基于神經網絡與早至波的波方程反演

摘 要：針對傳統波方程全波形反演步驟繁瑣、計算量大和難度高等問題，提出一種基于全連接神經網絡的早至波反演方法。實驗結果表明，所提方法在早至波反演中交并比IoU（Intersection over Union）和平均精度均值mAP（mean Average Precision）分別達到74.01%和73.72%，可對速度模型進行有效重構。

關鍵詞：波方程;早至波;神經網絡;反演;交并比;平均精度均值

中圖分類號：P631.4 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2024）30-0040-04

Abstract： Aiming at the problems of tedious steps， large amount of calculation and high difficulty in the full waveform inversion of traditional wave equation， a method for early-arrival wave inversion based on fully connected neural network is proposed. Experimental results show that the proposed method achieves 74.01% and 73.72% in the Intersection over Union（IoU） and mean Average Precision（mAP） of early-arrival wave inversion， which can effectively reconstruct the velocity model.

Keywords： wave equation; early arrival wave; neural network; inversion; Intersection over Urion; mean Average Precision

波方程主要描述自然界中的各種波動現象，求解一維波動方程的一般步驟是將其轉化為一個簡單的常微分方程或特殊的偏微分方程，然后通過求解該方程得到波動解析表達式。我們通過有限差分法求解以下波動方程[1]進行數值正演得到仿真波形數據集

▽P=-ρ

P=-ρc2▽u+Src（z，t） ， （1）

式中：z代表豎直方向的一維空間變量，t為時間項，P=P（z，t）為壓強，作為常規空間梯度算子，u（z，t）代表豎直方向上的位移，ρ=ρ（z）為壓強場密度分布，c=c（z）代表速度場，Src代表激發振動源項。

相較于正演，傳統波方程反演的具體公式較為復雜，其本質框架是對以下殘差平方和目標函數J的優化[2]

J=||dcalc-dobs||2 ， （2）

式中：dcalc代表通過反演計算得到的速度場數據，dobs代表原始速度場數據。搭建神經網絡實現反演，意義在于使用神經網絡去替代反演的過程，減少計算難度和時間。

1 方法

訓練神經網絡反演波方程一般根據早至波或初至走時，張利振等[3]提出的根據初至走時反演地層速度求解非線性地震走時問題以及Tarantola[4]提出的基于最小二乘法的全波形反演理論對波形反演起到了很大的推進作用，通過早至波進行反演也已經擁有了一定研究基礎[5]。甚至也有相關研究[6]將早至波和初至走時聯合反演。本文將利用早至波信息，完成基于早至波的波形反演。

近年來，深度學習在圖像識別、語音處理等領域得到成功應用，為地震速度建模提供了新的方法[7-11]，例如U-Net神經網絡、生成對抗神經網絡和全卷積神經網絡等都對該領域的研究提供便利。然而，當前可獲取地震數據集較少，構建豐富且具有復雜特征的地震速度模型是當前深度學習速度建模的一大挑戰。本文使用已搭建好的地震波仿真器依據一定的速度場計算得出地震早至波的早至壓強，避免真實數據中噪聲對神經網絡訓練的干擾，使訓練更加理想化。

神經網絡的具體優化方式為反向傳播，是訓練神經網絡最有效且最常用的方法[12-14]：訓練過程中神經網絡的輸出結果與實際結果會產生誤差，計算過程輸出與實際輸出之間的誤差，并將該誤差從輸出層向隱藏層直至輸入層反向傳播[15]

wl→wl-η∑x δl（al-1）T

bl→bl-η∑x δl， （3）

式中：wl表示第l層權重，al-1表示第l-1層輸出，δl表示第l層誤差，bl表示第l層偏置，η表示學習率，“→”表示對內部參數的更新。

本文計算不同速度場的波方程得出縱深-時間的時空壓強場數組，對于速度場而言：由長度為2 000 ft的縱深上的速度值構成速度場;對于壓強場而言：每一列代表縱軸上某一個接收器在不同時間上的壓強大小，共有30列，每一行代表某個時間點上不同接收點處的壓強大小，根據波傳導到最深處的時間行數會有所變化，約在1 000行以內，且早至拾取完畢的時刻也會根據速度場的變化而變化，假定每0.01 s進行一次壓強快照，接收點獲取一次壓強值。

神經網絡模型以地震早至波的早至壓強作為輸入標簽，速度場作為輸出標簽，通過兩層隱藏層將地震數據由（z，t）域映射到速度模型（z，c）域，并在訓練過程中不斷更新隱藏層的權重w和偏置b，以達到使反演速度場貼近于真實速度場的目的。該過程可以用如下公式表示

θ（w，b）=argmin[θ（d）-v] ， （4）

式中：θ表示神經網絡計算，w表示神經網絡訓練過程中的權重，b表示神經網絡訓練過程中的偏置，d表示地震早至波數據，θ（d）表示預測速度場，v表示真實速度場。

使用網格搜索的方式進行超參數調優，在訓練過程中不斷優化得到適合該網絡模型的超參數：學習率為0.01，迭代次數為256次，每批次加載64組數據。輸入層神經元數量為30，代表由30個接收器接收到的早至波壓強，兩層隱藏神經元數量分別為300和1 000，輸出層神經元數量為2 000，代表波傳導的深度為2 000 ft。使用FCN神經網絡處理回歸問題最常用的ReLU函數作為激活函數，用于引入非線性因素，使得神經網絡能夠擬合復雜的非線性關系。損失函數則使用普適的均方差損失函數。

