對主題探究課的教學實踐與思考

一、問題背景

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）指出，“日常教學活動評價，要以教學目標的達成為依據.［1］” “用導數探究三次函數的圖象與性質”是北師大版新教材（2019版）的新增內容，是繼“正方體截面的探究”之后又一個數學探究活動.對于探究課的教學一直是一線教師的薄弱點，而李多猛老師的這節公開課教學，讓聽課老師眼睛一亮，達成了“教-學-評”一致性，具有良好的示范作用.

二、課時目標分析

教材通過用導數研究二次函數的圖象和性質的過程，引導學生通過類比的得到三次函數的圖象和性質，進而拓展到用導數探究其他類型的函數性質.讓學生經歷從具體到抽象、由特殊到一般的探究方式，體驗建構數學知識的思維過程，讓學生在探究的過程中積累基本活動經驗，并能利用這一活動經驗去探究一類數學問題，發展學生的邏輯思維能力和數學應用能力，旨在培養學生的數學思維、解決問題的能力、拓展數學視野和合作精神，激發學生的學習興趣，促進學生全面發展.

三、學情學法分析

學生已經熟練掌握了二次函數的圖象與性質，能利用導數工具探究一些函數的簡單性質，因此具備一定的學習基礎.在探究三次函數的過程中，需要學生具備一定的觀察、歸納、推理能力，教師要在教學中的難點處、關鍵處進行適度點撥，采用問題引導、小組合作等方式進行探究和分析.

四、主要教學過程

1. 教學子目標1：會用導數研究二次函數的性質

問題1 對于二次函數fx=ax2+bx+ca≠0，能否利用導數得到二次函數的性質？

設計意圖：類比用導數探究二次函數的性質，引出課題，不僅從方法上給了引導，讓學生能夠獲得基本的活動探究思路，同時明確活動探究的主要工具——導數，突出了導數的作用.另外，先用導數研究二次函數的單調性，再由單調性確定二次函數的極值，也為接下來畫出三次函數圖象奠定知識基礎.

目標達成分析、評價：問題的設置有利于學生順利解決，大部分學生都能分析出二次函數fx=ax2+bx+ca>0圖象與它的導數一次函數f′x=2ax+ba>0之間關系，獲得滿滿的成就感，自信心溢于言表，這種積極地情感體驗有助于解決三次函數的相關問題，達成了子目標1.

2. 教學子目標2：掌握三次函數圖象的畫法分類

問題2 三次函數fx=ax3+bx2+cx+da≠0的導數f′x=3ax2+2bx+ca≠0是一個二次函數，那么，a與判別式Δ=4b2－3ac的正負對三次函數的圖象有什么影響？

設計意圖：三次函數的分類標準和依據是本節課的教學難點之一，根據函數單調性與導數符號的關系，引導學生將三次函數的分類等價轉化對其導數的分類，順利突破教學難點.分組開展活動探究，使學生積累基本的活動經驗；鼓勵、展示、點評學生的作圖，及時肯定學生對三次函數圖象的初步認知，同時為下面利用信息技術探究三次函數的系數a，b，c，d的變化對三次函數的圖象和性質的影響建立認知基礎.

目標達成分析、評價：利用問題1的解決思路，學生畫出f′x=3ax2+2bx+ca≠0的圖象，有較為清晰地邏輯推理，知道導數的正負會影響原函數的單調性，從而判斷出導函數的分類情況，進而對三次函數的圖象給與分類討論.根據小組學生的匯報情況，表現良好，表明子目標2順利達成.

3. 教學子目標3：理解三次函數的系數對圖象的影響

問題3 我們知道二次函數的系數變化會影響二次函數的圖象與性質，那么三次函數fx=ax3+bx2+cx+da≠0的系數a，b，c，d的變化是如何影響三次函數的圖象和性質呢？下面我們通過幾何畫板加以探究.

師生活動：利用幾何畫板畫出三次函數fx=ax3+bx2+cx+da≠0的圖象，系數a，b，c，d的取值可以動態連續變化.

問題4 哪個系數不會對三次函數的形狀（即單調性）有影響？當系數a變化時，三次函數圖象有何特征？當系數a>0不變，系數b，c分別變化時，三次函數圖象有何特征？

（讓學生類比二次函數做出猜想之后，教師用幾何畫板演示驗證.）

當系數a<0時，請同學們類比a>0猜想一下三次函數圖象特征？

設計意圖：在分組畫圖探究的基礎上，指導學生操作幾何畫板動態演示三次函數的圖象因系數的變化而變化，為學生分析、研究三次函數的圖象和性質提供直觀，借助信息技術嘗試轉變數學課堂教與學的傳統方式，突出利用信息技術優化課堂教學.在引導學生經歷觀察發現、猜想求證、歸納總結的探究過程中，感悟三次函數的本質，形成基本活動經驗，幫助學生提升直觀想象、數學抽象等數學核心素養.

