基于改進堆優化算法求解電動汽車并網動態經濟調度

摘 要：針對堆優化算法HBO處理含電動汽車的動態經濟調度問題時存在收斂慢和精度低等問題，提出一種改進的堆優化算法RDHBO。首先，在RDHBO中引入了最優成員區域搜索和雙種群交互策略。前者引導最優成員移動到更有希望的區域，提升了算法的收斂精度和收斂速度；后者充分利用被淘汰的劣勢個體，豐富了種群的多樣性，避免了算法陷入局部最優。然后，將RDHBO應用于四種充電場景的10機組電動汽車動態經濟調度問題。仿真結果表明，與已有的代表性方法相比，RDHBO在產生低燃料成本和穩定性方面具有很強的競爭力。最后，對RDHBO的兩種改進策略進行了消融實驗，驗證了兩種改進策略的有效性。

關鍵詞：動態經濟調度；電動汽車；堆優化算法；區域搜索；雙種群交互

中圖分類號：TP18;TM73 文獻標志碼：A 文章編號：1001-3695（2024）10-021-3032-06

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2024.03.0058

Solving dynamic economic dispatch with electric vehicle based on improved heap-based optimizer algorithm

Chen Xu，Zhang Zhixiang

（School of Electrical & Information Engineering，Jiangsu University，Zhenjiang Jiangsu 212013，China）

Abstract：When dealing with dynamic economic dispatch problems involving electric vehicles（EVDED），HBO suffers from slow convergence and low accuracy.This paper proposed an improved heap-based optimizer algorithm called RDHBO.RDHBO adopted the optimal member region search and dual population interaction strategies.The former guided the optimal members to move to more promising regions，improving the convergence accuracy and convergence speed.The latter made full use of the eliminated inferior individuals，enriching the diversity of the population，avoiding the algorithm falling into the local optimum.It investigated a 10-unit EVDED problem with four charging scenarios.The simulation results show that RDHBO is highly compe-titive in generating low fuel cost and high stability compared with the existing representative methods.Finally，two improved strategies of RDHBO were subjected to ablation experiments，and the results show that combining the two strategies are effective.

Key words：dynamic economic dispatch（CDED）;electric vehicle;heap-based optimizer（HBO）;regional search;dual population interaction

0 引言

經濟調度（economic dispatch，ED）是電力系統運行中最重要的優化問題之一［1］。經濟調度分為靜態經濟調度和動態經濟調度（DED）。DED是在滿足系統物理約束和運行約束的條件下，分配整個調度周期內的機組發電量，使得發電總成本最小。DED問題的運行約束通常包括發電機容量約束、斜坡率約束、功率平衡約束等［2］。

為了求解復雜DED問題，研究人員已經開發了各種優化方法，主要分為傳統數學方法和啟發式方法。傳統數學方法包括線性規劃［3］、二次規劃［4］等，該類方法只能近似處理具有非凸特征的DED問題，較難得到質量較高的可行解。為了高效地解決DED問題，啟發式算法逐漸受到了研究者們的青睞。文獻［5］應用鯨魚優化算法求解DED問題，算法模擬鯨魚的捕食行為包括包圍獵物、發泡網攻擊和搜索捕食行為特征。文獻［6］提出了一種改進的海洋捕食者算法，并將其應用于求解DED問題。改進的算法中，所有個體之間分享最佳經驗，仿真結果表明算法求解精度更高。文獻［7］提出了一種基于雙學習策略的自適應回溯搜索算法，該算法能夠提高解的精度并避免過早收斂。文獻［8］提出了一種求解DED問題的自適應混合回溯搜索算法，算法的核心思想是基于當前最優個體設計合適的耦合結構。文獻［9］提出了一種基于反重力的模糊引力搜索算法，算法在動態經濟調度問題中獲得了較好的優化結果。

