用類比學習求解數列遞推關系求通項問題

類比是人認識世界的一種重要方法，亦是誘導人們學習新事物、進行創造性思維的重要手段.高中數學中就有許多類比學習的內容，如平面向量與空間向量、圓錐曲線（橢圓、雙曲線和拋物線）、等差數列與等比數列等，并且類比思想貫徹整個高中數學始終.由此可見，在高中數學解題中能否用好類比學習對提高解題能力十分重要.下面以數列遞推關系求通項為例闡述.

一、an+1=Aan+f（n）（A≠1）型

我們知道，對于an+1=an+f（n）（其中f（n）前n項和可求）型遞推關系可以用累加求和的方法求出通項公式an，那么an+1=Aan+f（n）怎么求呢？不妨從簡單情況開始，然后類比學習求解.

1.an+1=Aan+B型

不難知道an+1=Aan+B一定可以化成an+1+C=A（an+C）形式，根據an+1=Aan+（A－1）C=Aan+B得（A－1）C=B，于是C=BA－1，所以an+1+BA－1an+BA－1=A，從而知數列an+BA－1是首項為a1+BA－1、公比為A的等比數列，故an+BA－1=a1+BA－1）·An－1，則an=a1+BA－1）·An－1－BA－1.

2. an+1=Aan+Bn+C型

類比an+1=Aan+B型化成an+1+C=A（an+C）形式求通項思路，可以合情推理an+1=Aan+Bn+C型遞推關系化成an+1+Dn+1+E=A（an+Dn+E）形式，根據an+1=Aan+AD－Dn+A－1E－D=Aan+Bn+C得AD－D=B，A－1E－D=C，解得D=BA－1，E=A－1C+B（A－1）2，

所以an+1+BA－1n+A－1C+AB（A－1）2an+BA－1n+A－1C+B（A－1）2=A，從而知數列

an+BA－1n+A－1C+B（A－1）2是首項為

a1+A－1C+AB（A－1）2、公比為A的等比數列，

故an+BA－1n+A－1C+B（A－1）2=a1+A－1C+AB（A－1）2）·An－1，

則an=a1+A－1C+AB（A－1）2）·An－1－BA－1n－A－1C+B（A－1）2.

3. an+1=Aan+Bn2+Cn+D型

有了前面兩種類型解決經驗，該類型很容易進行以下類比：因為an+1+En+12+Fn+1+G=A（an+En2+Fn+G）形式，根據an+1=Aan+AE－En2+AF－2E－Fn+AG－E－F－G=Aan+Bn2+Cn+D得

AE－E=B，AF－2E－F=C，AG－E－F－G=D，

解得E=BA－1，F=A－1C+2BA－12，G=A－1C+A+1B+A－12DA－13，所以

an+1+BA－1（n+1）2+A－1C+2BA－12（n+1）+A－1C+A+1B+A－12DA－13an+BA－1n2+A－1C+2BA－12n+A－1C+A+1B+A－12DA－13=A，從而知數列{an+BA－1n2+A－1C+2BA－12n+

A－1C+A+1B+A－12DA－13}是首項為a1+

A－1AC+3AB－B+（B+D）（A－1）2（A－1）3、公比為A的等比數列，故an+BA－1n2+A－1C+2BA－12n+

A－1C+A+1B+A－12DA－13

=a1+A－1AC+3AB－B+（B+D）（A－1）2（A－1）3）·An－1，

則an=a1+A－1AC+3AB－B+（B+D）（A－1）2（A－1）3）·An－1－BA－1n2－A－1C+2BA－12n－A－1C+A+1B+A－12DA－13.

4.an+1=Aan+Ban型

很自然會進行以下類比：an+1+C·an+1=A（an+C·an），于是an+1=Aan+（AC－aC）an=Aan+B·an，則AC－aC=B.

當A≠a時，C=BA－a，此時an+1+BA－a·an+1an+BA－a·an=A，所以數列{an+BA－a·an}是首項為a1+BaA－a、公比為A的等比數列，則an+BA－a·an=a1+BaA－a）·An－1，即an=a1+BaA－a）·An－1－BA－a·an.

