由一道關(guān)于絕對(duì)值的題目想到的

前幾天的數(shù)學(xué)課上，我遇到了一道有趣的題目：

[x-2]+[x+2]的值最小時(shí)，x是多少？

經(jīng)分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)軸上，[x-2]就是x到2的距離，[x+2]就是x到-2的距離，如圖1。

那么，當(dāng)x＞2時(shí)，[x-2]+[x+2]就是x到2的距離的兩倍加[2-（-2）]；當(dāng)x＜-2時(shí)，[x-2]+[x+2]就是x到-2的距離的兩倍加[2-（-2）]；當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，[x-2]+[x+2]就是[2-（-2）]，即4。

顯然，當(dāng)原式的值最小時(shí)，-2≤x≤2，即x在加上的數(shù)與其相反數(shù)之間取值！

那么，再添加一項(xiàng)呢？如：

[x-2]+[x+2]+[x-12]的值最小時(shí)，x是多少？

同理，數(shù)軸上，[x-2]就是x到2的距離，[x+2]就是x到-2的距離，[x-12]就是x到12的距離。如圖2，

最終得出，原式值最小時(shí)，x為2，即x取數(shù)軸上三個(gè)數(shù)中位置居中的那個(gè)數(shù)。

那么，再添加一項(xiàng)呢？如：

[x-2]+[x+2]+[x-12]+[x+11]的

值最小時(shí)，x是多少？

同理，數(shù)軸上，[x-2]就是x到2的距離，[x+2]就是x到-2的距離，[x-12]就是x到12的距離，[x+11]就是x到-11的距離，如圖3。

最終得出，原式值最小時(shí)，-2≤x≤2。

經(jīng)過多次嘗試，我發(fā)現(xiàn)：

求題目中代數(shù)式的最小值，當(dāng)含有絕對(duì)值的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，在數(shù)軸上，x取數(shù)值居中的數(shù)；項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，x在數(shù)值居中的兩個(gè)數(shù)之間取值。

但怎么證明呢？我想到了絕對(duì)值不等式。

我們知道，x2-2[x][ y]+y2≤x2+2xy+y2≤x2+2[x][ y]+y2，即（[x]-[y]）2≤（x+y）2≤（|x|+|y|）2，即[x]+[y]≥[x+y]≥[x-y]，這就是絕對(duì)值不等式，當(dāng)xy≥0時(shí)左邊取等，當(dāng)xy≤0時(shí)右邊取等。

對(duì)于代數(shù)式[x+a]+[x-b]+[x-c]（-a≤0≤b≤c），因?yàn)閇x+a]+[x-b]+[x-c]=

[x+a]+[x-b]+[c-x]≥[（x+a）+（c-x）]

+[x-b]=[a+c]+[x-b]。因?yàn)閇a+c]是一個(gè)常數(shù)，若要原代數(shù)式取最小值，[x-b]得最小，所以x=b，即在數(shù)軸上，x取三個(gè)數(shù)中數(shù)值居中的那個(gè)數(shù)。

對(duì)于代數(shù)式[x+c]+[x-d]+[x-b]+

[x+a]（-a≤-c≤0≤d≤b），因?yàn)閇x+c]+

[x-d]+[x-b]+[x+a]=[x+c]+[d-x]+[b-x]+[x+a]≥[（x+c）+（b-x）]+[（d-x）+（x+a）]=[b+c]+[d+a]。若要原代數(shù)式取最小值，得滿足（x+c）（b-x）≥0且（x+a）（d-x）≥0，因?yàn)?a≤-c≤0≤d≤b，所以通過數(shù)形結(jié)合，在數(shù)軸上，x得在-c與d之間，即-c≤x≤d，x在數(shù)值居中的兩個(gè)數(shù)之間取值。

同理，其他項(xiàng)數(shù)的代數(shù)式都可以用這個(gè)方法證明。小伙伴們，你還有其他方法嗎？

教師點(diǎn)評(píng)

鄧橡逸格同學(xué)有一種挖地三尺挖出“病根”的精神，能以不同的方法實(shí)施一題多解、訂正、一題多變，題從何來，該題的優(yōu)點(diǎn)、解法到注意點(diǎn)，小鄧都可以娓娓道來，給我留下了深刻印象。這里，小鄧用我提出的從“題根”（定理與公式）去拓展、探究、發(fā)現(xiàn)。該文切口很小，但觀察的視角很新，文中的“驚訝”“有趣”“嘗試”“證明”，無不說明作者對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自主性和趣味性。每個(gè)結(jié)論的得出，說明他在好奇心驅(qū)動(dòng)下，不斷體驗(yàn)著學(xué)習(xí)的成就感。這是創(chuàng)造式數(shù)學(xué)最有價(jià)值的學(xué)習(xí)方式，值得同學(xué)們借鑒。

（指導(dǎo)教師：符永平）