近年來，隨著電動汽車數量的不斷增加，大規模電動汽車充電不協調的特性會對電網的安全造成威脅［10］。在實際生活中，EV充電也存在著不確定性。文獻［11］研究了一種包含電動汽車的動態經濟調度問題，綜合考慮了閥點效應、等式約束以及不等式約束。文獻［12］提出了多智能體模糊強化學習，滿足不同地區、不同用戶的可充電電動汽車的能源需求，同時提升能源調度的可靠性。文獻［13］應用黑寡婦優化算法，對電動汽車的EPRI、峰值、隨機、非峰值等多種充電策略解決調度成本小最小化問題。文獻［14］綜合考慮電動汽車和風力發電一體化，提出一種新穎的病毒優化算法，在風力發電機組和電動汽車白天和夜間存在的測試系統上，驗證了所提方法的有效性。

從已有文獻可以看出，開發高效算法來改善動態經濟調度問題的求解至關重要。本文討論的堆優化算法（heap-based optimizer，HBO）是一種十分高效的優化算法［15］。該方法在2020年提出，采用一種新型的樹型結構來模擬公司等級結構，較差的個體可以向優秀個體學習，確保迭代效率。此外，相比較其他的新型優化算法，HBO迭代方式是維度更新，不是直接更新個體，這種迭代方式尤其適合動態經濟調度問題。HBO已在測試函數和其他工程問題上被證明具有優異性能［16～18］，但是其性能需要進一步挖掘。

本文提出了一種改進算法RDHBO（HBO with region search and dual population interaction）求解含電動汽車的動態經濟調度（dynamic economic dispatch with electric vehicles，EVDED）問題，建立了包含充電汽車的動態經濟調度EVDED模型，設計了最優成員區域搜索策略和雙種群交互策略。

1 含電動汽車的EVDED模型

EVDED模型的主要目標是最小化發電總成本。因此，本文以發電成本最小化為優化目標，同時考慮實際生活中設備運行的各種約束。這些約束主要包括功率平衡約束、發電機容量、爬坡速率限制以及四種充電方案的限制。

1.1 優化目標

動態經濟調度通過控制發電機組的電力負荷，確保滿足電力需求的同時，使得發電總成本最小化。在實際生產中，多閥流輪機發電機中普遍存在閥門位置誤差。考慮閥門位置對成本的影響，目標函數中加入正弦函數，得到如下形式的目標函數：

min Fc=∑Tt=1∑Nu=1au+buPut+cuP2ut+|eusin（fu（Pminu-Put））|（1）

其中：N為發電機個數；T為調度周期內的總時段數；au、bu、cu為燃料成本系數；eu、fu為閥點系數；Pminu表示第u臺發電機的最小功率輸出；Fc為N臺發電機在T時段內的總燃料成本；Fut為t時段內第u臺發電機的燃料成本；Put表示第u臺發電機t時段的輸出功率。

