時滯影響下自主車輛隊列的穩定性分析

摘 要：自主車輛隊列可提升交通容量與行駛安全性、降低燃油消耗與污染排放。但車輛通信過程中存在時滯，會嚴重影響系統控制性能與穩定性。為此，針對含時滯的自主車輛隊列，建立基于分布式控制器的自主車輛隊列閉環控制系統，并提出一種穩定性分析方法。首先，將整個車輛隊列閉環控制系統解耦為若干子系統，并在此基礎上對子系統進行穩定性分析，提出了基于直接法的精確時滯穩定邊界求解方法，得到了系統穩定的充要條件。最后，通過數值仿真驗證了所提穩定性分析方法的有效性。

關鍵詞：車輛隊列；分布式控制器；直接法；穩定性分析；時滯穩定邊界；閉環控制系統

中圖分類號：TP237 文獻標識碼：A 文章編號：2095-1302（2024）05-00-04

0 引 言

我國經濟的快速發展在推動汽車行業發展的同時，也使得交通擁堵、空氣污染、資源消耗等社會問題日益突出。在解決上述問題過程中，自主車輛隊列成為了智能交通領域的研究熱點。自主車輛隊列，是指通過智能交通系統和自動駕駛技術，利用車間通信，使車輛按照一定規則和策略有序行駛，從而提升道路容量，增強行車安全性，降低燃油消耗[1-2]。

在自主車輛隊列行駛過程中，時滯必然存在且不可避免，這是由于車輛之間的通信需要經過多個環節，如傳感器采集、數據傳輸、數據處理和決策等，每一個環節都會引起時滯的產生[3-4]。時滯的存在影響了車輛隊列的暫態性能和穩態性能，削弱了車輛隊列行駛的穩定性，嚴重影響交通安全[5-7]。因此，研究時滯影響下車輛隊列系統的穩定性具有重要的意義[8-9]。

時滯影響下車輛隊列控制系統的穩定性分析方法主要有兩大類：時域分析法和頻域分析法。時域分析法主要包括Lyapunov-Razumikin法[10]和Lyapunov-Krasovskii法[11]等。然而，時域法具有一定的保守性，無法獲取完整的時滯穩定邊界，尤其一些基于簡單Lyapunov泛函或函數的方法僅能處理簡單的時滯系統，無法適用于車輛隊列系統的時滯穩定邊界求解。因此，許多研究人員開始采用頻域分析法解決時滯穩定邊界的求解問題。頻域分析法主要包括奈奎斯特判據[12]、小增益理論[13]等。文獻[12]針對含輸入時滯的分數階線性多智能體系統，采用奈奎斯特判據進行穩定性分析，得到了系統穩定條件，然而該方法得到的僅是系統時滯穩定的充分條件。文獻[13]針對含時變時滯的自主車輛隊列系統，結合小增益理論與線性矩陣不等式獲取了系統穩定的充分條件，而非充要條件。由此看來，現有方法僅能得到系統穩定的充分條件，而非充要條件，無法獲取完整時滯穩定邊界[14]。

綜上所述，本文針對含時滯的自主車輛隊列，提出基于直接法的精確時滯穩定邊界求解方法，以獲取系統穩定的充分必要條件。首先，設計分布式控制器，建立車輛隊列閉環控制系統，并將整個閉環控制系統解耦成若干子系統，降低含時滯高階超越方程分析的復雜度。在此基礎上，利用直接法分析系統穩定性，求解車輛隊列精確的時滯穩定邊界，得到系統穩定的充分必要條件。

1 問題描述

1.1 車輛的縱向動力學模型

考慮N+1輛車（編號0～N）組成的自主車輛隊列，包括1輛領航車與N輛跟隨車。假設自主車輛隊列在平坦的道路上縱向行駛，每輛跟隨車的線性動力學模型可表示為[15]：

（1）

式中：pi（t）、vi（t）、ai（t）分別為第i輛車的位置狀態、速度狀態、加速度狀態；T為車輛的時間常數；ui（t）為控制輸入。令xi（t）=[pi（t）， vi（t）， ai（t）]T，車輛的狀態空間表達式為：

（2）

式中：

1.2 自主車輛隊列通信拓撲

自主車輛隊列采用雙向跟隨式（Bidirectional topology，BD）拓撲，如圖1所示。在BD拓撲中，自主車輛隊列利用IEEE 802.11p通信協議構建V2V通信網絡，實現車輛狀態信息的共享。