目標達成分析、評價：學生能根據幾何畫板的變化規律，直觀領略出三次函數的主要特征，如系數d不影響三次函數的形狀即不影響三次函數的單調性；當a>0時，三次函數圖象從左下彎到右上；當a<0時，三次函數圖象從左上彎到右下.特別地，一同學總結出：當系數a>0，判別式Δ>0時，函數存在一個單調遞減區間和兩個單調遞增區間、一個極大值點和一個極小值點，且當Δ增大時，兩個極值點之間的距離增大，當Δ減小時，兩個極值點之間的距離減小；當系數a>0，判別式Δ≤0時，函數不存在遞減區間，在定義域上是增函數.這說明在教師的引導下，學生已準確地匯報出結果，表明已經達成了教學子目標3.

4教學子目標4：理解三次函數圖象的對稱中心

問題5 我們知道二次函數的圖象有對稱軸，那三次函數的圖象有沒有對稱性呢？函數y=ax3+cxa≠0的對稱中心什么？把它在坐標平面內進行左右、上下平移，會得到什么形式的函數？三次函數圖象的對稱中心的橫坐標與導函數f′x=3ax2+2bx+ca≠0的極值點（也是最值點）有什么關系？你能否利用導數加以解釋？

設計意圖：知其然，更要知其所以然.根據導數幾何意義，結合導函數的圖象關于直線x=－b3a對稱，揭示三次函數圖象的對稱中心的本質，促進學生對三次函數對稱性的深入理解.

目標達成分析、評價：在學生嘗試用待定系數法將任意一個三次函數轉化成y=ax－m3+cx－m+na≠0時，學生遇到了的困難，各小組沒能得出三次函數y=ax3+bx2+cx+d的圖象的對稱中心是－b3a，f－b3a的結論.最后，李老師用PPT展示了這一結論的推導過程，表明這一目標達成度不夠，問題的設置上仍有改進的空間.

五、教學啟示

《標準》指出：通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗［1］（簡稱“四基”）. 在探究的過程中，利用問題導向學習，始終以教學目標為靶向，在課堂上把每一個小目標都逐步達成后，自然也就達成了本節課的課時目標.教學的每個環節，都要把教師的“教”、學生的“學”以及“評”緊密結合，衡量達成“教-學-評”一致性的標志就是看是否實現教學目標.鑒于此，對探究課的教學還需要做好以下工作：

1.處理好數學的科學形態與教育形態之間的關系

科學形態是指科學知識的本質和特點，而教育形態是指利用教育的目的、方法和手段來獲取知識.本節教學中，三次函數的圖象和性質是科學形態，利用問題引導、小組合作等手段是教育形態，目的是讓學生理解、掌握三次函數的性質.在教學中，我們需要將科學形態與教育形態結合起來，使學生在學習科學知識的同時，也能夠掌握科學的思維方式和方法.這種結合不僅可以更好地促進學生對科學知識的掌握，還可以提高學生的創新能力和解決問題的能力，從而為未來的科技發展做出更大的貢獻.

2.處理好過程與結果之間的關系

數學教育不僅僅是為了讓學生掌握科學知識，更重要的是培養學生的科學思維和創新能力.三次函數的探究是過程，性質是結果，過程是獲取結果的必要條件，這個過程不僅可以使學生更深入地理解三次函數的概念和特點，更重要的是可以培養他們的科Ux5VPDlCfq1xa85W37QtUA==學思維和創新能力.因此，只有通過實踐探索，學生才能深入理解科學知識，并且從中獲得創新思維和解決問題的能力.

3.處理好直接經驗與間接經驗之間的關系

直接經驗是指學生親身體驗和感受到的事物，而間接經驗則是通過教材、圖片、計算機等途徑獲取的知識.在教學中，學生通過繪制三次函數圖象來獲得直接經驗，并通過觀察圖象的形狀和變化規律來理解三次函數的性質.教師引導學生利用幾何畫板軟件模擬三次函數圖象，通過手動調整參數來觀察三次函數圖象的變化，加深對其特征的理解，從而增加學生的間接經驗.因此，直接經驗和間接經驗都是科學教育中不可或缺的部分，需要注重兩者的結合，既注重直接經驗的積累和應用，又不忽視間接經驗的作用，讓學生通過多種途徑獲得科學知識，提高其科學素養.

綜上，無論是教師的教、學生的學以及對學生學習的評價，需要協調一致，教學有效的唯一證據在于目標的達成，在于學生學習結果的質量，在于何以證明學生學會了什么［2］.利用《標準》中的“三個處理好”，實施數學探究活動能夠激發學生利用原有的知識和經驗解決新問題的興趣，能夠幫助學生生成基本活動經驗，并能夠利用這一活動經驗去探討一類數學問題，實現“教-學-評”一致性，達到培養學生數學核心素養的目標.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：35，94，8.

［2］崔允漷，夏雪梅. “教-學-評”一致性”：意義與含義［J］.中小學管理，2013（1）：5.