基于四維混沌系統的彩色圖像加密算法

摘 要：圖像加密算法研究在確保圖像信息安全方面至關重要，圖像中包含的信息量較大，相鄰像素間存在較強的關聯性，在傳輸過程中容易造成信息泄露。為了打破圖像相鄰像素間較強的關聯性以及提高抗攻擊性，提出了基于四維混沌系統DNA編碼的彩色圖像加密算法。采用四維混沌系統模型產生混沌序列，利用產生的混沌序列和DNA編碼等方法對加密圖像進行置亂處理，最后對圖像加密效果和抗攻擊性能進行對比驗證。仿真結果表明，通過該算法對圖像加密后，相鄰像素間的關聯性大大削弱。相較于對比算法，該算法能夠對彩色明文圖像進行有效的加密，同時算法具備抵御干擾和攻擊的能力，顯著提高了圖像的安全性，在彩色圖像加密領域具有一定的發展前景。

關鍵詞：圖像加密；四維混沌系統；DNA編碼；抗攻擊性

中圖分類號：TP301.6 文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2024）15-0142-08

Colour Image Encryption Algorithm Based on 4D Chaotic System

ZHANG Chenglong， ZHANG Chaoxia， LIU Qianwei

（School of Mechatronic Engineering and Automation， Foshan University， Foshan 528225， China）

Abstract： The research on image encryption algorithms is crucial in ensuring image information security. Images contain a large amount of information， and there is strong correlation between adjacent pixels， which can easily cause information leakage during transmission. In order to break the strong correlation between adjacent pixels in images and improve their resistance to attacks， a color image encryption algorithm based on 4D chaotic system DNA encoding is proposed. It uses a 4D chaotic system model to generate chaotic sequences， the encrypted images are scrambled using the generated chaotic sequences and DNA encoding methods. Finally， the image encryption effect and anti-attack capability are compared and verified. The simulation results show that after encrypting the image by using this algorithm， the correlation between adjacent pixels is greatly weakened. Compared to comparative algorithms， this algorithm can effectively encrypt color plaintext images， and has the ability to resist interference and attacks， significantly improving the security of images. It has certain development prospects in the field of color image encryption.

Keywords： image encryption; 4D chaotic system; DNA coding; anti-attack capability

0 引 言

隨著互聯網的快速發展，人們有了更加便捷的信息交流方式，圖像作為一種信息載體，其在我們的日常交流中占據著重要地位。同時用戶在使用過程中又面臨一系列的信息安全問題，例如圖像信息在互聯網中傳輸時怎么保證圖像信息的安全。截至目前，多媒體通信領域已采用信息隱藏、圖像加密、數字簽名、認證、篡改[1-2]等加密技術。數字圖像作為一種重要的信息載體，有效保護其中的信息尤為重要，而解決這一問題的關鍵就是對圖像進行加密存儲與傳輸。因此，數字圖像傳輸和存儲過程中的信息安全問題也越來越受到廣大群眾的關注。

由于圖像的固有特性，傳統加密方法（如國際數據加密算法（IDEA））不能應用于圖像信息加密。由一組非線性確定性動力學方程所描述的混沌系統的特性與密碼學設計的兩個基本原理（擴散和混淆）有關。因此，混沌系統在圖像加密中得到了廣泛的應用[3-5]。其中，混沌系統的加密方法有兩種，分別為一維混沌加密和多維混沌加密。一維混沌映射結構簡單，易于實現，且生成混沌序列所需的時間較短。但它也有一些缺點[6-9]，如混沌行為的范圍很小，李雅普諾夫指數很低。同時因為混沌系統具有錯綜復雜的相空間和偽隨機性等特點，可以用來修改圖像的像素位置和像素數值，從而使混沌加密技術在圖像加密中得以廣泛使用。基于混沌理論的圖像加密還能延伸到變換域，例如常見的傅里葉變換、小波變換等。而將變換域加密與空域加密相結合，能進一步增強加密算法的抗攻擊性[10-11]。通過變換域加密的圖像在解密時都要進行逆變換操作，而經逆變換得到的解密圖像相較于原始圖像會有一定的信息損失，考慮到人眼對圖像失真有比較高的容錯性，所以在某些情形下有損的圖像加密是可以被接受的。