對于BD拓撲，可以用鄰接矩陣描述車輛間的信息傳遞關系，表達式如下：

式中：aij=1表示第i輛車可以接收到第j輛車的信息；否則，aij=0，假設車輛不能自通信，即aii=0。入度矩陣D=diag{deg1， deg2， ...， degN}，。牽引矩陣用來描述領航車與跟隨車之間的通信關系，定義為P=diag{p1， p2， ...，"pN}。那么，自主車輛隊列的擴展拉普拉斯矩陣可表示為L=D-A+P。

1.3 分布式控制器

車輛之間保持所需間距是自主車輛隊列能夠安全、穩定行駛的基本要求之一?？紤]固定間距策略下車輛隊列理想車間距為固定值，與車輛速度無關。使用固定間距策略便于自主車輛隊列控制，并且能有效提升道路容量[16]，相應的自主車輛隊列控制目標為：

（3）

式中，d0為固定常數，表示相鄰車輛間的期望車間距。

考慮到車輛信息共享過程中存在單時滯現象，為實現自主車輛隊列的領航-跟隨目標（式（3）），設計含單時滯的分布式控制器：

（4）

式中，，、、分別為第i輛跟隨車的位置誤差、速度誤差與加速度誤差；是由分布式控制器的位置、速度與加速度增益組成的增益向量；τ為通信時滯。

1.4 車輛隊列的閉環動力學模型

根據分布式控制器（式（4））與車輛的縱向動力學模型

（式（1）），第i輛跟隨車的狀態空間表達式為：

（5）

定義為車輛隊列系統狀態誤差向量集合，那么構建整個自主車輛隊列的閉環控制系統為：

（6）

式中：IN表示N階單位矩陣；表示Kronecker積；L為擴展拉普拉斯矩陣。自主車輛隊列系統的特征方程為：

（7）

2 基于直接法的精確時滯穩定邊界求解方法

分布式控制器作用下的車輛隊列閉環控制系統屬于時滯系統，其特征方程式（7）包含指數項e-τs，是一個3N階的準多項式，即含時滯的高階超越方程，難以直接對其進行求解；而且隨著跟隨車數量N的增加，系統階數增加，計算量變得難以接受。因此，可將整個車輛隊列閉環控制系統解耦為若干子系統，以降低系統階次，從而減少時滯穩定邊界的求解難度。

根據代數圖論的知識可得，存在一個非奇異變換矩陣P∈RN×N，使得，Λ為N階對角矩陣，其對角元素λi為擴展拉普拉斯矩陣L的特征值。定義且φi∈R3，滿足，則特征方程式（7）可表示為：

（8）

利用Kronecker積的相關性質，式（8）可簡化為：

（9）

由于IN和Λ都是對角矩陣，車輛隊列系統可解耦成若干3階子系統：

（10）

子系統式（10）的特征方程為：

（11）

引理3.1：當且僅當所有子系統（式（10））漸近穩定時，整個車輛隊列閉環控制系統漸近穩定[9]。

由此可知，分析整個車輛隊列的穩定性，等價于分析所有子系統的穩定性。因此，綜合所有子系統的時滯穩定邊界即可得到整個車輛隊列系統的時滯穩定邊界。

針對第i個子系統，提出基于直接法的時滯穩定邊界求解方法。假設s=jωi，j2=-1為子系統特征方程（式（11））的一個純虛根，代入特征方程式（11）得：

（12）

根據特征方程純虛根的共軛對稱特性，

得到：

（13）

聯合式（12）與式（13），消去指數項e-jωiτ和ejωiτ，得到：

（14）

通過求解式（14），可得到第i個子系統特征方程式（11）在時滯穩定邊界處的穿越頻率ωi。將穿越頻率ωi代入式（13）

得到：

（15）

分離式（15）的指數項得到：

（16）

根據歐拉公式以及時滯項的頻率周期性，可得第i個子系統的臨界時滯集合Φi為：

（17）

式中，，，k=0， ±1， ...。臨界時滯集合Φi中最小正數即為第i個子系統的時滯穩定邊界τ*i。

接下來，分析子系統式（10）的純虛根在對應時滯穩定邊界τ*i處的漸近行為。時滯系統的純虛根jωi關于時滯穩定邊界τ*i的導數，稱之為根趨勢RT：

（18）

式中，sgn表示符號函數。由根趨勢的定義可知，當時滯穿過時滯穩定邊界時，特征方程式（11）的不穩定根（位于復平面右半平面）數量會發生變化。具體地，當RT=+1或-1時，不穩定根數量增加或減少2個，其中不穩定根數量為零的區間即為時滯穩定區間。