1.2 約束條件

1.2.1 功率平衡約束

對于第t時段（t=1，2，…，T），如果考慮傳輸損耗的功率平衡約束，可以表示為

∑Nu=1Put=PDt+PLt t=1，2，…，T（2）

其中：PDt為t時段的電力需求；PLt為t時段內的傳輸損耗，可由式（3）求得。

PLt=∑Nu=1∑Nh=1PutBuhPht+∑Nu=1B0uPut+B00（3）

其中：Buh、B0u、B00為損失系數。如果忽略傳輸損耗的DED，式（2）可以改寫為

∑Nu=1Put=PDt t=1，2，…，T（4）

1.2.2 發電容量限制

對于每臺發電機，輸出功率受到上下限的限制，分別為

Pminu≤Put≤Pmaxu（5）

其中：Pminu和Pmaxu分別表示第u臺發電機的最小和最大輸出功率。

1.3 爬坡速率約束

在實際應用中，對于在間隔t內的第u臺發電機，每臺發電機的實際運行范圍都受到相應斜坡速率的限制，以避免對鍋爐和燃燒設備施加過大的壓力。可以被建模如下：

Pu（t-1）-Put≤DRuPut-Pu（t-1）≤URu（6）

其中：URu表示第u臺發電機的爬坡上升限制；DRu表示第u臺發電機的爬坡下降限制。

1.4 考慮電動汽車的功率需求

實際生活中，受每個用戶出行距離以及出行時間的影響，EV充電時間是不固定的，因此每小時充電效率都有所不同。式（2）可以更改為

∑Nu=1Put=PDt+PDev+PLt t=1，2，…，T（7）

其中：PDev表示第t時段內汽車的電力需求，由式（8）求得。

PDev=PDtotal×Proev（8）

其中：PDtotal表示電力總需求；Proev為表1中t時段內電動汽車充電的概率分布。

1.5 四種電動汽車充電方案

本文采用的四種不同的電動汽車充電場景來自文獻［19］，如表1所示，分別包括：a）電力研究院（Electric Power Research Institute，EPRI）提供的充電分布描述；b）OFFPEAK指的是非高峰時段進行充電；c）PEAK指的是高峰時段進行充電；d）STO假設電動汽車充電是隨機的。

以上是主流的四種充電場景，考慮多數人群的出行習慣，因此對這四種場景進行研究是合理的。

2 HBO算法改進

2.1 HBO算法

HBO［15］采用了一種三分支的樹型結構來模擬公司等級結構。如圖1所示。堆節點表示公司成員，每個成員都有且僅有一個直接領導，位于同一等級的成員稱之為同事。分支表示成員之間的支配關系。另外，通過計算成員適應度構建并更新堆結構。從圖1不難看出，成員X1是整個公司的當前最優成員。HBO涉及成員與直接領導之間的互動，成員與同事之間的互動，以及成員的自我貢獻三個方面的互動。

成員與其直接領導之間的互動可以用式（9）表示，每個成員向其領導學習。

Xji（g+1）=Bj+γλj|Bj-Xji（g）|（9）

其中：|*|表示絕對值；g表示當前迭代次數，g∈［1，G］，G表示最大迭代次數；j表示當前處理的維度索引，j∈［1，D］，D為搜索空間的總維度數；i表示當前處理的個體索引，i∈［1，M］，M為成員總數；Xi=（X1i，…，Xji，…，XDi）和B分別表示當前個體和當前個體直接領導的位置；λj可以由式（10）隨機生成。

λj=2r-1（10）

其中：r是［0，1］均勻分布的隨機數。另外，式（9）中的γ為

γ=|2-t modGCG4C|（11）

C=|G/25|（12）

其中：參數C是一個整數，可以調節算法性能。

此外，成員與同事之間的互動建模如式（13）所示，每個成員通過與其同事比較適應值，決定允許搜索的區域，如下所示。

Xji（g+1）=Sjr+γλj|Sjr-Xji（g）|f（Sr）<f（Xi）Xjr+γλj|Sjr-Xji（g）|f（Sr）≥f（Xi）（13）

其中：Sr表示隨機選擇的同事；f（Sr）表示同事的適應值；f（Xi）表示當前成員的適應值。員工的自我奉獻可以被建模為

Xji（g+1）=Xji（g）（14）

最后，使用式（15）計算累積概率p1、p2和p3后，通過輪盤賭來平衡勘探和開采。

p1=1-t/Tp2=p1+（1-p1）/2p3=p2+（1-p1）/2=1（15）

因此，HBO每個成員的一般更新機制如下：

Xji（g+1）=Xji（g）p≤p1Bj+γλj|Bj-Xji（g）|p1<p≤p2Sjr+γλj|Sjr-Xji（g）|p2<p≤p3&f（Sr）<f（Xi）Xji+γλj|Sjr-Xji（g）|p2<p≤p3&f（Sr）≥f（Xi）（16）

