經歷抽象過程　發展推理能力

有人問我。為什么要學習數學？其實，簡單地說就是學會用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界．

從數到式，是數學發展的重要階段，學習代數式、整式的加減運算，需要深刻領會整式形成的過程，在規律的把握中，體會整式恒等變形的內在規律．

一、發展符號意識，提升抽象能力

實際問題中包含著一些數量和數量關系，可以用數學式子簡明地表達，例如：一個長方形的長和寬分別是a，b，這個長方形的周長L是多少？由長方形的周長公式，可得周長L=2（a+b），對于2（a+b）這個式子，顯然是用運算符號把數或表示數的字母連接起來的，我們稱這樣的式子為代數式．

在解決一些數學問題與實際問題時，往往需要先把問題中的數量關系用含有數、字母和運算符號的式子表示出來，也就是要列代數式．而同一個代數式可以表示不同實際問題中的數量或數量關系．例如，代數式100-2x可以表示哪些不同實際問題中的數量或數量關系？我們可以這樣思考：如果x元是一件某商品的價格．那么式子100-2x表示用100元買2件該商品還剩的錢數：如果。表示每天讀書的頁數，那么式子100-2x可以表示1本100頁的書讀了2天后剩余的頁數．因此，我們要在現實情境中理解符號表示的意義，解釋代數式的具體含義．

二、解決實際問題，提升推理能為

我們來看這樣一個問題：用火柴棍擺成一排由三角形組成的圖形（如圖1所示）．如果圖形中擺出了n個三角形，那么需要多少根火柴棍？

下面是幾位同學的答案，我們一起來分析他們思考的過程．

A同學：如下頁圖2所示，整個圖案由上層、中間層和底層三部分組成，當圖形中擺出了幾個三角形時，上層與底層的火柴棍的根數之和就是三角形的總個數n，而中間層的火柴棍的根數是三角形的總個數n加1．所以，共需要（n+n+1）根火柴棍．

B同學：如下頁圖2，擺出1個三角形，一共需要火柴棍1+2=3（根）；擺出2個三角形，一共需要火柴棍1+2×2=5（根）；擺出3個三角形，一共需要火柴棍1+2×3=7（根）……所以，如果擺出幾個三角形，一共需要（1+2n）根火柴棍．

C同學：如圖2，當擺出1個三角形時，需要3根火柴棍；當擺出2個三角形時，需要火柴棍3×2=6（根），但是，有一邊是重合的，所以，要拿走火柴棍2-1=1（根），也就是一共用了火柴棍3×2-（2-1）=5（根）；當擺出3個三角形時，需要火柴棍3×3=9（根），但是，有兩邊是重合的，所以，要拿走火柴棍3-1=2（根），也就是一共用了火柴棍3×3-（3-1）=7（根）……當擺出幾個三角形時，需要[3n-（n-1）]根火柴棍．

D同學：當擺出1個三角形時，需要3根火柴棍；當擺出2個三角形時，在3根的基礎上加上2根火柴棍，即3+2=5（根）；當擺出3個三角形時，在3根的基礎上加上2×2根火柴棍，即3+2×2=7（根）……因此，當擺出n個三角形時，需要[3+2（n-1）]根火柴棍．

同樣的問題，為什么會有不同的答案呢？誰的答案才是正確的呢？接下來我們進行解釋說明．

考慮到字母n取值的任意性，我們來驗證一下（參見表1）．

從表1中我們可以發現，無論n取什么值，四個整式的結果總是相同的，那么，四位同學的答案是否都正確呢？也就是說，四位同學所得的式子是否都相等呢？

這是我們的猜想！而且這個猜想是合理的（起碼就我們驗證的數字來說，是對的）．可以發現，在四個式子中，1+2n是最簡單的，計算起來也最簡捷．

猜想1：n+n+1=2n+1．

思考過程：我們可以將這個多項式中相同的項“加”在一起，即n+n=2n，因而，n+n+1=2n+1是有道理的．

猜想2：3n-（n-1）=2n+1．

思考過程：如果這個等式成立，那么必然有n-（n-1）=1，也就是說，-（n-1）等于-n+1．換句話說，去掉括號前的負號和括號，括號內的各項的符號都要改變．

猜想3：2（n-1）+3=2n+1．

思考過程：如果這個等式成立，那么必然有2（n-1）=2n-2，也就是說，去掉括號，括號內的各項都要同時乘括號前的數．

通過解決上述問題，分析三個猜想，我們實際上“發現”了去括號法則和合并同類項法則——盡管這兩個法則是規定！在解決上面問題的過程中，我們發現，此規定是合理的，否則，就會出問題．

試一試

1．（2024年貴州）計算2a+3a的結果，正確的是（ ）．

A.5a B.6a

C.5a2 D.6a2

2．（2024年蘇州）若a=b+2，則（b-a）2=____.

參考答案：

1.A

2.4