根據式（18）計算臨界時滯處根軌跡的漸近行為，得到第i個子系統的時滯穩定區間τ∈（0， τ*i]，區間的邊界即時滯穩定邊界。對所有子系統重復上述計算過程，可以得到各子系統時滯穩定區間，通過時滯穩定區間的疊加，即可得到整個車輛隊列系統完整、精確的時滯穩定邊界τ*。

綜上所述，針對時滯作用下的車輛隊列閉環控制系統，將精確時滯穩定邊界的求解流程歸納如圖2所示。

基于直接法的精確時滯穩定邊界求解方法

Input：通信拓撲；控制器參數kp， kv， ka；車輛數目N

Output：時滯影響下車輛隊列系統的精確時滯穩定邊界

1：根據通信拓撲與控制器建立自主車輛隊列系統模型；

2：將車輛隊列系統等效分解為N個子系統；

3：For i=1， 2， ...， N do

4：假設純虛根s=jωi，根據式（14）求解子系統特征方程的穿越頻率ωi；

5：根據式（17）求解第i個子系統的精確時滯穩定邊界τ*i；

6：根據式（18）計算時滯穩定邊界的根趨勢，確定子系統的時滯穩定區間；

7：End for

8：對所有子系統的時滯穩定區間求交集，確定整個車輛隊列系統的時滯穩定區間，區間的邊界即為整個系統的精確時滯穩定邊界τ*。

3 仿真驗證

針對時滯影響下的自主車輛隊列，通過數值仿真驗證所提精確時滯穩定邊界求解方法的有效性。考慮5輛跟隨車與1輛領航車組成的同構自主車輛隊列，車輛的慣性常數為T=0.5 s，期望車輛間距為d=50 m，控制器參數設計為kp=1，kv=2和ka=2。此時，自主車輛隊列系統在不含通信時滯的情形下（τ=0）滿足系統初始穩定。

BD通信拓撲的擴展拉普拉斯矩陣有5個特征值，分別為0.081 0、0.690 2、1.715 3、2.830 3、3.682 5，將車輛隊列閉環系統分解為5個子系統。按照所提基于直接法的精確時滯穩定邊界求解方法，分別針對每個子系統求解時滯穩定邊界，得到各子系統的不穩定根數目變化情況與時滯穩定邊界如圖3所示。從圖3中可以看出，不穩定根為零的區間是時滯穩定區間，綜合所有子系統的時滯穩定區間，得到整個車輛隊列的時滯穩定區間為[0， 0.345 4 s]，那么車隊系統的時滯穩定邊界為τ=0.345 4 s。

為了驗證所計算車輛隊列系統時滯穩定邊界的正確性，選取三個時滯：第一個小于時滯穩定邊界，為τ=0.335 0 s；第二個選在時滯穩定邊界處，為τ=0.345 4 s；第三個大于時滯穩定邊界，為τ=0.355 0 s。設定跟隨車與領航車的初始位置誤差pi（0）為-6～6 m的隨機數，初始速度誤差vi（0）為-3～3 m/s的隨機數，初始加速度誤差ai（0）為0 m/s2。分別繪制三組時滯影響下車輛隊列系統的位置誤差、速度誤差以及加速度誤差，仿真結果如圖4～圖6所示。

根據圖4～圖6可知，當時滯小于時滯穩定邊界時，跟隨車的位置狀態誤差、速度狀態誤差以及加速度狀態誤差呈現收斂趨勢，跟隨車可與領航車保持期望間距，自主車輛隊列系統處于穩定狀態；當時滯位于時滯穩定邊界處時，跟隨車的狀態誤差等幅震蕩，系統處于臨界穩定狀態；當時滯大于時滯穩定邊界時，跟隨車的狀態誤差隨時間增加逐漸發散，系統處于不穩定狀態。因此，所求解的時滯穩定邊界是精確的，從而驗證了所提時滯穩定邊界求解方法的正確性。

