新課標(biāo)下小學(xué)數(shù)學(xué)“空間觀念”的培養(yǎng)和思考

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生結(jié)合具體的實(shí)例，探索并發(fā)現(xiàn)平面圖形按比例放大后面積的變化規(guī)律。進(jìn)一步加深對(duì)圖形放大和縮小的含義以及比例意義的理解。

2.使學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的學(xué)習(xí)過(guò)程，進(jìn)一步積累觀察、比較、分析、概括、歸納等活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟歸納的思想和方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思考。

【教學(xué)重點(diǎn)】

引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較，自主發(fā)現(xiàn)“如果把一個(gè)圖形按n∶1的比放大，放大后與放大前面積的比是n2∶1”。

【教學(xué)難點(diǎn)】

能利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題。

【教學(xué)過(guò)程】

一、故事導(dǎo)入，設(shè)疑激趣

師：同學(xué)們，你們喜歡聽故事嗎？那么我們就來(lái)聽一個(gè)《阿凡提智斗巴依老爺》的故事。

播放短片：巴依老爺對(duì)阿凡提說(shuō)：“你的土地這么肥沃，來(lái)年土地的租金得擴(kuò)大5倍！”阿凡提沉思片刻，對(duì)巴依老爺說(shuō)：“尊敬的巴依老爺，我答應(yīng)你，不過(guò)土地得按3∶1的比放大?！卑鸵览蠣斠宦牐蛋档靡猓骸昂茫『茫【瓦@么定了！”

師：到底誰(shuí)占了便宜呢？誰(shuí)來(lái)和我們說(shuō)一說(shuō)。

生1：把土地按照3∶1的比放大，面積會(huì)擴(kuò)大9倍，而巴依老爺只把租金擴(kuò)大了5倍，顯然阿凡提占了便宜。

生2：面積是32∶12=9∶1，阿凡提占了便宜。

……

師：看來(lái)，面積比與長(zhǎng)度比有著密切的聯(lián)系。今天這節(jié)課，咱們就來(lái)研究面積的變化。（板書課題：面積的變化）

（反思：創(chuàng)設(shè)《阿凡提智斗巴依老爺》的故事，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，喚醒學(xué)生強(qiáng)烈的參與意識(shí)。學(xué)生調(diào)用已有的知識(shí)儲(chǔ)備和生活經(jīng)驗(yàn)，能發(fā)現(xiàn)故事中暗藏的小秘密，從而為接下來(lái)探究圖形面積比與長(zhǎng)度比之間的關(guān)系做鋪墊。）

二、探索長(zhǎng)方形面積比與長(zhǎng)度比的關(guān)系

（一）簡(jiǎn)單入手，感知關(guān)系

師：數(shù)學(xué)研究一般從簡(jiǎn)單入手，我們先來(lái)看一看這兩個(gè)長(zhǎng)方形，它們的對(duì)應(yīng)邊有什么聯(lián)系呢？（出示圖1）

生1：寬和長(zhǎng)的比1∶3。

生2：長(zhǎng)和寬都擴(kuò)大了3倍。

生3：大長(zhǎng)方形和小長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)邊的比是3∶1（板書：對(duì)應(yīng)邊的比3∶1），大長(zhǎng)方形是小長(zhǎng)方形按照3∶1的比放大后得到的。（板書：按比例放大）

師：那它們的面積又有怎樣的聯(lián)系呢？你是怎么想的？

生1：用計(jì)算的方法。

師：那你來(lái)算一算。（出示圖2）你會(huì)用數(shù)字說(shuō)話，真有數(shù)學(xué)的眼光。誰(shuí)還有其他的方法嗎？

生2：邊長(zhǎng)擴(kuò)大3倍，面積擴(kuò)大3的平方倍。

師：你知道的真多！那到底是為什么呢？今天我們就來(lái)一起研究。

生3：畫一畫：小長(zhǎng)方形拼到大長(zhǎng)方形中……

師：我猜你腦海里一定有了這樣一幅圖，看（出示圖3），是不是這樣？

畫一畫 分一分

師：除了結(jié)合數(shù)據(jù)、圖形，你還能結(jié)合長(zhǎng)方形的面積公式說(shuō)一說(shuō)長(zhǎng)和寬分別發(fā)生了怎樣的變化嗎？