近年來的研究發現，DNA編碼由于可以同時操作圖像的像素位置和像素值，在圖像加密領域得到了廣泛的應用。DNA序列的排列組合并不是唯一的，同時DNA序列還存在著數據存儲密度大等優點，因此混沌系統結合DNA編碼技術是一個不錯的選擇。目前國內外許多研究者提出將混沌系統和DNA編碼兩種方法合二為一的圖像加密算法[12]。Wang [13]提出一種基于雙混沌和DNA編碼技術的圖像加密方法。Zhang [14]提出一種基于超混沌和DNA序列的圖像加密方法。這些加密方法具有良好的安全性，在圖像加密領域得到廣泛的應用。因此將混沌系統與DNA編碼技術相結合的方案在優化圖像加密性能方面是切實可行的。

本文提出一種基于四維混沌系統的彩色圖像加密算法，通過實驗數據分析得出，本文加密算法具有良好的安全性能，使用場景也比較廣泛。

1 基本理論

1.1 小波變換

這里采用Mallet算法對大小為512×512的原始灰度圖像I進行第一次小波變換分解，經過第一次小波變換分解后得到4個大小為256×256的子塊圖像，分別為低頻近似分量LL、水平高頻細節分量HL、垂直高頻細節分量LH及對角高頻細節分量HH，其中低頻信號存儲著原文圖像的主要信息。因此，可以對低頻部分多次應用小波變換，將L1分解為L2，H2，將L2分解為L3，H3，…，依此類推，可以獲得多個層次上的信號分量。本文對原始圖像進行兩次小波變換，圖1為二級小波變換示意圖。

在本文中，采用二維連續小波變換的方法。二維連續小波變換表達式如式（1）所示：

（1）

1.2 DNA基本理論

在生物學中，每條DNA分子鏈都會包含A、C、G、T四種核酸堿基，按照配對規則A與T配對，C與G配對[15]。A、C、G、T四個堿基編碼分別采用00、01、10、11的方式進行DNA編碼，根據這種編碼組合方式組合的結果有24種，其中符合Watson-Crick規則的僅有8種，編碼組合如表1所示。

1.3 DNA運算規則

對于滿足DNA編碼規則的這8種編碼方式，每種編碼方式都有自己的運算規則，分別是加法、減法、同或、異或四種DNA編碼運算規則。本文定義的DNA運算規則如式（2）所示：

（2）

當a = 0時，取用DNA的加運算；當a = 1時，取用DNA的減運算；當a = 2時，取用DNA的異或運算；當a = 3時，取用DNA的同或運算。表2和表3分別介紹了DNA編碼的4種運算規則。

1.4 Logistics映射

Logistic混沌映射是加密體系中最常用到的一個系統，同時它也是一種經典的一維混沌映射，起源于蟲口模型，其表達式如式（3）所示：

（3）

其中，μ為分支參數，Xn為得到的混沌序列。研究表明，當μ ∈ [3.569 945 627 4]時，序列Xn處于混沌狀態[16]。

1.5 Zigzag變換

Zigzag變換[17]是一種常用置亂方法，其本質是元素之間的互換。Zigzag變換即從矩陣左上角開始按“之”字形對矩陣中的每一個元素進行遍歷，按照遍歷元素的順序排列成一個一維矩陣，隨后按一定的規則將一維矩陣轉變為二維矩陣。同理，采用Zigzag的反變換規則進行Zigzag反置亂，即可將Zigzag置亂后的矩陣復原。Zigzag變換過程以5×4的矩陣為例，變換過程如圖2所示。

