhavathi S，Saminadan V. Energy efficient allocation of resources in NOMA based（MU-HCRN） with perfect spectrum sensing［C］// Proc of International Conference on Computing Science，Communication and Security. Cham： Springer，2022： 274-285.

［13］孫艷，彭代淵，梁宏斌. 基于不完美頻譜感知的認知Femtocells資源分配算法研究［J］. 成都信息工程大學學報，2016，31（1）： 35-41.（Sun Yan，Peng Daiyuan，Liang Hongbin. Resource allocation in cognitive femtocells with imperfect spectrum sensing［J］. Journal of Chengdu University of Information Technology，2016，31（1）： 35-41.）

［14］唐麗萍，江逸倫. 基于不完美頻譜檢測的認知無線電網(wǎng)絡(luò)資源分配［J］. 計算機工程，2019，45（8）： 173-177，197.（Tang Liping，Jiang Yilun. Resource allocation in cognitive radio network based on imperfect spectrum detection［J］. Computer Engineering，2019，45（8）： 173-177，197.）

［15］Xu Lei，Yin Weixin，Zhang Xiaoling，et al. Fairness-aware throughput maximization over cognitive heterogeneous NOMA networks for industrial cognitive IoT［J］. IEEE Trans on Communications，2020，68（8）： 4723-4733.

［16］Thangaraj C A，Aruna T. Energy-efficient power allocation with gua-ranteed QoS under imperfect sensing for OFDM-based heterogeneous cognitive radio networks［J］. Wireless Personal Communications，2019，109： 1845-1862.

［17］Verma K，Bharti M R. Energy-efficient resource allocation in cognitive radio networks［C］// Proc of International Conference on Frontiers of Intelligent Computing： Theory and Applications. Singapore： Sprin-ger，2022： 137-150.

［18］Xu Yongjun，Yang Yang，Liu Qilie，et al. Joint energy-efficient resource allocation and transmission duration for cognitive HetNets under imperfect CSI［J］. Signal Processing，2020，167： 107309.

［19］Wong C Y，Cheng R S，Lataief K B，et al. Multiuser OFDM with adaptive subcarrier，bit，power allocation［J］. IEEE Journal on Selected Areas in Communications，1999，17（10）： 1747-1758.

［20］Dinkelbach W. On nonlinear fractional programming［J］. Management Science，1967，13（7）： 492-498.

［21］Boyd S，Vandenberghe L. Convex optimization［M］. Cambridge： Cambridge University Press，2004.