點球大戰并不公平

2024年6月14日，球迷們翹首以盼的歐洲杯將在德國舉辦，精彩大戰紛紛上演。在足球比賽中，最為人關注的“吸睛時刻”莫過于點球大戰了。

當一場足球比賽進入晉級賽階段時，如果在常規比賽時間和加時賽的120分鐘內仍未決出勝者，那么比賽將進入點球大戰。國際足聯規定，通過擲硬幣決定點球大戰的順序，獲得優先權的球隊隊長可以自行決定本支球隊是先射還是后射。接下來兩支球隊交替射門，每隊共有5次機會。如果在點球大戰的過程中也沒能決出勝者，則進入“一球決勝”階段，即隊員按照既定順序交替射門，直到一隊能率先進一球，分出勝負。

這公平嗎？當然不公平！勝負其實只取決于點球大戰時射門的順序。數據顯示，大約60%的比賽中都是先射門的球隊取得了勝利。先罰球隊伍X相比于后罰球隊伍Y的優勢在于這5次罰球時守門員的緊張程度。國際足球聯合會規定的射門順序是：XY、XY、XY、XY、XY。

每一輪點球比賽都由X隊先射，并且在通常情況下可以射中（根據數據統計情況，先射門的球隊大約有75%的概率能罰球成功），接下來球隊Y只有在這個壓力下罰球成功，才能彌補落后的分數，這個壓力會讓Y球隊守門員平均每局降低4%的撲中率。這樣，隨著點球大戰的進行，比賽也變得越來越不公平。

當然，也有補救的方法。在第一輪點球罰完后（X隊一次，Y隊一次），應出于公平考慮更換罰球順序，也就是說前4次的點球罰球順序應該是：XY、YX。

那之后要怎么辦呢？你可能會猜想下一輪按照XY的順序一定是最公平的方式，但我們還要好好考慮一下這個問題。

最明智的做法并不是只前后改變順序，或者說在改變順序的過程中再次改變順序，而是應當一直改變已經改變過的順序——這聽起來像一段咒語。

一旦上述的XY、YX順序仍然給其中一隊心理上的劣勢，那么在下一輪點球比賽中就應當彌補回來，最好讓兩隊相對公平。這時我們就需要將前面的所有順序在之后的點球比賽中完全反轉過來，即X替代Y，Y替代X。這樣就會得到這樣的順序：XY、YX、YX、XY。

但點球大戰至少需要5輪罰球，所以我們再次讓罰球順序反轉，得到：XY、YX、YX、XY、YX、XY、XY、YX。

這個順序的意義不僅在于在這8輪罰球中每隊都有4次先射和4次后射，而且先射并不是被簡單排列出來的（簡單排列會導致不公平），而是在更換一次順序后不斷地更換之前的順序。

點球大戰當然可以按照上面這種規律進行10次射門（每隊5次），但最公平的情況還是按照上述順序，每一隊都進行8次射門。這就是從數學的觀點出發得出的最公平的點球大戰規則。

數學家們都知道一個數列，它可以依照之前說的規律不斷繼續，那就是“圖厄－摩爾斯數列”，這個數列是以它的創造者數學家阿克塞爾·圖厄和馬斯頓·摩爾斯命名的。這是數學界除斐波那契數列之外最有名的數列。它在不同的學科領域有著不同的應用方式——從代數學到數論，從音樂到國際象棋，總有它出現的地方。

而這都是因為它極其顯著的特點——它的“自相似性”：如果你從第一個Y開始隔一個數擦掉一個數，剩下的那個數列也會成為一個圖厄－摩爾斯數列。由此，我們也可以很明顯地看出這個數列的終極平衡性。

棟梁//摘自《5分鐘怪誕數學：那些看似不可能的生活真相》，浙江教育出版社，本刊有刪節/