2.2 RDHBO算法

HBO算法具有優異的性能，但是仍存在許多的缺陷。例如，最優成員不參與搜索過程，最優成員會引領整個種群的進化，存在搜索效率慢的問題和成員與其他層的成員之間僅通過動態更新堆實現信息共享，信息交互少，存在多樣性不足的問題。本文設計了最優成員區域搜索策略和雙種群交互策略。前者引導最優成員移動到更有希望的區域，增強了算法前期的全局開發能力，提升了收斂精度和收斂速度；后者充分利用被淘汰的劣勢個體，豐富了種群的多樣性，提高了算法后期的局部搜索能力，避免陷入局部最優。

2.2.1 最優成員區域搜索策略

在一個企業中，最優成員的能力對企業的快速發展至關重要。由于HBO特殊的三元樹結構，最優成員缺乏自身的更新方程，導致搜索效率較差。所以，本節設計了最優成員區域搜索策略。最優成員區域搜索策略受啟發于文獻［20］，但文獻［20］通過更新較多精英解來探索大規模的搜索空間，需要較多的評價次數。與他們的做法不同，本文僅考慮最優成員。首先，區域搜索的核心思想是成員不再看做一個點，而是看做一個半徑為R的區域。如圖2（a）所示，實心點X1是最優成員的位置，X2、X3則是次最優成員的位置。X1執行區域搜索策略時，第j維生成公式如下所示。

Xnew，j1=Xj1+N（0，1）×R1if j==v or rand<pXj1otherwise（17）

其中：R1是此時最優成員的搜索半徑；j表示最高領導者當前正被擾動的維數，j∈［1，D］；v是一個隨機整數，v∈［1，D］；p取值為0.01。圖2解釋了執行一次區域搜索的過程，紅色實線代表最優成員執行區域搜索時的搜索方向，Rnew1表示更新后的搜索半徑，Xnew1表示成員的新位置。圖2（b）中，最優成員并未找到質量更好的解，意味著其已經處于一個較有希望的區域內。為了避免跳出這個有希望的區域，需要適當減小搜索半徑。圖2（c）中X1找到了更好的位置Xnew1，這意味著X1正在向更有希望的區域轉移，并且為了加快算法的收斂速度需要適當增大搜索半徑。搜索半徑的更新迭代公式如下：

Rnew1=R1×Kf（X1）<f（Xnew1）R1/Kf（Xnew1）<f（X1）（18）

其中：K是比例因子，取值0.5;f（Xnew1）表示新位置的適應值;f（X1）表示原來的適應值。搜索半徑上限約束公式如下：

R1，max=（X1，max-X1，min）10×G-g+1G（19）

其中：X1，max和X1，min分別表示成員X1的上下限。

另外，設計了一個隨著迭代次數動態調整的參數φ，φ控制執行區域搜索的次數，計算公式如下：

φ=ceil（5×（g/G））（20）

其中：ceil（*）表示對圓括號內的數值向上取整。

2.2.2 雙種群交互策略

在一個企業中，如果一個成員長時間沒有改進，就會失去職場活力，由于HBO獨特的樹狀結構，下屬學習的效果會逐漸減弱，這對企業的健康發展是不利的。為了避免這種情況的發生，本節受啟發于文獻［21］，提出了雙種群交互策略，分為公司擴建和成員替換兩個模塊。

1）公司擴建 公司擴建的核心思想是分析被淘汰的新成員，有機會將其添加到母公司中。為了不影響區域搜索的效果，子公司最大規模設置為（N1-1），成員活力閾值設置為L。

圖3（a）可以直觀地理解為公司擴建。左邊是母公司，右邊是子公司，虛線代表劣勢成員去向，best_notchange記錄最優成員沒有更換的次數。在母公司中，如果成員Xi搜索的新成員Xnewi沒有更優異，且best_notchange達到閾值L，則Xnewi被放入子公司中。例如，在圖3中，成員X39找到的新成員并不優異，但是因為best_notchange未到其閾值L，所以新成員不放入子公司中。X38找到的新成員同樣并不優異，但是假設此時best_notchange已經到了閾值，所以將被淘汰的新成員放入子公司的X41位置。后面的X37、X35同理。綜上所述，每次都需要分析被淘汰的新成員是否放入子公司中。每一輪迭代都會執行一遍公司擴建，右邊子公司幾乎所有的成員都會被刷新一遍，子公司的成員規模會逐漸飽和。