2 混沌系統

四維混沌系統方程如式（4）所示：

（4）

其中，a = 20，b = 80，c = 10，d = 560，e = 5，f = 0.5，g = 0.1。

2.1 Lyapunov指數分析

新構造的四維系統是否具有混沌特性，主要通過Lyapunov指數的計算來分析。當系統參數a = 20，b = 80，c = 10，d = 560，e = 5，f = 0.5，g = 0.1時，該系統的Lyapunov指數如圖3所示。從圖3中可以看出，有一個正的Lyapunov指數，為0.467，有一個為零的Lyapunov指數，有兩個負的Lyapunov指數，分別為-0.206和-15.255，因此該系統處于混沌狀態。

2.2 平衡點分析

令 = = = = 0，即：

（5）

（6）

2.3 四維混沌系統的相圖

當系統參數為a = 20，b = 80，c = 10，d = 560，e = 5，f = 0.5，g = 0.1時，系統產生的四維相圖如圖4所示。

3 基于四維混沌模型的圖像加密算法

總體加密方案圖如圖5所示，該方案將彩色數字圖像分為RGB三個二維矩陣，對每個二維碼矩陣進行兩次小波變換，隨后分塊進行DNA編碼和運算，利用四維混沌系統方程生成隨機序列進行DNA編碼，加密后進行Zigzag置亂，最后合并三個通道得到彩色加密圖像。

詳細的加密步驟如下：

1）按照式（7）將彩色圖像I分為R、G、B三個二維矩陣，稱為I1、I2、I3。

（7）

2）將I1、I2、I3三個二維矩陣進行兩次小波變換。

（8）

其中，I1_CA_2為第一次小波變換的低頻部分，主要信息都集中在低頻段，可以再次對低頻段進行小波變換，這里將以廣泛應用的哈爾小波作為小波基。

3）設定初值X0和參數μ。根據式（3）對Logistic映射連續迭代得到序列{ki}，其中μ設定為3.999 9，作為加密時的密鑰之一。由此可獲得混沌序列，初值X0根據式（9）產生：

（9）

4）按式（10）將序列{Ki}轉換為與I1大小相同的M×N二維矩陣，并將矩陣的值轉化為0至255的范圍內進行DNA運算：

（10）

5）設定好初值和參數后，利用MATLAB內置的龍格-庫塔函數ode45計算四維混沌系統的初值，得到四個長度均為（M×N） / t2的序列{Xi}、{Yi}、{Zi}、{Hi}。四維混沌系統的四個初值X（0）、Y（0）、Z（0）、H（0）由式（11）計算得出：

（11）

6）DNA編碼共有8種方式，因此需要將序列{Xi}和序列{Yi}的值轉化為1至8范圍內的整數。按式（12）將{Xi}和{Yi}序列進行轉化：

（12）

轉化后的序列{Xi}的值為1到8之間的隨機整數，I1、I2、I3中第i個子塊的DNA編碼方式為Xi，混沌矩陣R中第i個子塊的DNA編碼方式為Yi。

7）本算法中共采用四種DNA運算法則，所以需要按式（13）將序列{Zi}進行變換，轉化為0到3范圍內的整數：

（13）

8）對經過DNA運算后的矩陣分塊進行DNA解碼。DNA解碼過程實則為DNA編碼的逆過程，DNA解碼即將A、G、C、T解碼成具體的數值，同時DNA解碼規則仍然是由序列{Hi}決定的。