當A=a時，不存在C使等式AC－aC=B成立，該如何求解呢？

因為an+1an+1=Aan+Banan+1=anan+Ba，則an+1an+1－anan=Ba，于是知數列anan是首項為a1a、公差為Ba的等差數列，故anan=a1a+（n－1）Ba，所以an=a1·an－1+B（n－1）·an－1.

從上述論述可以歸納得，對于an+1=Aan+f（n）（A≠1）型遞推關系求通項問題，我們可以構造一個與f（n）同類型的一般式g（n）使等式an+1+g（n+1）=A（an+g（n））成立，然后用待定系數法確定g（n）表達式，這樣就可以通過等比數列{an+gn}通項求得數列an通項.

例1.已知數列an滿足a1=1，

（1）若an+1=2an+1，則an=；

（2）an+1=2an+n+1，則an=；

（3）an+1=2an+n2+n+1，則an=；

（4）an+1=2an+3n，則an=；

解析：（1）因為an+1+1=2an+1），所以數列{an+1}是首項為a1+1=2、公比為2的等比數列，故an+1=2×2n－1，則an=2n－1；

（2）因為an+1+（n+1）+2=2an+n+2），所以數列an+n+2}是首項為a1+1+2=4、公比為2的等比數列，故an+n+2=4×2n－1，則an=2n+1－n－2；

（3）因為an+1+（n+1）2+3（n+1）+5=2an+n2+3n+5），所以數列an+n2+3n+5}是首項為a1+1+3+5=10、公比為2的等比數列，故an+n2+3n+5=10×2n－1，則an=5·2n－n2－3n－5；

（4）因為an+1－3n+1=2an－3n），所以數列an－3n}是首項為a1－31=－2、公比為2的等比數列，故an－3n=－2×2n－1，則an=3n－2n.

二、an+1=Aan+BCan+D型

1. an+1=AanCan+D型

該類型解答的思路是兩邊取倒數，即1an+1=Can+DAan=DA·1an+CA.當A=D時，1an+1－1an=CA，數列1an是等差數列，故1an=1a1+（n－1）·CA于是不難解得an通項公式.當A≠D時，數列1an遞推關系成為1.1類型，于是亦可求得an通項公式.于是對于an+1=Aan+BCan+D型我們也類比上述解答過程，即兩邊取倒數得1an+1=Can+DAan+B，沒有達到2.1類型的解答效果.問題在哪里呢？我們繼續看下面類型.

2. an+1+1=Aan+ACan+D型

兩邊取倒數1an+1+1=Can+DAan+A=CA·an+DCan+1=CADC－1an+1+1=D－CA·1an+1+CA，這樣地話問題就轉換成為數列1an+1是1.1類型了，于是就可以通過求1an+1通項公式而得到an通項公式.為什么類型2.1與類型2.2可以取倒數求通項公式但類型2不可以取倒數求通項公式呢？原因在哪？仔細觀察類型2.1與類型2.2結構，可以發現等式左邊與等式右邊分子具有完全相同的結構特征（2.1是an+1與Aan、2.2是an+1+1與Aan+A），于是如果能將an+1=Aan+BCan+D也化成具有類似結構特征的等式也就可以取倒數求解了，那么如何做可以達到呢？

3.an+1=Aan+BCan+D型

我們可以用待定系數法的方法達到如前所述要求，如果an+1+λ=Aan+BCan+D+λ=A+λCan+B+λDCan+D（）符合類型2.2結構特征，那么1λ=A+λCB+λD，Cλ2+A－Dλ－B=0，當關于λ的一元二次方程有解時，能夠解出λ的值（可能一個也可能兩個），則代入（*）式后便可以成為類型2.2.

例2 .已知數列an滿足a1=2，an+1=3an－1an+1，若x表示不超過x的最大整數，則a10=.

解析：因為an+1－1=3an－1an+1－1=2（an－1）an+1，所以1an+1－1=an+12（an－1）=1an－1+12，所以數列1an－1是首項為1a1－1=1、公差為12的等差數列，故1an－1=1+n－1·12=n+12，所以an=2n+1+1，于是，當n2時，1<an<2，則an=1，故a10=1.

類比學習不僅是一項非常重要的數學解題思路，更是學習數學的作用之一，在平時的解題中應該有意識的去應用.

【作者簡介：中學高級教師，主要從事高中數學教學與解題研究，在各省市刊物發表文章數百篇，人大全文轉載4篇】

責任編輯 徐國堅