2）成員替換 成員替換的核心思想是找出母公司中失去職場活力的成員，并用子公司中的成員替換。通過分析成員的晉升情況來判斷成員的職場活力，從而選擇出活力最差的成員。圖3（b）可以直觀地理解為成員替換。紅色實線（參見電子版）部分代表子公司成員進入母公司的方向。例如，X41是公司擴建而來，包含了X38的相關信息，X40可以被X41替換。但是這樣可以促進彼此之間的信息交互。同樣地，子公司和母公司一樣保持著等級劃分。目的是確保母公司中階級高的成員被替換時選擇到的也是階級高的成員，可以確保領導能力不會喪失。成員的活力喪失值設計為

dv（Xi）=f（Xi）-f（Xbest）+0.1f（Xworst）-f（Xbest）+0.1×notChangei（21）

其中：常數0.1是為了避免因子為零;notChangei記錄成員Xi沒有變化的次數。如果dv（Xi）較大，則表示f（Xi）接近f（Xworst），或者成員Xi很長時間沒有變化。

基于以上描述，RDHBO算法的詳細步驟呈現在算法1中。算法前期，最優成員質量較差且子公司規模并未擴展開，因此前期以最優成員區域搜索為主；算法后期，最優成員基本靠近最優解，且母公司中成員陷入局部最優可能性較大，因此算法后期主要執行雙種群策略。

算法1 RDHBO算法

a） 初始化算法參數T、R、K、L、best_notchange、notChangei，母公司規模N1=40，子公司規模N2在0～39。

b）初始化成員適應度，根據適應度構建堆結構，定義全局最優成員為X1。

c）/********最優成員區域搜索***********/

使用式（20）計算區域搜索策略執行次數。

使用式（17）更新X1的位置。

d）如果新成員更優，則替換最優成員，并根據式（18）擴大搜索半徑R1；否則，根據式（18）減小搜索半徑R1，約束搜索半徑。

e）判斷區域搜索策略執行次數是否達到最大搜索次數。如果達到最大搜索次數，則跳轉步驟f），否則跳轉步驟c）。

f）/********基本堆優化算法***********/

令i=40，N2=0

g）找出成員Xi的直接領導并隨機挑選一個同事。

使用式（16）更新成員Xi的信息。

h）如果成員Xnewi適應度更好則替換成員Xi，且令notChangei=0，跳轉步驟j）；如果成員Xnewi適應度更差，則notChangei=notChangei+1，跳轉步驟i）。

i）/********種群擴建***********/

判斷best_notchange是否到了閾值L。

如果滿足條件，則把劣勢新成員放入子公司并且N2=N2+1；不滿足條件則不采取措施。

j）成員Xnewi與成員X1適應度進行比較。

如果成員Xnewi適應度好于X1，則best_notchange=0；否則best_notchange=best_notchange+1。

k）更新堆結構，并且notChangei需與Xi綁定。i=i-1，如果i遞減到2，則跳轉步驟l），否則跳轉步驟g）。

l）/********成員替換***********/

根據式（21）計算母公司中39個成員的退化值，并挑選出退化值最大的成員Xworst。

m）條件1：活力值是否達到了閾值K；條件2：替換的那個成員不是最優成員；條件3：子公司中存在對應的成員替換母公司成員。如果滿足上述條件，則進行成員替換。

n）令N2=N2-1，判斷N2是否縮減到0，如果沒有，跳轉步驟l）。

o）滿足迭代終止則停止運行，否則跳轉步驟c）。

RDHBO算法的應用流程如圖4所示。

3 實驗驗證分析

為了驗證RDHBO的優越性，本文選取七種算法作為對比算法，分別為HBO、TLBO（teaching-learning-based optimization）［22］、EO（equilibrium optimizer）［23］、DBO（dung beetle optimizer）［24］、TVACPSO（time varying acceleration coefficients particle swarm optimization）［25］、BBO（biogeography-based optimization）［26］、JADE（adaptive differential evolution）［27］。算法的參數設置列于表2。所有算法都在MATLAB 2019a上進行編碼。分別獨立運行30次，最大函數評價次數maxFES設置為250 000。為了使實驗數據更加可靠，使用均值（mean）、執行時間（time）、標準差（Std）、秩檢驗（sign）等指標。