生4：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，因數(shù)（長(zhǎng)）和因數(shù)（寬）都擴(kuò)大3倍，積（長(zhǎng)方形的面積）擴(kuò)大9倍。9÷3=3 3÷1=3或大長(zhǎng)是小長(zhǎng)的3倍，大寬是小寬的3倍……長(zhǎng)的比3∶1，寬的比3∶1，3×3=9。

師：你能從長(zhǎng)方形的面積公式入手，聯(lián)系以前學(xué)的積的變化規(guī)律，真會(huì)融會(huì)貫通！（出示圖4）

師總結(jié)：結(jié)合數(shù)據(jù)、圖形、公式推理我們都發(fā)現(xiàn)了當(dāng)長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)邊的比是3∶1時(shí)（師邊指邊說(shuō)），放大后和放大前長(zhǎng)方形的面積比是（9∶1）。（板書：放大后和放大前面積的比9∶1）

師：仔細(xì)觀察3∶1和9∶1這兩個(gè)比，你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生1∶9是3的平方倍，1是1的平方倍。

師：你找到了數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，數(shù)感真強(qiáng)！那誰(shuí)再來(lái)用文字總結(jié)一下？

生2：如果把一個(gè)長(zhǎng)方形按a∶1的比放大，放大后與放大前面積的比是a2∶1。

師：你能結(jié)合字母式把你的發(fā)現(xiàn)說(shuō)出來(lái)，真厲害！

（二）大膽猜想，細(xì)心驗(yàn)證

師：是不是所有長(zhǎng)方形按比例放大后面積比一定等于對(duì)應(yīng)邊平方的比呢？感覺上是，能馬上下結(jié)論嗎？因此這只是我們的一個(gè)猜想！（板書：猜想）

師：接下來(lái)怎么辦呢？

生：舉例驗(yàn)證。

師：你不僅說(shuō)出了自己的想法，還把解決問(wèn)題的方法告訴了大家，真不錯(cuò)！

生：驗(yàn)證。（板書：驗(yàn)證）

師：怎么驗(yàn)證呢？

生1：按照2∶1的比放大……

師：我知道你的意思了，你打算按照2∶1的比放大，再算一算是不是？

生2：我們可以把這個(gè)長(zhǎng)方形按不同的比放大，看一看是否符合這個(gè)規(guī)律。

師：是啊，我們可以再舉些例子進(jìn)行驗(yàn)證。請(qǐng)大家完成研究單一（出示圖5）。

“面積的變化”研究單一

班級(jí)： 姓名：

我把長(zhǎng)方形按（ ∶1）的比放大：

師：誰(shuí)來(lái)和我們一起分享你舉的例子？

生1：把一個(gè)長(zhǎng)方形按照幾：1的比放大，放大后與放大前面積的比是幾的平方比1。

師：數(shù)學(xué)講究簡(jiǎn)潔美，誰(shuí)能說(shuō)得更簡(jiǎn)潔一些？

生2：把一個(gè)長(zhǎng)方形按照x∶1的比放大，放大后與放大前面積的比是x2∶1。

師：剛才這位同學(xué)結(jié)合字母x把規(guī)律表示出來(lái)，非常簡(jiǎn)潔明了！如果用字母n，誰(shuí)再來(lái)說(shuō)一說(shuō)。

生3：如果把一個(gè)長(zhǎng)方形按n∶1的比放大，放大后與放大前面積的比是n2∶1。

師：你一下子就找到了關(guān)鍵，真是“火眼金睛”！

生總結(jié)：如果把一個(gè)長(zhǎng)方形按n∶1的比放大，放大后與放大前面積的比是n2∶1。

師：同學(xué)們，我們剛才通過(guò)舉例進(jìn)行驗(yàn)證，這些例子舉得完嗎？如果有“漏網(wǎng)之魚”，萬(wàn)一有不符合規(guī)律的呢？想一想我們還有沒有其他的方法可以驗(yàn)證。

生說(shuō)師出示PPT（見圖6）。

師：結(jié)合字母式，你發(fā)現(xiàn)大長(zhǎng)方形和小長(zhǎng)方形的面積有什么關(guān)系呢？

生：把小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)擴(kuò)大n倍，寬也擴(kuò)大n倍，面積就擴(kuò)大n2倍。

