求二次根式中字母取值范圍的兩種方法

二次根式中的許多題目可歸結為求字母的取值范圍的問題，這樣的問題如何解決呢？我結合平時的練習歸納為以下兩種方法。

一、利用“雙重非負性”求值

二次根式[a]（a≥0）具有“雙重非負性”特點，即a是非負數，[a]是非負數。根據這一特點，我們便可以解決下面這道題：

求[x-4+4-x+8x+4]的值。 根據二次根式的“雙重非負性”特點，[x]-4≥0，4-[x]≥0，可得[x]=4，x為±4。又因為x+4是分母，不能為0，所以x+4≠0，x≠-4，可以得出x=4。把x=4代入原式，求出式子的結果為[4-4+4-4+84+4]=[88]=1。

二、利用二次根式的性質求取值范圍

二次根式有如下性質：[a2]=a（a≥0），[a2]=[a]，[a]·[b]=[ab]（a≥0，b≥0），[ab]=[ab]。運用這些性質可以解決下面這道題：

若等式[a3+2a2]=-a[a+2]成立，則字母a的取值范圍為" " " " " "。

乍一看，這一題有些復雜，等式左邊的被開方數竟然是a3+2a2。這時候，我們可以先將其化簡，在被開方數中提取公因式a2，得[a3+a2]=[a2a+2]，再運用[a2]=[a]，[a]·[a+2]=-a[a+2]得到[a]=-a。進一步得出a≤0，再結合a+2≥0，可以得出-2≤a≤0。

在含有字母的二次根式中，我們常常通過二次根式的“雙重非負性”特點和二次根式的性質求出字母的取值范圍，從而進一步解決題目。

教師點評

我們在解決本章問題時，要建立隱含條件的觀念。隱含條件是數學學習中的一種特有條件，它伴隨著某種數學對象的出現而出現。二次根式的隱含條件是被開方數是非負的，二次根式也是非負的，即為小作者文中所述的“雙重非負性”，本質上這種隱含條件是不等關系。因而，當看到二次根式這種對象的時候，就要想到不等關系。這種隱含關系常常會與分式的隱含關系、絕對值的隱含關系同時出現，敏銳發現并巧妙加以運用，就可以得出更進一步的結論。

（指導教師：劉玉兵）