當包含遇上排除：陸小豆的數學奇旅

10月1日 星期二

今天我和爸爸媽媽來到了美麗的南京。我們計劃游覽著名的“金陵十八景”。南京是一個歷史悠久的城市，有許多名勝古跡。聽說“金陵十八景”每一處都很美麗，我迫不及待地想要開始這次旅行。

媽媽是個旅游達人，她的手機相冊里收藏著許多金陵十八景的照片，她自豪地說已經征服了十二景。而爸爸，雖然工作繁忙，但也曾多次因公事造訪南京，但具體去過幾景，他卻記不清了。我們的旅游地圖上“金陵十八景”都被打上了勾，說明十八景每一處都去過了，但是有五處畫了兩個勾，說明兩人都去過了。

我問爸爸，他到底去過幾景，他卻笑著說：“小豆啊，你不是數學高手嗎？你自己算算看。”

這下子，我傻眼了，這怎么算？

正當我抓耳撓腮之際，學霸精靈突然出現在我的腦海里，它就像一個智慧的小燈泡，照亮了我的思緒。“小豆，別忘了，這里有個數學問題叫作容斥問題，也叫‘包含與排除’，它能幫你解決這個謎題。”學霸精靈溫柔地提醒我。

“包含與排除？”我重復了一遍，腦海中迅速回想起學霸精靈曾經教我的知識。

學霸精靈提醒道：“可以利用圖形幫助思考。”

“A是媽媽去過的景點，B是爸爸去過的景點，A∩B為爸爸媽媽都去過的景點。

“‘包含與排除’是一種數學方法，用來計算兩個集合的元素總數。比如在這里，你可以把媽媽去過的景點看作一個集合，爸爸去過的景點看作另一個集合。我們要計算爸爸去過的景點數，可以用這個公式：

“爸爸去過的景點數＝總景點數－媽媽去過的景點數＋他們一起去過的景點數。

“具體來說就是：爸爸去過的景點數＝18－12＋5。”

我拿起筆，寫下了這個公式，開始計算：

18－12＋5＝11

“原來爸爸去過11處景點！”我興奮地叫了起來。

我興奮地把這個結果告訴了爸爸，他驚喜地笑了：“看來我的小豆不僅是數學高手，也是個偵探高手啊！”全家人都被逗笑了，而我，則在心里默默感謝學霸精靈，因為它不僅幫我解決了問題，更讓我在游玩中體驗到了數學的樂趣。

今天的南京之行，不僅是一次文化之旅，更是一次數學與智慧的探險。我學會了用數學的眼光去看世界，也更加珍惜與家人共度的時光。明天，我們將繼續我們的金陵十八景之旅，而我，將會帶著滿滿的自信和好奇心，迎接新的挑戰。

