兩階段非負矩陣分解算法及其在光譜解混中的應用

摘 要： 非負矩陣分解問題（nonnegative matrix factorization， NMF）模型已成功應用至高光譜遙感影像處理中的光譜解混工作，由于NMF優化模型具有多個局部極小點，使得分解結果不穩定。設計初始化方法或者選擇帶正則項的問題模型是提高分解精度的兩種常用方法。本文提出了兩階段的NMF算法，實現了初始點選取和正則項設計的結合。第一階段借助k-均值獲得k 個聚類中心，給出迭代的初始點；利用第一階段的初始矩陣U0，定義了針對端元矩陣的正則項U - U0 2F，第二階段采用基于交替非負最小二乘框架的投影梯度算法，求解新的正則化NMF問題。正則項中的端元初始矩陣U0 除了采用k-均值獲得k 個聚類中心，也可采用真實地物光譜，它的引入提高了算法的靈活度。數值結果表明新算法更加穩定，且分解的精確性有效提高。

關鍵詞： 非負矩陣分解；正則項；投影梯度法；光譜解混

中圖法分類號： 221；TP751.1 文獻標識碼： A 文章編號： 1000-2324（2024）03-0422-05

1 引言

高光譜遙感圖像中包含豐富的地物光譜信息，它的“圖譜合一”的特點使其在民用和軍事領域發揮著越來越大的作用。在實際中，受空間分辨率限制以及地物的復雜多樣性影響，一個像元內往往包含多種地物類型，稱為混合像元。為了提高分類結果對真實地表覆蓋的描述準確性，需要對混合像元進行分解，確定分解圖像的基本成分（端元提取），計算每一個端元在該像元中所占的比例［1］。

針對光譜解混的兩步工作分別為端元提取和豐度估計。其中端元提取方法主要有幾何單形體體積法、空間投影法、稀疏回歸算法等，豐度估計算法主要有基于貝葉斯方法、梯度下降法等。通過對遙感圖像非負矩陣分解所得的兩個矩陣分別對應端元矩陣和豐度譜圖，可一次性完成兩步工作。

NMF問題的求解算法大多基于交替非負最小二乘框架，可采用投影梯度法［2］、牛頓/擬牛頓法［3，4］、有效集型算法［5，6］以及內點法求解非負最小二乘問題，它們均得到了良好的收斂速度以及數值結果。受目標函數非凸性的影響，NMF的分解結果不穩定。大多算法運行結果的好壞，依賴于迭代初始點的選擇以及問題模型的定義。初始化方面， Wild［7］提出采用k-均值或者球形k-均值給出NMF初始的因子矩陣。借助于奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）［8］，以及從待分解矩陣中選取合適的行或列向量也是常用的初始化方法。目標函數的選定方面，結合因子矩陣的具體含義，對NMF問題模型增加正則項也有助于獲得相對穩定、有效的分解結果。稀疏性NMF［9-10］，正交約束NMF［11-12］，最小體積約束NMF［13］，圖正則NMF［14］，上述模型具體應用于光譜解混時，分解結果有效改善。