探討一類函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

摘 要：首先討論了初等函數(shù)在處的連續(xù)性和可微性，給出了定理1和定理2及其證明。其次討論了函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)，給出定理3函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件，并在此基礎(chǔ)上給出一個(gè)推論和兩個(gè)性質(zhì)。最后利用這些性質(zhì)，探討函數(shù)在不同領(lǐng)域的一些應(yīng)用，給出相應(yīng)三個(gè)定理并加以證明。其中包括函數(shù)一致連續(xù)性充分條件的討論、函數(shù)在一點(diǎn)處四個(gè)Dini導(dǎo)數(shù)的任意性，以及函數(shù)在拓?fù)鋵W(xué)中的一個(gè)應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù) 冪函數(shù) 初等函數(shù) 一致連續(xù)

中圖分類號(hào)：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

中圖分類號(hào)：G64

On the Properties of a Class of Functions and Their Applications

FAN Wenqing

MinJiang Teachers College， Fuzhou， Fujian Province， 350108 China

Abstract：The paper begins with a discussion of the continuity and differentiability of elementary functions at ，giving Theorems 1 and 2 and their proofs. Next， the properties of functions at infinity are discussed， and Theorem 3 is given as a necessary and sufficient condition for their uniform continuity on ， based on which a corollary and two properties are given. Finally， these properties are used to explore some applications of the functions in different fields， giving the corresponding three theorems and their proofs. These include a discussion of sufficient conditions for uniform continuity， the arbitrariness of the four Dini numbers of a function at a point， and an application of function to topology.

Key Words： Trigonometric functions; Power functions; Elementary functions; Uniform continuity

初等函數(shù)是各類學(xué)科中最常用的函數(shù)族、冪函數(shù)和三角函數(shù)都是初等函數(shù)。常常使用冪函數(shù)復(fù)合三角函數(shù)，即在自變量上先作用三角函數(shù)再作用冪函數(shù)[]。而三角函數(shù)復(fù)合冪函數(shù)也有許多有趣的性質(zhì)，本文研究形如的初等函數(shù)，并探討它們?cè)谔幰约霸跓o(wú)窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)，最后給出這類函數(shù)的一些應(yīng)用。

記，則在上有。

1 函數(shù)在處的性質(zhì)

定理1 函數(shù)在上有定義且連續(xù)。補(bǔ)充定義

則在處有定義當(dāng)且僅當(dāng)或。

證明：冪函數(shù)和在上有定義，故在上連續(xù)。

（1）時(shí)，

極限存在當(dāng)且僅當(dāng)。

（2）時(shí)，，極限存在當(dāng)且僅當(dāng)。

（3）時(shí)， ①若，則；

②若，則取，得到，

取，得到，此時(shí)在處無(wú)定義。

綜上所述，在處有定義當(dāng)且僅當(dāng)或。證畢。

定理2 時(shí)，函數(shù)在與上有定義。此時(shí)若 在處也有定義，則（函數(shù)在上連續(xù)）。

其中時(shí)；時(shí)，。

證明：時(shí)，冪函數(shù)和在與上有定義。

容易發(fā)現(xiàn)在處有定義時(shí)，，

故在處連續(xù)，。

（1）若，則可以展開(kāi)成具有收斂半徑的冪級(jí)數(shù)

故在上光滑；

（2）若，則，在上光滑。

（3）時(shí)，下面對(duì)非負(fù)整數(shù)使用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，具有階導(dǎo)函數(shù)，，其中和為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)

式，它們的最低次項(xiàng)次數(shù)的較小者為。

②當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。

假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，對(duì)于，

記， 。

注意到若的最低次項(xiàng)次數(shù)較小，則由于，的最低次項(xiàng)在中，次數(shù)為，的最低次項(xiàng)次數(shù)不小于。的最低次項(xiàng)次數(shù)較小時(shí)，同理可以證明的最低次項(xiàng)次數(shù)為，的最低次項(xiàng)次數(shù)不小于。

由可知，和為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且。

又有連續(xù)可知在處可導(dǎo)，。

故結(jié)論對(duì)于成立。

用數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)論對(duì)均成立。

故。

而時(shí)，和之中出現(xiàn)了次數(shù)為的項(xiàng)，而。

類似于定理1，有，故。證畢。

2 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)