師：（出示圖7）回顧我們剛才學(xué)習(xí)的內(nèi)容，我們能舉例驗(yàn)證，還能結(jié)合公式推理進(jìn)行驗(yàn)證，通過(guò)驗(yàn)證我們就能總結(jié)規(guī)律（板書：總結(jié)），規(guī)律是什么？

生總結(jié)（師板書）：如果把一個(gè)長(zhǎng)方形按n∶1的比放大，放大后與放大前面積的比是n2∶1。

師：大家總結(jié)得真不錯(cuò)！

（反思：結(jié)合算式、圖形、公式推理等多種方法，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)邊和面積之間的聯(lián)系。接著學(xué)生觀察數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)面積比和長(zhǎng)度比有著密切的聯(lián)系，進(jìn)而提出猜想，并舉例進(jìn)行驗(yàn)證。舉例雖簡(jiǎn)易但不能窮盡，教師繼續(xù)發(fā)問(wèn)“是否有更嚴(yán)密的證明方法”，將學(xué)生的思維引向深入。有了前面多種證明方法的鋪墊，學(xué)生自然而然地想到能結(jié)合公式推理。通過(guò)嚴(yán)密的公式論證，學(xué)生不僅能總結(jié)規(guī)律，還能培養(yǎng)推理論證能力，鍛煉思維。）

三、探索其他平面圖形面積比與長(zhǎng)度比的關(guān)系

（一）由長(zhǎng)方形想到其他平面圖形

師：剛才我們研究的是長(zhǎng)方形，接下來(lái)你打算研究什么？

生1：我打算研究圓。

生2：我打算研究平行四邊形、圓、梯形、三角形。

師：你一下子說(shuō)了這么多，真是個(gè)愛探索的孩子。

生3：我打算研究正方形。

師：正方形是一個(gè)特殊的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的規(guī)律正方形也適用嗎？你可以探究一下哦。

生4：我打算研究不規(guī)則圖形。

師：你的想法真獨(dú)特！

（二）小組合作，驗(yàn)證猜想

師：接下來(lái)，四人小組合作進(jìn)行研究，在合作之前請(qǐng)聽活動(dòng)要求。

活動(dòng)要求：

1.每組任選一個(gè)圖形，研究按比例放大后面積比與對(duì)應(yīng)邊的比之間的關(guān)系。

2.選擇舉例或結(jié)合公式推理驗(yàn)證你們小組的猜想。

3.組內(nèi)交流你的想法，記錄在研究單二上。

師：都討論好了嗎？哪一組上來(lái)匯報(bào)一下你們的研究成果？

預(yù)設(shè)1：

生1：選擇一個(gè)三角形用數(shù)據(jù)驗(yàn)證。

師：你的例子舉得真好！請(qǐng)回座位，還有同樣選擇了三角形，但方法不同的同學(xué)嗎？

生2：結(jié)合公式推理。

師：解釋得很有條理！請(qǐng)回座位。

師：還有研究其他圖形的嗎？

預(yù)設(shè)2：

生1：我選擇圓，舉例驗(yàn)證。

生2：我也選擇圓，結(jié)合公式推理驗(yàn)證。

師：你們不僅會(huì)舉例，還能結(jié)合公式推理進(jìn)行驗(yàn)證，又聯(lián)系了比的基本性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，很好。

剛才這3組同學(xué)分別研究了平行四邊形、三角形、圓，其他同學(xué)的研究和他們的發(fā)現(xiàn)一樣嗎？那現(xiàn)在，我們最終能得到什么結(jié)論呢？

師生共同總結(jié)并板書：把一個(gè)圖形按照n∶1的比放大，放大后與放大前面積的比是n2∶1。

（三）前后呼應(yīng)，應(yīng)用知識(shí)

師：回顧一下我們課前的小故事，這兩個(gè)人到底誰(shuí)占便宜了呀？為什么？

學(xué)生回答后教師評(píng)價(jià)。然后說(shuō)：巴依老爺最近正在修繕莊園，讓我們一起去看一看。（播放錄音）走進(jìn)莊園，草地上有一個(gè)自動(dòng)灑水裝置。我打算把灑水裝置的射程由3米擴(kuò)大到6米，灑水面積將擴(kuò)大幾倍呢？