9）獲得兩個Logistic混沌序列。其中，μ統一設定為3.999 9，兩個初值X01和X02根據式（14）產生：

（14）

其中，X01為待加密圖像R通道與B通道的灰度平均值，X02為G通道與B通道的灰度平均值，X01和X02的值隨圖像而變化，因此作為此加密算法的密鑰。

10）根據式（15）將經過DNA解碼后的I1、I2、I3三個二維矩陣進行Zigzag置亂。此步驟主要是提升密文圖像抗裁剪攻擊的能力。

（15）

11）將經過Zigzag置換的三個二維矩陣合并為一個三維矩陣，得到密文圖像。

4 實驗測試

實驗選取Lena和Pepper兩幅彩色圖像進行測試驗證，大小均為512×512，加解密圖像效果如圖6所示。

5 安全性分析

5.1 密鑰空間分析

密鑰空間的大小是評價一個圖像加密算法性能的重要因素之一。本文使用了Logistic混沌系統和四維混沌系統，混沌系統的初值用精確到小數點后15位的浮點數表示，其中μ、X0，系統參數a、b、c、d、e、f、g及四維混沌系統參數X（0）、Y（0）、Z（0）、H（0）作為密鑰，此加密算法的密鑰容量為10195。如果一種圖像加密算法的密鑰空間大于2100，那么它就是安全的[18]。本算法的密鑰空間遠大于2100，因此本算法足夠安全。

5.2 直方圖分析

在圖像直方圖當中，直方圖的縱坐標趨勢越平坦，表示整個圖像的像素值分布越均勻[19]。因此我們可以通過直方圖清楚了解加密前后圖像像素值的分布情況。圖7分別是Lena和Pepper明文圖像加密前后R通道直方圖。

5.3 信息熵分析

信息熵反映一個系統中信息的混亂程度[20]，計算式如式（16）所示：

（16）

其中，p（mi）為圖像當中灰度值所占比例，L為圖像的灰度級。灰度圖像其信息熵的理論計算最大值為8。本文中采用Lena圖像作為實驗圖像，本文圖像加密后的信息熵與文獻資料[12，21，22]加密后圖像的信息熵進行對比，結果如表4所示。由表5可知該算法能夠有效地對圖像信息進行打亂，具有良好的加密效果。

5.4 抗差分攻擊能力分析

差分攻擊是通過輸入不同數據來查看對輸出影響的攻擊，一個合格的加密算法需要能抵御差分攻擊。抵御差分攻擊的能力主要是通過像素變化率（NPCR）和歸一化平均變化強度（UACI）這兩個性能指標來判斷[21]，計算式如式（17）、式（18）所示：

（17）

（18）

其中，M、N分別為圖像矩陣D的行和列，K1（i，j）為原始圖像改變一個像素點加密后密文的像素值，K2（i，j）為原始圖像加密后密文的像素值。本文將原始圖像的第一個像素減1，得到一個改變后的圖像，再對改變后的圖像進行加密。隨后再對原始圖像進行加密，這樣就得到兩個密文圖像并對它們進行測試。NPCR和UACI的數值越大，說明原始圖像與解密后圖像的差異越大。從表5可以看出，相比于其他文獻的NPCR和UACI性能指標，本文算法的密鑰敏感性更強，能夠有效抵御差分攻擊。因此提出的加密算法具有良好的密鑰敏感性。

5.5 相鄰位置數據值關聯性分析

圖像相鄰位置像素值往往與抗攻擊性能有著密切關系，通常來說，圖像相鄰位置關聯性越強，則其抵御攻擊的能力就越弱[18]。本文按照式（19）至式（22）對明密文圖像的水平、垂直和對角線三個方向的相關性系數ruv進行計算：

（19）

（20）

（21）

（22）

其中，u和v為相鄰位置的數據值，N為所取像素點對數5 000，E（u）為N個像素點的平均值，D（u）為N個像素點的方差，Cov（u，v）為相關函數，ruv為隨機變量u和v的相關系數，其絕對值越大，表示關聯性越強。表6為Lena原始圖像與密文圖像三個通道相鄰位置之間關聯性的數據值對比。

可以看出，原始圖像三個通道的相關性系數都趨近于1，表明其相鄰位置的關聯性很大，而經過本文的加密算法后相鄰位置關聯性接近于0。通過與文獻中的數據對比，經過本文算法加密的圖像效果更好一些。

