豎直面內的圓周運動極值問題分析

豎直面內的圓周運動是高中物理中的一個重要知識點，也是高考物理的?？碱}型．這類問題通常涉及速度、加速度、向心力、彈力、重力等多個物理量的關系，還涉及臨界狀態的分析．因此，深入理解并掌握豎直面內圓周運動的極值問題，對于提高物理學科核心素養和考試成績具有重要意義．

１ 常見類型及深度解析

１.１ 繩模型

繩模型是豎直面內圓周運動中最常見的模型之一．在最高點，由于繩子只能提供拉力，不能提供支持力，因此存在速度的最小值．當速度小于這個最小值時，物體將在達到最高點前做斜拋運動．在最低點，繩子承受的拉力隨速度的增大而增大．

在最高點，物體受到重力和繩子拉力的共同作用，這兩個力的合力提供向心力．當繩子拉力為零時，重力完全提供向心力，此時速度達到最小值．在最低點，由于速度較大，繩子需要提供的拉力也較大，但繩子本身具有一定的彈性限度，因此在實際情況下，速度過大可能導致繩子斷裂．

１.２ 桿模型

桿模型與繩模型類似，但在最高點時，桿既可以提供拉力也可以提供支持力．因此，在最高點速度最小值可以為０．在最低點，桿承受的力隨速度的增大而增大，但同樣沒有理論上的最大值．

桿模型在最高點的受力情況比繩模型復雜．當速度較小時，桿提供支持力;當速度較大時，桿提供拉力．這兩種情況下，重力和桿的作用力共同提供向心力．因此，在最高點存在兩個臨界速度，分別對應最小速度和最大速度．在最低點，由于速度較大，桿需要提供的力也較大，同樣受到材料強度等實際因素的限制．

１.３ 軌道模型

軌道模型通常指的是固定在地面上的圓形軌道．在軌道內側最高點，物體受到重力和軌道的支持力作用．為了保證物體不脫離軌道，軌道的支持力必須大于等于零，因此存在速度的最小值．在最低點，軌道承受的壓力隨速度的增大而增大，沒有理論上的最大值．

軌道模型在最高點的受力情況與繩模型類似，但軌道的支持力始終指向圓心．因此，在最高點只存在一個臨界速度，即最小速度．當速度小于這個值時，物體將脫離軌道做斜拋運動．在最低點，由于速度較大，軌道需要承受較大的壓力．在實際應用中，軌道的設計需要考慮材料的抗壓強度和穩定性等因素．

通過以上總結我們知道，在高中階段，研究豎直面內的圓周運動極值問題通常只研究兩個特殊位置———最低點和最高點．但請注意：以上總結都是理想狀態，在具體問題中，到達圓周的最低點和最高點時研究對象的速度并非一定是最大值和最小值．因此，對于這種相對復雜的運動，我們需要對受力有深刻的認知和準確的分析．

２ 實例賞析

例１ 如圖１所示，質量為M 的人站在一臺秤上，可認為臺秤的示數即人對秤盤的壓力;人手中緊握一根長為R 的細線，一個質量為m 的小球系在細線的另一端，小球可繞人手在豎直平面內做順時針圓周運動．若小球恰好能通過圓軌道最高點b，另知點a、c 是圓軌道水平直徑的兩個端點，則下列說法正確的是（ ）．

A．小球運動到最高點時，小球的速度為零

B．當小球運動到點b 時，人對秤盤的壓力最小，大小為Mg

C．小球在a、b、c 三個位置時，人對秤盤的壓力相同

D．小球從c 點運動到最低點的過程中人對秤盤的壓力減小

解析

本題屬于繩模型，根據題意小球“恰好能通過圓軌道最高點b”可知，小球在最高點存在最小速度，分析受力可知在最高點小球的向心力由自身重力提供．小球運動到最低點時，以人和小球為整體進行受力分析．

因為小球恰好能通過圓軌道最高點，可知在最高點時細繩上的拉力為０，此時小球重力提供向心力，有mg＝mv２b／R ，解得vb＝根號下gR ，故選項A 錯誤．

在小球運動到最高點時，根據上面分析可知此時細繩上的拉力為０，因此此時臺秤的示數為Mg;而在小球從點a 運動到點b 的過程中，細繩上有拉力，受力分析可知臺秤示數應小于Mg，所以在小球到達最高點b 時，臺秤上的示數并非最小值，選項B錯誤．

小球在位置a 和c 時，細繩的拉力提供向心力，但由于拉力處于水平方向，對人受力分析可知，豎直方向有FN＝Mg，所以選項C正確．

小球在從點c 運動到最低點的過程中，細繩上的拉力逐漸增大，且拉力與豎直方向的夾角逐漸減小，以人為研究對象進行受力分析可知細繩對人的拉力在豎直方向上的分力逐漸增大，因此臺秤的示數也在不斷增大，故選項D錯誤．

例２ 如圖２所示，在水平地面上放置一個質量為M ＝４kg的三角形支架，在支架上部裝有一個水平轉軸，轉軸由電動機驅動．現有一個輕桿安裝在轉軸上，另一端固定一個質量m ＝１kg的小球，小球與轉軸間距離為５cm．電機驅動轉軸可帶動輕桿和小球在豎直面內做勻速圓周運動，當轉軸轉速恒為n 時，小球通過最高點時對輕桿的壓力為２N，重力加速度g 取１０m··s－２，則（ ）．

A．小球運動到最高點時需要的向心力為１２N

B．小球運動到最高點時，支架對地面的壓力為４２N

C．圖示中輕桿恰好達到水平位置，此時地面受到的摩擦力為８N，方向水平向右

D．若題中的桿是輕繩，以同樣的轉速轉動，小球無法通過圖示的最高點

解析

在最高點，小球的向心力由自身重力和桿的支持力提供．小球運動到圖示水平位置時，向心力由桿的拉力提供;桿換成細繩后，能通過最高點且速度最小時的向心力由小球的自身重力提供．知道了以上信息，由牛頓第二定律列式即可求出小球的線速度、繩或桿上的拉力等．

由題意和牛頓第三定律可知，在最高點桿對小球的支持力FN＝２N，在最高點小球所需向心力由自身的重力和桿對其的支持力提供，受力分析可知F＝mg－FN＝１０N－２N＝８N，故選項A 錯誤．

小球在最高點，桿受到小球的壓力為２N，可知支架對地面的壓力為F壓＝Mg＋FN＝４０N＋２N＝４２N，選項B正確．

輕桿達到圖示的水平位置時，設桿對小球的拉力為FT，有FT＝mv２／r ＝F＝８N，根據牛頓第三定律，小球對桿的拉力F′T ＝FT＝８N．以支架為研究對象，由平衡條件可得地面對支架的摩擦力Ff＝F′T ＝８N，方向水平向左，根據牛頓第三定律，可知地面受到的摩擦力為８N，方向水平向右，選項C正確．

由前面分析可知，小球在最高點時有F＝mg－FT＝mv２／r ＝８N，解得在最高點時小球的速度v＝根號下０.４ m·s－１．

換成輕繩后，設小球能達到最高點的最小速度為vmin，此時小球所需向心力由小球自身重力提供，有mg＝mv２min／r ，解得vmin＝根號下０.５ m·s－１＞根號下０.４ m·s－１，所以換成輕繩后，小球以同樣的轉速無法達到最高點，故選項D正確．

通過以上分析不難看出，解答物體在豎直面內做圓周運動的極值問題只需抓住向心力的來源這一關鍵，然后運用圓周運動相關規律就能準確解答．

（完）