基于“深度學習”的高中數學復習策略

摘 要：復習是高中數學學習中非常重要的階段，通過對所學知識進行進一步的理解鞏固，學生能夠更好地應對高考，通過使用有效的復習策略，學生能夠讓復習的效果事半功倍.本文以“直線與方程”的復習為例對“深度學習”的高中數學復習策略進行研究.

關鍵詞：高中數學；

直線與方程；復習策略

“直線與方程”是人教A版《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊》中解析幾何模塊的重要知識點，在數學復習的過程中掌握“直線與方程”這部分知識內容能夠有效地提升學生解決解析幾何問題的能力.在高中數學單元復習的過程中，教師需要正確引導學生對相關數學知識點進行梳理，提升學生對知識點的掌握.這樣可以讓學生對知識點進行融合，使學生在解題的過程中能夠更好地應用相應的知識.本文將通過“直線與方程”的相關試題對“深度學習”的高中數學復習策略進行說明.

1 完善知識網絡

高中數學中，各個知識點之間是存在著一定的聯系的，所以在進行高中數學復習的過程中，教師需要引導學生去發現這些知識點之間存在著怎么樣的關系，從而找到相應的邏輯關系，來實現對相應知識點的聯系，幫助學生建立一個系統完善的知識體系.這樣能夠讓學生的解題能力和數學素養得到提升.

例1 （2022年·新高考全國Ⅰ卷數學第14題）寫出與圓x2＋y2=1和（x-3）2＋（y-4）2=16都相切的一條直線的方程""" .

分析：首先需要對兩個圓的位置進行確定，根據兩個圓的方程就能夠對圓的圓心和半徑進行確定.圓x2＋y2=1的圓心坐標為（0，0），半徑為1，圓（x-3）2＋（y-4）2=16的圓心坐標為（3，4），半徑為4.通過圖1可以發現兩個圓的圓心距離是5，正好是兩個圓半徑之和，所以兩個圓是相切的關系，這樣就可以知道與兩個圓相切的直線一共有三條，分別是m，n，l.

首先，最容易求得的直線方程是n，方程為x=-1.然后是直線l，因為kOO1=43，所以可以得到直線l的斜率為kl=-34，這樣就可以設直線l的方程為y=-34x＋t，然后根據圓心到直線的距離是圓的半徑就可以得到d=｜t｜1＋916=1，從而就可以得到t=54，這樣就可以得到直線l的方程為y=-34x＋54.最后是直線m，設直線m的方程為y=kx＋p（k＞0，p＜0），然后根據直線與兩個圓相切，就能夠得到｜p｜1＋k2=1，｜3k＋4＋p｜1＋k2=4，這樣就可以計算出k=724，p=-2524，所以直線m的方程為y=724x-2524.所以與兩個圓都相切的直線方程為x=-1，y=-34x＋54，y=724x-2524.

回顧：本題需要求與兩個圓相切的直線，所以在進行解題的過程中只需要確定兩個圓的位置關系，然后根據直線與圓相切的關系就能夠對問題進行求解.判斷直線與圓是否是相切的關系可以通過兩種簡單的方式來進行：一是根據圓心到直線的距離是否與半徑相等；二是直線與圓的方程解的個數.通過這樣的方式就能進行準確的判定.在進行相關知識復習的過程中需要對這兩種方式都進行詳細的掌握.部分學生在之前相關內容的學習中只掌握了一種判定的方式，所以教師在進行復習教學的過程中需要將直線與方程的相關知識點與其他相應的知識點進行整合，并對知識整合過程進行梳理，讓學生能夠全面地掌握相應知識的應用，從而來形成一套系統完善的知識網絡.

2 一題多解

高中數學復習的過程中不僅需要掌握試題的解題方法，還應該能夠靈活地應用多種方式來實現試題的求解，通過對試題進行不斷地變化來實現對這類問題的掌握.“直線與方程”這一章節是解析幾何中非常重要的內容，可以說幾乎所有的解析幾何問題都會涉及直線與方程.所以在復習的過程中需要結合試題來對直線與方程在解析幾何中的應用進行詳細的分析，從而找到直線與方程在解析幾何中的應用方式.

例2 （2021年全國甲卷理科數學第20題）設拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x=1，交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ，已知點M（2，0），且圓M與直線l相切，

（1）求C與圓M的方程.

（2）設點A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與圓M相切，判斷直線A2A3與圓M的位置關系，請說明理由.

分析：（1）根據題意可以直接設拋物線C的方程為y2=2px，這樣就可以根據直線x=1來得到P，Q兩點的坐標，這里不妨假設點P在x軸的上方，所以P（1，2p），Q（1，-2p），因為OP⊥OQ，這樣就可以通過勾股定理得到1＋（2p）2＋1＋（2·p）2=（22p）2，從而可以得到p=12，所以拋物線的方程為y2=x.點M（2，0）為圓的圓心坐標，并且圓M與直線x=1相切，所以圓M的半徑為1，這樣就可以得到圓M的方程為（x-2）2＋y2=1.