定理3 函數(shù)在上一致連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)或。

證明：分類討論

（1）時(shí)，，故在上一致連續(xù)。

（2），，時(shí)，

故在上有界，一致連續(xù)。

（3），，時(shí)，此時(shí)，

故在上有界，一致連續(xù)。

（4），，時(shí)，類似（2） ，此時(shí) ，不一致連續(xù)。

（5），，時(shí)，取數(shù)使得、、，

取，則，

對(duì)充分大的，有。

此時(shí)對(duì)于，有。

由微分中值定理。

故此時(shí)不一致連續(xù)。

推論 時(shí)，函數(shù)在上一致連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)。

證明：由定理1，定理3可知：

從這個(gè)推論可以看出即使，函數(shù)在上的“波動(dòng)”依然很大，除去一些平凡的情況，會(huì)在0處或無(wú)窮處產(chǎn)生“震蕩”。

性質(zhì)1 無(wú)窮積分收斂當(dāng)且僅當(dāng)。

證明：時(shí)，。

由狄利克雷判別法[] 使無(wú)窮積分收斂，

而時(shí)，無(wú)窮積分不收斂。

（1）時(shí)，，積分收斂當(dāng)且僅當(dāng)。

（2）時(shí)， ，

積分收斂當(dāng)且僅當(dāng)。證畢。

在，或，時(shí)，在的無(wú)窮積分有非平凡的計(jì)算公式。性質(zhì)2 。

證明：以復(fù)平面中原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上取兩點(diǎn)、，考慮以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的扇形圍道[]。

由Cauchy積分定理可知：，其中為兩點(diǎn)、之間的圓弧。注意到：

，（Gauss積分）

得到，取虛部得到。

3 探討函數(shù)的一些應(yīng)用

首先給出函數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)單但十分重要的應(yīng)用[]：

定理4 存在上的有界連續(xù)函數(shù)，它不一致連續(xù)。

證明：取，，。

此時(shí)由定理2可知，

由定理3可知不一致連續(xù)，證畢。

我們定義函數(shù)的四個(gè)Dini導(dǎo)數(shù)如下：

由定義可以看出：在處的左導(dǎo)數(shù)存在當(dāng)且僅當(dāng)與相等且為有限數(shù)，在處的上導(dǎo)數(shù)存在當(dāng)且僅當(dāng)與相等且為有限數(shù)，在處可導(dǎo)時(shí)，四個(gè)Dini導(dǎo)數(shù)均等于。

在一般情況下，這四個(gè)數(shù)不會(huì)相等。事實(shí)上，即使在附近連續(xù)，這四個(gè)數(shù)可以取到任意的值，有以下結(jié)論：

定理5 對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，存在使其在0處的四個(gè)Dini導(dǎo)數(shù)分別為，，，。

證明：取 ，由定理1可知。

連通性是拓?fù)鋵W(xué)中的重要概念，雖然在大多數(shù)情況下連通是一個(gè)直觀的概念，但是對(duì)于一些復(fù)雜的圖形連通性卻很復(fù)雜。稱一個(gè)拓?fù)淇臻g是連通的，是指不能表示成兩個(gè)不交開(kāi)集的并；稱一個(gè)拓?fù)淇臻g是道路連通的，是指中任意兩點(diǎn)，存在一條從到的道路，即存在連續(xù)映射使得[]。若拓?fù)淇臻g道路連通則拓?fù)淇臻g連通 []。本文的最后，給出函數(shù)在拓?fù)鋵W(xué)中的一個(gè)應(yīng)用。

定理6 存在連通但不道路連通的集合。

證明：考慮歐氏平面的子集。

為上連續(xù)函數(shù)的像集，由連通可知連通，從而的閉包也連通。

注意到，下面我們證明不道路連通。

假設(shè)存在一條從到的道路，

考慮有界閉集的最大數(shù)，當(dāng)然且對(duì)于有。此時(shí)由連續(xù)性可知存在一列遞減的數(shù)滿足的橫坐標(biāo)為，故。數(shù)列發(fā)散，但是收斂，矛盾。

綜上所述連通但不道路連通。

4 結(jié)語(yǔ)

總之，本文研究了初等函數(shù)在和無(wú)窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)。在這基礎(chǔ)上，探討了該函數(shù)在不同領(lǐng)域方面的應(yīng)用，表明由冪函數(shù)與三角函數(shù)復(fù)合而成的初等函數(shù)有許多可研究的性質(zhì)，通過(guò)研究該類函數(shù)的性質(zhì)，還可探討其在不同領(lǐng)域上的更多應(yīng)用，說(shuō)明研究這類函數(shù)是很有價(jià)值意義的。