陸小豆

在解包含與排除問題時，要善于使用形象的圖示幫助理解題意，搞清數量之間的邏輯關系。

難度：

在一群小朋友中，有12人看過動畫片《汪汪隊立大功》，有21人看過動畫片《哪吒之魔童降世》，并且有8人兩部動畫片都看過。請問：至少看過其中一部的小朋友有多少人？

25人。

方法一：畫文氏圖：

圓A表示看過《汪汪隊立大功》的人，圓B表示看過《哪吒之魔童降世》的人，這樣②是兩個都看過的人，有8人。

有12人看過《汪汪隊立大功》，①②共12人；有21人看過《哪吒之魔童降世》，②③共21人；

只看過《哪吒之魔童降世》的人是③，它有21－8＝13人。

因此，①②③加起來共有12＋13＝25人。

方法二：根據容斥原理，得12＋21－8＝25人。

難度：

在一個由30人組成的合唱隊中，每個人都愛喝紅茶、綠茶、花茶中的一種或者幾種。其中有10個人愛喝紅茶，12個人不愛喝紅茶卻愛喝綠茶。請問：只愛喝花茶的有多少人？

8人。

畫文氏圖：

要求只愛喝花茶的有多少人，也就是求⑦有多少人。

不愛喝紅茶的人由⑤⑥⑦組成，因為有10個人愛喝紅茶，所以⑤⑥⑦共20人。

不愛喝紅茶但愛喝綠茶的人是⑤⑥，一共12人，這樣便可直接求出⑦有8人，因此只愛喝花茶的有8人。

難度：

唐僧西天取經共經歷了81難，其中單獨渡過了3難，與孫悟空一起渡過了77難，與豬八戒一起渡過了65難，與沙和尚一起渡過了62難，同時與孫悟空和豬八戒一起渡過了64難，同時與孫悟空和沙和尚一起渡過了61難，同時與豬八戒和沙和尚一起渡過了60難，請問：師徒四人共同渡過的有多少難？

59難。

至少有一個徒弟參與的難有81－3＝78個，根據容斥原理有：

78＝77＋65＋62－64－61－60＋四人共同渡過的難。

因此師徒四人共同渡過的有78－19＝59難。

難度：

五年級一班有22人參加語文競賽，32人參加數學競賽，27人參加英語競賽，其中同時參加語文競賽和數學競賽的有12人，同時參加語文競賽和英語競賽的有14人，同時參加數學競賽和英語競賽的有15人。請問：五年級一班參加競賽的總人數最少是多少？

44人。

根據容斥原理：

參加競賽的人數＝22＋32＋27－12－14－15＋三科都參加的人數＝40＋三科都參加的人數。

所以問題轉化為求至少有多少人三科都參加。畫文氏圖：

對參加語文競賽的人來說，還參加其他競賽的人數是12＋14－④，它顯然不能多于22人，所以④至少要有4人。

如果參加三科競賽的人數是4的話，有：

此時參加競賽的人數最少，為44人。

難度：

一根1.8米長的木棍，從左端開始每隔2厘米劃一個刻度，每隔3厘米劃一個刻度，每隔5厘米劃一個刻度，每隔7厘米劃一個刻度，如果按刻度把木棍截斷，一共可以截成多少段小木棍？

139段。

此題可轉化成求在1～180中，有多少個數是2，3，5或7的倍數。

其中2的倍數有90個，3的倍數有60個，5的倍數有36個，7的倍數有25個。

同時是2，3倍數的有30個，同時是2，5倍數的有18個，同時是2，7倍數的有12個，同時是3，5倍數的有12個，同時是3，7倍數的有8個，同時是5，7倍數的有5個。

同時是2，3，5倍數的有6個，同時是2，3，7倍數的有4個，同時是2，5，7倍數的有2個，同時是3，5，7倍數的有1個。

同時是2，3，5，7倍數的有0個。

根據容斥原理，一共可截成（90+60+36+25）－（30+18+12+12+8+5）+（6+4+2+1）－0＝139段。

“包含與排除”的應用

“包含與排除”是一種基本的數學原理，它們真的很重要，不信你看！

拍照識物：神奇的視覺魔法

當你用手機拍照識物的時候，手機就像一個掃描儀，可以將照片中的圖像轉化成數字信息。然后，人工智能技術就會利用這些數字信息，與數據庫中的大量圖像進行匹配。在這個過程中，人工智能會先將所有可能出現的物品“包含”在匹配范圍內，然后根據圖像特征逐一進行“排除”，最終找到與照片中物品最相似的圖像，從而識別出物品的種類。

自動駕駛：無人車背后的聰明大腦

自動駕駛汽車的傳感器會實時采集周圍環境的信息，包括道路、車輛、行人等。然后，自動駕駛系統的智能決策系統會利用這些信息進行分析，做出行駛規劃。在這個過程中，智能決策系統會先將所有可能的行駛路徑“包含”在規劃范圍內，然后根據交通規則、安全因素等進行“排除”，最終找到最安全、合理的行駛路徑。

語音識別：聲音中的密碼

當你用語音助手控制智能設備時，語音助手會先將你的語音轉化成數字信號，然后利用語音識別技術進行分析。在這個過程中，語音識別技術會先將所有可能出現的詞語“包含”在匹配范圍內，然后根據語音特征逐一進行“排除”，最終找到與你的語音最相似的詞語，從而理解你的語音指令。