4 結 語

本文針對時滯影響下的自主車輛隊列，提出了一種基于直接法的精確時滯穩定邊界求解方法。首先，設計了含時滯的分布式控制器，建立了自主車輛隊列閉環控制系統，并將其解耦為多個子系統，減小了含時滯高階超越方程分析的復雜度。然后，基于直接法求解了系統的精確時滯穩定邊界，獲得了自主車輛隊列系統穩定的充分必要條件。最后，分別選取小于、等于、大于時滯邊界的時滯量，繪制了車輛隊列系統的狀態誤差，驗證了所提時滯穩定邊界求解方法的正確性。

注：本文通訊作者為劉維宇。

參考文獻

[1]陳虹，郭露露，宮洵，等. 智能時代的汽車控制[J]. 自動化學報，2020，46（7）：1313-1332.

[2]郭戈，許陽光，徐濤，等. 網聯共享車路協同智交通系統綜述[J]. 控制與決策，2019，34（11）：2375-2389.

[3] JIA D，LU K，WANG X，et a. A survey on platoon-based vehicular cyber-physical systems [J]. IEEE communications surveys and tutorials，2016，18（1）：263-284.

[4]李旭光，張穎偉，馮琳. 時滯系統的完全穩定性研綜述[J]. 控制與決策，2018，33（7）：1153-1170.

[5] PETRILLO A，SALVI A，SANTNI S，et al. Adaptive multi-agents synchronization for collaborative driving of autonomous vehicles with multiple communication delays [J]. Transportation research Part C，2018，86：372-392.

[6]常雪陽，許慶，李克強，等. 通信時滯與丟包下能網聯汽車控制性能分析[J]. 中國公路學報，2019，32（6）：216-225.

[7] ABOLFAZLI E，BESSELINK B，CHARALAMBOUS T. On time headway selection in platoons under the MPF topology in the presence of communication delays [J]. IEEE transactions on intelligent transportation systems，2021，23（7）：8881-8894.

[8] KHALIFA A，KERMORGANT O，OMINGUEZ S，et al. Platooning of car-like vehicles in urban environments：an observer-based approach considering actuator dynamics and time delays [J]. IEEE transactions on intelligent transportation systems，2021，22（9）：5684-5696.

[9] ZHENG Y，LI S E，WANG J，et al. Stability and scalability of homogeneous vehicular platoon：study on the influence of information flow topologies [J]. IEEE transactions on intelligent transportation systems，2015，17（1）：14-26.

[10] XU L，ZHUANG W，YIN G，et al. Energy-oriented cruising strategy design of vehicle platoon considering communication delay and disturbance [J]. Transportation research Part C：emerging technologies，2019，107：34-53.

[11] CHEN J，LIANG H，LI J，et al. Connected automated vehicle platoon control with input saturation and variable time headway strategy [J]. IEEE transactions on intelligent transportation systems，2021，22（8）：4929-4040.

[12] SHI M，YU Y，XU Q. Delaydependent consensus condition for a class of fractional-order linear multi-agent systems with input time-delay [J]. International journal of systems science，2019，50（4）：669-678.

[13] SADEK B A，EL HOUSSAINE ，NOREDDINE C. Small-gain theorem and finite-frequency analysis of TCP/AQM system with time varying delay [J]. IET control theory amp; applications，2019，13（13）：1971-1982.

[14]李旭光，張穎偉，馮琳. 時滯系統的完全穩定性究綜述[J]. 控制與決策，2018，33（7）：1153-1170.

[15]鄭洋. 基于四元素構架的車輛隊列動力學建模與分布控制[D]. 北京：清華大學，2015.

[16] CHEHARDOLI H，HOMAEINEZHD M R，GHASEMI A. Control design and stability analysis of homogeneous traffic flow under time delay：a new spacing policy [J]. Proceedings of the institution of mechanical engineers，Part D：journal of automobile engineering，2019，233（3）：622-635.

作者簡介：張琳虎（1998—），男，河南開封人，碩士，研究方向為自主車輛隊列控制。

楊景凱（1998—），男，陜西寶雞人，碩士，研究方向為智能交通、深度學習。

劉維宇（1987—），男，陜西西安人，博士，副教授，研究方向為電動微納流體、人工智能。

收稿日期：2023-05-13 修回日期：2023-06-09

基金項目：國家自然科學基金（面上項目）（12172064）