通過圖8中6張相關性系數點圖可以看出，明文圖像三個通道水平相鄰位置的數據值關聯性都很強，數據點分布呈線性關系。而密文圖像水平相鄰位置數據值之間的關聯性幾乎為0，數據點分布完全隨機，說明此加密算法完全改變和打亂了原圖的像素點數值和位置，擁有較強的抗攻擊能力。

5.6 抗剪切能力分析

當密文圖像在傳輸過程中受到裁剪攻擊時，需要盡可能保留圖像當中的基本信息。這里將在Lena的密文圖像當中剪掉一塊大小為50×50的區域，隨后對經過裁剪的密文圖像進行解密。從圖9中可以看出，雖然經過解密后原始圖像部分像素值發生丟失，但它依然能還原原始圖像的基本信息，說明該加密算法具有一定的抗剪切能力。

5.7 抗噪聲能力分析

在圖像的傳播過程中常常會受到通道噪聲的影響。本文對加密后的Lena密文圖像分別加入0.05和0.15的椒鹽噪聲來模擬傳輸過程受到干擾的情形。從圖10中可以看出，雖然密文圖像受到椒鹽噪聲的干擾導致部分像素值發生了改變，但通過解密依然能還原圖像的基本信息，因此本算法具有一定的抗噪聲能力。

6 結 論

針對目前圖像加密算法存在的不足，以改善圖像加密效果為目標，提出一種基于四維混沌系統的彩色數字圖像加密算法，并與經典的圖像加密算法進行對比。通過實驗得到加密算法加密前后的直方圖、信息熵、相鄰像素之間相關性等一系列圖像評價指標，表明引入四維混沌系統模型能對圖像進行有效的置亂處理，擴大密鑰空間，大幅減弱原始圖像和加密后圖像之間的相關性，進而能夠抵抗幾種常見的攻擊。同時該算法簡單易用，加解密時間短，滿足圖像安全性分析的實時性需要，表明本文的加密算法可應用到彩色圖像的加密。

參考文獻：

[1] PAK C，HUANG L L. A New Color Image Encryption Using Combination of the 1D Chaotic Map [J].Signal Processing，2017，138：129-137.

[2] ZENATI A，OUARDA W，ALIMI A M. A New Digital Steganography System Based on Hiding Online Signature within Document Image Data in YUV Color Space [J].Multimedia Tools and Applications，2021，80：1-24.

[3] HAO J，MOU J，XIONG L，et al. A Novel Color Image Encryption Algorithm Based on the Fractional Order Laser Chaotic System and the DNA Mutation Principle [J/OL].Multimedia Tools and Applications，2022，81（1）[2023-11-16].https：//www.researchgate.net/publication/354597060_A_novel_color_image_encryption_algorithm_based_on_the_fractional_order_laser_chaotic_system_and_the_DNA_mutation_principle.

[4] HAMDI M，MIRI J，MOALLA B. Hybrid Encryption Algorithm （HEA） Based on Chaotic System [J].Soft Computing，2020，25（3）：1847-1858.

[5] MUSANNA F，DANGWAL D，KUMAR S. Novel Image Encryption Algorithm Using Fractional Chaos and Cellular Neural Network [J].Journal of Ambient Intelligence and Humanizd Computing，2022，13：2205-2226.

[6] YANG T，YANG L B. Breaking Chaotic Switching Using Generalized Synchronization： Examples [J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I： Fundamental Theory and Applications，1998，45（10）：1062-1067.

[7] AKHSHANI A，AKHAVAN A，LIM S C，et al. An Image Encryption Scheme Based on Quantum Logistic Map [J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17（12）：4653-4661.

[8] WANG B，WEI X P，ZHANG Q. Cryptanalysis of an Image Cryptosystem Based on Logistic Map [J].Optik，2013，124（14）：1773-1776.