3.1 考慮四種充電場景的10單元系統

本節研究的調度系統由10個發電機構成，考慮了傳輸損耗、爬坡約束以及EV。RDHBO與其他算法統計對比如表3所示。表中每種算法最優結果用粗體表示，不難發現：

a）RDHBO在最小、平均和最大成本上都取得了最優異的結果，分別是1 059 674.11 $、1 061 720.47 $和1 064 485.25 $。這表明RDHBO在求解精度方面遠遠超過其他算法；另外，運行速度最快的HBO求得的成本較RDHBO差了約5 000 $，因此RDHBO執行時間多了幾秒是可以接受的。

b）RDHBO的標準偏數值在所有算法中都是最佳的，表明RDHBO很穩定。

c）秩和檢驗的符號都是“+”，表明RDHBO明顯優于其他算法。

另外三種充電場景下算法對比如表4～6所示。

從表4～6可以發現以下結論：a）RDHBO在這三種場景下的最小值、平均值和最大值都優于其他算法，這表明RDHBO在求解精度方面遠遠超過其他算法；b）RDHBO在四種充電場景中平均成本分別為是1 061 720.7 $、1 062 440.5 $、1 060 573.0 $和1 062 313.9 $，OFFPEAK下發電成本最低，因此優先選擇非高峰狀態收費對發電廠收益最佳；c）雖然RDHBO的執行時間略高于其他算法，但差距并不大，觀察執行時間最短的算法JADE，其求解精度較RDHBO差了約8 000 $，因此，RDHBO的執行時間在可接受范圍內。

為了更直觀地觀察RDHBO的性能，算法的平均成本收斂曲線如圖5所示。采用形狀區分算法，本文算法用五角星表示，原HBO算法用菱形表示。

從圖5可以發現，所有算法在250 000次函數評價后均表現出優異的性能，但RDHBO在大約8 000次函數評價后求得的成本就已經超過了所有的算法，可見RDHBO準確性更高。另外，RDHBO最小值達到1.07E5 $時，只花費了十萬次評價次數，而其他的經典算法以及最新算法需要花費更多的評價次數才能達到此數值，可見RDHBO具備快速收斂的特性。此外，與HBO相比，RDHBO前期應用最優成員區域搜索，引導最優成員趨向更有希望的區域，可以更快地搜索到最優解，后期應用雙種群策略增加多樣性，防止成員陷入局部最優，避免浪費評價次數。可見資源利用方面RDHBO更勝一籌。

綜上所述，RDHBO迭代效率好于其他算法。四種充電方案下機組出力情況如圖6所示，顏色區分機組，每一列代表某一小時之內所有的十個機組的發電情況。

3.2 消融實驗

為進一步驗證最優成員區域搜索策略和雙種群交互策略的有效性，本節將RDHBO與三種算法進行對比分析：a）HBO算法：原始堆優化算法；b）RHBO：HBO只采用最優成員區域搜索；c）DHBO：HBO只采用雙種群交互策略。

將幾種充電方案下不同算法的成本表示在圖7中。形狀區分算法，顏色區分表示充電場景。分析圖7發現，兩種策略對HBO的改進都是有效的，并且兩個策略分別負責算法前期的全局搜索以及后期的局部搜索，兩者互不沖突，將兩個策略結合在一起可以相輔相成，發揮出更好的作用。