具體方法的流程如圖1所示。

數據選取：計算不同速度場的波方程得出縱深-時間的時空數組，拾取每一列上的早至壓強數據。

輸入層：輸入層神經元數量為30，代表由30個接收器接收到的早至波壓強，將64批次的早至波向量構成的混淆矩陣作為神經網絡的輸入。

隱藏層：設置兩層隱藏層神經元，數量分別為300和1 000，可以有效且平穩地從輸入層30個神經元傳播到輸出層2 000個神經元。在訓練過程中不斷計算梯度和更新神經元層之間的偏置與權重，實現誤差的反向傳播。

輸出層：輸出層神經元數量為2 000，代表波傳導的深度為2 000 ft，以64批次的真實速度場作為輸出。

反演對比：將神經網絡反演出的速度場與真實速度場進行對比，觀察神經網絡是否能準確反演波方程。

2 數據來源和選取

有限差分法有計算迅速、精度較高、易在計算機上實現的優點，故使用此方法求解波方程，對速度場進行正演，得到其數值解，使用傳統STA/LTA方法拾取早至波壓強，在理想的低信噪比環境下快速且簡易[16]，最終將早至波壓強場與真實速度場構成的數據對作為神經網絡的訓練標簽，劃分80%的訓練標簽用于訓練，20%的訓練標簽用于測試。

神經網絡的訓練結果很大程度上依賴數據集規模，不合適的數據集往往會造成以下問題。

當數據量過多，模型可能會過度擬合訓練數據，過度學習訓練數據中的噪聲和特定的樣本特征，而忽略了一般化的模式。這導致模型在未見過的數據上表現不佳。

過少的數據集模型可能無法捕捉到數據的復雜結構和泛化模式，導致模型在訓練數據和測試數據上都表現不佳，從而無法在真實反演中推廣到新數據上。

不合理的數據集需要更多的計算資源進行訓練，包括更多的內存、更長的訓練時間和更高的計算成本。本文通過多次實驗，最終選定數據集大小為1 280組，其次限制所有類型速度場的范圍為[1 219.2 m/s，2 743.2 m/s]，速度場層數為4層。本文仿真了上述速度場類型，在此基礎上對速度場求解波方程的到壓強場。圖2展示了其中2種速度場類型對應的壓強場的求取過程。

3 結果

3.1 神經網絡訓練結果與分析

如圖3所示，可以看到通過輸入早至波反演出速度場，將真實速度場與反演速度場進行對比，顯示了該方法可以精細刻畫層狀速度場，整體而言較為接近真實速度場，反演效果較好，但加入小范圍凹陷后，其并不能有效刻畫凹陷處速度場，KnI/SPfLCXzvEwHxSknstA==對于凹陷處速度場反演并不夠充分，精確度有待提高。

3.2 模型評估

使用常見回歸模型評價指標，包括交并比IoU（Intersection over Union）、平均精度AP（Average Precision）和平均精度均值mAP（mean Average Precision）。這些指標統稱為測試誤差，是測試集的預測值和真實值的統計量通過多方位標準評估該神經網絡的泛化能力和預測高效性。將速度場與x軸形成的區域視為待預測物體，可得出本模型訓練集平均IoU約為0.98，測試集平均IoU約為0.74，故將IoU閾值設定為0.8，IoU≥0.8的測試用例視為正確預測，將模型轉換為分類任務，畫出精準率-召回率PR（Precision-Recall）曲線、計算方波狀速度場和階梯狀速度場情況下的AP和總的mAP。

PR曲線與坐標軸圍成的面積是用于評估分類模型優劣的常用方法，圖4表明本模型PR曲線較為理想，且表1中2種分類AP值波動不大且得出平均值mAP符合預期，這說明本文神經網絡具有一定泛化能力，在測試范圍內預測精確性較高。

但是本模型依然存在一定的局限性：在選取數據集時，選定速度場為層狀速度場，且規定速度場的層數和范圍，這使本神經網絡反演其他類型的速度場時效果不佳。其次，對于現實世界中的地震波而言，速度場不可避免會存在一定塌陷[17]，即小范圍孤立異常體，在后續神經網絡的優化中，可針對這一問題進行進一步研究。

4 結論

本文通過神經網絡研究了面向早至波的波方程反演方法。神經網絡訓練結果顯示，早至波神經網絡反演方法可以精確地刻畫層狀速度場，具有一定反演精度。隨機訓練過程對相同層狀速度模型的建模結果顯示，模型預測精度不具有隨機性，是比較穩定的，并且花費較少的時間成本和運算成本[18]。但在現實世界的地震波或者其他應用場景中，需要獲取足夠數量且具有不同特征的數據集，以提高神經網絡的的泛化能力和應用范圍。

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基金項目：江蘇省大學生創新創業訓練計劃項目（202310293095Y，202210293098Y）

*通信作者：余瀚（1984-），男，博士，副教授。研究方向為反演成像、機器學習。