（2）這里需要判定直線A2A3與圓的位置關系，判定直線與圓的位置關系最好的方式就是通過比較圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的大小關系，d＞r說明直線與圓相離；d=r說明直線與圓相切；d＜r說明直線與圓相交.本題中給定了三個點A1，A2，A3，根據y2=x設A1（a2，a），A2（b2，b），A3（c2，c），這樣就可以通過點的坐標來進行直線A1A2，A1A3的方程的表達，得到直線A1A2的解析式為x-（a＋b）y＋ab=0，直線A1A3的解析式為x-（a＋c）y＋ac=0，從而根據直線A1A2，A1A3均與圓相切的關系來得到點到直線的距離等于圓的半徑，然后利用點到直線的距離公式就能夠得到（a2-1）b2＋2ab-a2＋3=0和（a2-1）c2＋2ac-a2＋3=0.很多同學求解到這一步就不知道該如何進行后續的解答了，通過對這兩個式子進行觀察可以發現兩個式子唯一的區別就是b和c，那么在這里可以通過構造法來構造方程（a2-1）x2＋2ax-a2＋3=0，從而b和c就是這個方程的兩個根.然后根據韋達定理就可以得到b＋c=-2aa2-1，bc=-a2＋3a2-1.同時利用上述的計算A1A2，A1A3方程表達式的方式也能夠得到直線A2A3的方程為x-（c＋b）y＋cb=0，這樣就可以得到圓心M（2，0）到直線A2A3的距離為｜2＋bc｜1＋（b＋c）2，然后將b＋c=-2aa2-1，bc=-a2＋3a2-1代入就能夠計算出點到直線的距離與圓的半徑的關系了.最后得到A2A3與圓M相切.

上述的分析主要是從點A1，A2，A3這三個點的坐標來入手來進行三條直線的方程的構建，然后結合直線與圓相切的關系來進行方程的構建，從而通過韋達定理將b，c的關系式用a來進行表達，實現對問題的解決.這是較為常規的解析幾何解題思路.那么是否存在著其他不同的解題思路呢？是否可以將這三個點進行特殊化處理呢？假設點A1正好位于原點O，這樣就可以直接設A1（0，0），A2（a2，a），A3（b2，b），從而就可以對直線A1A2，A1A3的方程通過更簡單的方式來進行表示.所以直線A1A2的解析式為xa2=ya，即y=1ax，直線A1A3的解析式為y=1bx，從而得到兩條直線到圓心的距離分別是d1=2a1＋1a2=1，d2=2b1＋1b2=1，這樣就可以求解出a2=b2=3，從而就可以得到直線A2A3的方程為x=3，因為圓M的圓心M（2，0），半徑為r=1，所以就可以判斷圓M與直線A2A3相切.這樣將一般問題進行特殊化的處理方式能夠有效地提升對問題的求解效率.通過對學生進行變式教學能夠提升學生對這個試題的整體理解，讓學生建立一套類似問題的解題思路，在后續面對這樣的問題的過程中能夠更好地實現求解.

3 一題多變

通過對上述兩種解題思路的觀察，我們可以發現通過點A1，A2，A3所構成的三角形即是拋物線C：y2=x的內接三角形，又是圓M：（x-2）2＋y2=1的外切三角形.這樣的三角形會存在無數多個，這樣的情況必然不是巧合.所以是否改變圓M的圓心位置和半徑依然還存在這樣的關系呢？那么我們這里直接對圓M的半徑進行變化，令圓的半徑為2，這樣就可以得到新的圓M1：（x-2）2＋y2=2.從而將原式變化為設點A1，A2，A3是y2=x上的三個點，直線A1A2，A1A3均與圓M1：（x-2）2＋y2=2相切，判斷直線A2A3與圓M1的位置關系，請說明理由.

這樣根據上述特殊計算方式可以知道d1=2a1＋1a2=2，d2=2b1＋1b2=2，從而得到a2=b2=1，這樣直線A2A3的方程為x=1，所以圓M與直線A2A3相交.通過研究可以發現這樣的關系不是必然成立的，但是對圓的圓心位置以及半徑進行調整依然能夠得到點A1，A2，A3所構成的三角形是拋物線C：y2=x的內接三角形，又是圓的外切三角形的情況.這樣的情況就是數學中著名的彭賽劣幣和定理中當n=3時的情況.所以教師在進行復習的過程中不僅僅需要對學生進行相關試題的解題教學，還需要結合試題的實際情況來對試題進行變式教學，從而讓學生對這類問題的解題思路有一個全面的掌握.

4 結語

本文通過“直線與方程”章節對高中數學二輪復習的復習策略進行說明，在復習的過程中需要結合相關知識內容來對學生的知識網絡進行完善，使學生建立一套系統的知識體系.然后通過對試題進行一題多解的教學方式來讓學生掌握試題解題的邏輯，并通過試題的變式教學來提升學生應對類似試題的能力，從而讓學生的復習更具成效.

參考文獻

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