4 結束語

如今，電動汽車已經成為一種流行的交通工具。然而，隨著充電需求的增加，電網的經濟調度面臨著巨大的挑戰。模型考慮了實際情況下電動汽車充電的四種行為，并提出RDHBO算法來解決含電動汽車的EVDED問題。為了克服原HBO算法存在的一些缺陷，本文提出了一種最優成員區域搜索策略，用于更新最優成員，提高了RDHBO的收斂速度。此外，提出雙種群交互策略，分析被淘汰的劣勢成員，使其有可能在后面的迭代中被添加到種群中，提高了RDHBO的多樣性，避免算法陷入局部最優。結果表明，RDHBO在求解精度方面明顯優于其他算法。從消融實驗可知，本文提出的兩種策略對HBO的改進都是有效的。RDHBO可以作為解決含電動汽車的動態經濟調度問題的優秀方法。但是算法的性能仍然可以進一步提升。例如，可以改進本文提出的策略，進一步提高HBO的收斂速度和準確性。

參考文獻：

［1］陳海東，蒙飛，張越，等.基于生成對抗模仿學習的電力系統動態經濟調度［J］.電網技術，2022，46（11）：4373-4380.（Chen Hai-dong，Meng Fei，Zhang Yue，et al.Dynamic economic dispatch of power system based on generative adversarial imitation learning［J］.Power System Technology，2022，46（11）：433-4380.）

［2］Chen Junjie，Li Yan，Peng Guoqiang，et al.Conditional value-at-credibility for random fuzzy wind power in demand response integrated multi-period economic emission dispatch［J］.Applied Energy，2020，261：114337.

［3］Pan Shanshan，Jian Jinbao，Yang Linfeng.A hybrid MILP and IPM approach for dynamic economic dispatch with valve-point effects［J］.International Journal of Electrical Power & Energy Systems，2018，97：290-298.

［4］Mclarty D，Panossian N，Jabbari F，et al.Dynamic economic dispatch using complementary quadratic programming［J］.Energy，2019，166：755-764.

［5］許德剛，王再慶，郭奕欣，等.鯨魚優化算法研究綜述［J］.計算機應用研究，2023，40（2）：328-336.（Xu Degang，Wang Zaiqing，Guo Yixin，et al.Review of whale optimization algorithm［J］.Application Research of Computers，2023，40（2）：328-336.）

［6］Hassan M H，Yousri D，Kamel S，et al.A modified marine predators algorithm for solving single-and multi-objective combined economic emission dispatch problems［J］.Computers & Industrial Enginee-ring，2022，164：107906.

［7］Hu Zhongbo，Dai Caiyun，Su Qinghua.Adaptive backtracking search optimization algorithm with a dual-learning strategy for dynamic economic dispatch with valve-point effects［J］.Energy，2022，248：123558.

［8］Dai Caiyun，Hu Zhongbo，Su Qinghua.An adaptive hybrid backtrac-king search optimization algorithm for dynamic economic dispatch with valve-point effects［J］.Energy，2022，239：122461.

［9］Yu Xianrui，Zhao Qiuhong，Wang Tongyu，et al.An antigravity-based fuzzy gravitational search algorithm for economic dispatch problems［J］.Applied Soft Computing，2023，145：110630.

［10］周箏，龍華，李帥，等.時空需求下的電動汽車充電設施選址優化模型［J］.計算機應用研究，2023，40（9）：2633-2638，2645.（Zhou Zheng，Long Hua，Li Shuai，et al.Optimization model for location of electric vehicle charging station under spatial-temporal demand［J］.Application Research of Computers，2023，40（9）：2633-2638，2645.）

［11］Al-Bahrani L T，Horan B，Seyedmahmoudian M，et al.Dynamic economic emission dispatch with load demand management for the load demand of electric vehicles during crest shaving and valley filling in smart cities environment［J］.Energy，2020，195：116946.

［12］Navin N.A multiagent fuzzy reinforcement learning approach for economic power dispatch considering multiple plug-in electric vehicle loads［J］.Arabian Journal for Science and Engineering，2021，46（3）：1431-1449.