學(xué)生回答后教師播放錄音：接著，請(qǐng)到我的房間來(lái)看一看。最初我給這間屋子鋪正方形地磚，正好需要100塊邊長(zhǎng)40厘米的地磚?？墒亲罱掖蛩惆训卮u的邊長(zhǎng)調(diào)整為80厘米，現(xiàn)在需要多少塊呢？

學(xué)生回答后，教師總結(jié)：沒錯(cuò)，邊長(zhǎng)由40cm調(diào)整為80cm就擴(kuò)大了2倍，因此面積就會(huì)擴(kuò)大4倍，所以塊數(shù)就要用……

師：是??！應(yīng)用剛才的研究成果，我們還能解決實(shí)際問(wèn)題呢！（板書：應(yīng)用）

（反思：通過(guò)多組匯報(bào)，師生共同總結(jié)規(guī)律。學(xué)生掌握規(guī)律后，教師帶領(lǐng)學(xué)生回到課前小故事，利用今天學(xué)的知識(shí)，學(xué)生能高效地解決問(wèn)題。接著教師讓學(xué)生繼續(xù)幫助巴伊老爺解決問(wèn)題，有趣的故事吸引了學(xué)生的目光，一個(gè)又一個(gè)問(wèn)題被學(xué)生一一破解，學(xué)生在歡笑中體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值?。?/p>

四、大膽猜測(cè)，遷移類推

師：根據(jù)這個(gè)結(jié)論，大膽猜一猜，還能提出哪些猜想呢？（同桌互相交流）

生1：把一個(gè)圖形按照1∶n的比縮小，縮小后與縮小前面積的比是1∶n2。

師：是啊，把比的前后項(xiàng)換個(gè)位置，又能說(shuō)出一個(gè)不一樣的猜想。

生2：把一個(gè)圖形按照m∶n的比（放大/縮?。┳兓?，變化后與變化前面積的比是m2∶n2。

師：你真厲害，提出了一個(gè)更普遍的猜想。

生3：把一個(gè)圖形按照n∶1的比放大，放大后與放大前體積的比是n3∶1。

師：你是根據(jù)面積這個(gè)詞想到了體積，真會(huì)聯(lián)想。

生4：把一個(gè)圖形按照1∶n的比縮小，縮小后與縮小前體積的比是1∶n3。

師：你能結(jié)合前面兩位同學(xué)的發(fā)言進(jìn)一步提出猜想，真會(huì)學(xué)習(xí)！

生5：把一個(gè)圖形按照m∶n的比變化，變化后與變化前體積的比是m3∶n3。

師：這些都只是我們的猜想，接下來(lái)怎么辦？只有通過(guò)驗(yàn)證我們才能總結(jié)規(guī)律。

（反思：教師讓學(xué)生大膽猜測(cè)，引導(dǎo)學(xué)生從面積想到周長(zhǎng)，從平面圖形想到立體圖形。從二維教學(xué)聯(lián)想到一維和三維。教師從整體出發(fā)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更加完整，感悟智慧的生長(zhǎng)。）

五、總結(jié)提升

師：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？

生1：如果把一個(gè)圖形按照n∶1的比放大，放大后與放大前面積的比是n2∶1。

生2：我們要認(rèn)真觀察、比較數(shù)據(jù)，才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

生3：我們?cè)谔剿饕?guī)律的時(shí)候會(huì)經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—總結(jié)—應(yīng)用”這四個(gè)過(guò)程。

師總結(jié)：數(shù)學(xué)世界充滿了未知，希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中，能多思多想，大膽猜測(cè)，細(xì)心驗(yàn)證，得出結(jié)論，并應(yīng)用到我們的日常生活中。

（反思：教師通過(guò)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生充分體驗(yàn)“猜想—驗(yàn)證—總結(jié)—應(yīng)用”這四個(gè)環(huán)節(jié)。學(xué)生不僅掌握了探索規(guī)律的一般方法，還學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)得以形成，創(chuàng)新意識(shí)得以迸發(fā)，智慧得到了生長(zhǎng)。）

編輯：曾彥慧

作者簡(jiǎn)介：李瑩潔（1996—），女，本科，二級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。