[9] NKANDEU Y P K N，PONE J R M，TIEDEU A. Image Encryption Algorithm Based on Synchronized Parallel Diffusion and New Combinations of 1D Discrete Maps [J/OL].Sensing and Imaging，2020，21（1）[2023-11-09].https：//link.springer.com/article/10.1007/s11220-020-00318-y.

[10] ZHANG X，YE R S. A Novel RGB Image Encryption Algorithm Based on DNA Sequences and Chaos [J].Multimedia Tools and Applications，2021，80：8809-8833.

[11] CHAI X L，GAN Z H，CHEN Y R，et al. A Visually Secure Image Encryption Scheme Based on Compressive Sensing [J].Signal Processing，2017，134：35-51.

[12] 楊吉云，吳昊.基于混沌系統和動態DNA編碼與運算的彩色圖像加密算法 [J].計算機工程，2018，44（2）：151-157.

[13] WANG X Y，GAO S. Image Encryption Algorithm for Synchronously Updating Boolean Networks Based on Matrix Semi-tensor Product Theory [J].Information Sciences，2020，507：16-36.

[14] ZHANG X，YE R S. A Novel RGB Image Encryption Algorithm Based on DNA Sequences and Chaos [J].Multimedia Tools and ApU59Muhp4jLIx3b8wr0AVNDeAvDQ5RxS7+0MxLAUPb04=plications，2020，80（6）：8809-8833.

[15] 杜鑫昌，高瑜翔，曹遠杰，等.基于混沌壓縮感知和DNA編碼的多圖像加密算法 [J].無線電工程，2022，52（3）：476-483.

[16] 韋丞婧，李國東.結合超混沌系統和Logistic映射的視頻圖像加密算法 [J].計算機工程，2022，48（5）：263-271.

[17] 劉艮，蔣天發，蔣巍.一種基于Zigzag變換的彩色圖像置亂算法 [J].計算機工程與科學，2013，35（5）：106-111.

[18] 莊志本，李軍，劉靜漪，等.基于新的五維多環多翼超混沌系統的圖像加密算法[J].物理學報，2020，69（4）：50-63.

[19] 司宇晨，滕琳，孟娟.隨機彈射結合DNA編碼的圖像加密算法 [J].軟件導刊，2021，20（8）：185-190.

[20] 鄧文博，劉帥，劉福才，等.基于壓縮感知和DNA編碼的圖像加密算法 [J].計算機工程與科學，2022，44（9）：1574-1582.

[21] 張淑霞，李珊珊，白牡丹，等.基于混沌系統的數字彩色圖像加密技術 [J].科學技術與工程，2022，22（13）：5291-5298.

[22] 張賽男，李千目.一種基于Logistic-Sine-Cosine映射的彩色圖像加密算法 [J].計算機科學，2022，49（1）：353-358.

[23] REHMAN A U，LIAO X F，ASHRAF R，et al. A Color Image Encryption Technique Using Exclusive-OR with DNA Complementary Rules Based on Chaos Theory and SHA-2 [J].Optik，2018，159：348-367.

[24] WANG X Y，ZHANG H L，BAO X M. Color Image Encryption Scheme Using CML and DNA Sequence Operations [J].Biosystems，2016，144：18-26.

[25] KADIR A，AILI M，SATTAR M. Color Image Encryption Scheme Using Coupled Hyper Chaotic System with Multiple Impulse Injections [J].Optik，2017，129：231-238.

作者簡介：張成龍（1997—），男，漢族，廣東茂名人，碩士研究生在讀，研究方向：計算機圖像處理；通訊作者：張朝霞（1976—），女，漢族，廣東佛山人，副教授，博士，研究方向：計算機圖像處理；劉芊偉（2000—），男，漢族，江西上饒人，碩士研究生在讀，研究方向：計算機圖像處理。