［13］Ahmed I，Rehan M，Basit A，et al.A dynamic optimal scheduling strategy for multi-charging scenarios of plug-in-electric vehicles over a smart grid［J］.IEEE Access，2023，11：28992-29008.

［14］Zou Yuwei，Zhao Junfeng，Ding Diankuan，et al.Solving dynamic economic and emission dispatch in power system integrated electric vehicle and wind turbine using multi-objective virus colony search algorithm［J］.Sustainable Cities and Society，2021，67：102722.

［15］Askari Q，Saeed M，Younas I.Heap-based optimizer inspired by corporate rank hierarchy for global optimization［J］.Expert Systems with Applications，2020，161：113702.

［16］Shaheen A M，El-Sehiemy R A，Elattar E，et al.An amalgamated heap and jellyfish optimizer for economic dispatch in combined heat and power systems including N-1 unit outages［J］.Energy，2022，246：123351.

［17］Zhang Xinming，Wen Shaochen.Heap-based optimizer based on three new updating strategies［J］.Expert Systems with Applications，2022，209：118222.

［18］張貝，閔華松，張新明.強化信息交流的堆優化算法及其機器人路徑規劃［J］.計算機應用研究，2022，39（10）：2935-2942.（Zhang Bei，Min Huasong，Zhang Xinming.Information interchange streng-thened heap-based optimizer and its application to robot path planning［J］.Application Research of Computers，2022，39（10）：2935-2942.）

［19］Ma Haiping，Yang Zhile，You Pengcheng，et al.Multi-objective biogeo-graphy-based optimization for dynamic economic emission load dispatch considering plug-in electric vehicles charging［J］.Energy，2017，135：101-111.

［20］Jian Junrong，Chen Zonggan，Zhan Zhihui，et al.Region encoding helps evolutionary computation evolve faster：a new solution encoding scheme in particle swarm for large-scale optimization［J］.IEEE Trans on Evolutionary Computation，2021，25（4）：779-793.

［21］Zhang Xin，Zhan Zhihui，Zhang Jun.Adaptive population differential evolution with dual control strategy for large-scale global optimization problems［C］//Proc of IEEE Congress on Evolutionary Computation.Piscataway，NJ：IEEE Press，2020：1-7.

［22］劉三陽，靳安釗.求解約束優化問題的協同進化教與學優化算法［J］.自動化學報，2018，44（9）：1690-1697.（Liu Sanyang，Jin Anzhao.A co-evolutionary teaching-learning-based optimization algorithm for constrained optimization problems［J］.Acta Automatica Sinica，2018，44（9）：1690-1697.）

［23］Faramarzi A，Heidarinejad M，Stephens B，et al.Equilibrium optimizer：a novel optimization algorithm［J］.Knowledge-Based Systems，2020，191：105190.

［24］Xue Jiankai，Shen Bo.Dung beetle optimizer：a new meta-heuristic algorithm for global optimization［J］.The Journal of Supercompu-ting，2023，79（7）：7305-7336.

［25］Ratnaweera A，Halgamuge S K，Watson H C.Self-organizing hierarchical particle swarm optimizer with time-varying acceleration coefficients［J］.IEEE Trans on Evolutionary Computation，2004，8（3）：240-255.

［26］梁遠升，陳禮昕，李海鋒，等.基于二次變異改進生物地理學優化算法的限流器配置方法［J］.電力系統自動化，2020，44（1）：183-191.（Liang Yuansheng，Chen Lixin，Li Haifeng，et al.Configuration method for fault current limiter based on improved biogeography-based optimization algorithm with second mutation［J］.Automation of Electric Power Systems，2020，44（1）：183-191.）

［27］Zhang Jianqiao，Sanderson A C.JADE：adaptive differential evolution with optional external archive［J］.IEEE Trans on Evolutionary Computation，2009，13（5）：945-958.