探索問題解決思路 提升邏輯推理素養(yǎng)

邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的基本方式之一，體現(xiàn)了建構(gòu)和推演數(shù)學(xué)以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題的方法特征. ［1］《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將邏輯推理作為六大核心素養(yǎng)之一．邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)，主要表現(xiàn)為：掌握推理基本形式和規(guī)則，發(fā)現(xiàn)問題和提出命題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達(dá)與交流.［2］ 可見邏輯推理不同于解題思路，邏輯推理素養(yǎng)不僅僅是掌握問題解決中的推理形式與規(guī)則，更要求學(xué)生運(yùn)用一定的推理方法和手段，從多角度分析問題、提出命題，探索問題解決思路及準(zhǔn)確表述答題過程.

面對(duì)數(shù)學(xué)問題，很多學(xué)生常因其思路新穎、運(yùn)算繁雜等特點(diǎn)而表現(xiàn)平平. 表面上，學(xué)生是缺少解題方向，畏難心理嚴(yán)重，缺少克難毅力；實(shí)際上，學(xué)生是“算得多，想得少”，答題比較“莽撞”，缺少探索問題解決思路的理念與方法.本質(zhì)上，學(xué)生是邏輯推理素養(yǎng)欠缺，在分析問題的過程中沒有推理意識(shí)和方法，在比較復(fù)雜的條件中無法把握知識(shí)結(jié)構(gòu)、不會(huì)合理地提出問題，在解決問題過程中缺少不斷探索問題解決思路的高要求.

1 試題與分析

例1 （2022年北京市高中數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）設(shè)a1，a2，…，a2022為2022個(gè)實(shí)數(shù)且a1+a2+…+a2022=π2，求|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|的最小值.

分析：本題為含有多個(gè)變量的最值問題，且表達(dá)式中有多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，高中學(xué)生平時(shí)較少接觸，對(duì)學(xué)生的解題能力和學(xué)科素養(yǎng)要求較高. 面對(duì)這個(gè)問題，很多學(xué)生是茫然不知所措、無從下手，因此如何分析問題、探索問題解決思路將是邏輯推理素養(yǎng)提升的關(guān)鍵.

2.“降維”思考，提出問題

華羅庚教授曾說“要善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.”對(duì)于這個(gè)難度較大的問題，為探索解題思路并獲得簡(jiǎn)便解法，我們不妨“退一步”，將變量從2022個(gè)降到兩個(gè)，進(jìn)行“降維”處理，在獲得解答之后再研究解法所用知識(shí)和過程性結(jié)論的可拓展性，通過“升維”來完成例1的解答.

問題1 已知α+β=π2，求|cosα|+|cosβ|的最小值.

解法1：（正余弦線）因?yàn)閨cosα|+|cosβ|=|cosα|+cosπ2－α=|cosα|+|sinα|，結(jié)合角α的正余弦線（如圖1），所以|cosα|+|cosβ|=|cosα|+|sinα|=|OM|+|MP|≥1，即|cosα|+|cosβ|的最小值為1，當(dāng)α=π2，β=0可以取到最小值.

解法2：（構(gòu)造函數(shù)）設(shè)α1=α+k1π，β1=β+k2π，其中k1，k2∈Z，α1，β1∈－π2，π2，則α1+β1=π2+（k1+k2）π. 所以|cosα|+|cosβ|=|cosα1|+|cosβ1|=|cosα1|+cosπ2－α1=cos|α1|+sin|α1|=2sin|α1|+π4.考察函數(shù)f（x）=2sinx+π4，其中x∈0，π2〗，知x=0或π2時(shí)，f（x）取到最小值1.所以當(dāng)α=π2，β=0時(shí)，|cosα|+|cosβ|的可以取到最小值為1.

解法3：（放縮法）因?yàn)閨sin（α+β）|=|sinαcosβ+cosαsinβ|≤|sinα||cosβ|+|cosα|.|sinβ|≤|cosα|+|cosβ|，所以|cosα|+|cosβ|≥|sin（α+β）|=1，且當(dāng)α=π2，β=0時(shí)可以取到等號(hào).即|cosα|+|cosβ|的最小值為1.

解法4：（卡拉瑪特不等式）設(shè)α1=α+k1π，β1=β+k2π，其中k1，k2∈Z，α1，β1∈－π2，π2〗，則|cosα|=|cosα1|，|cosβ|=|cosβ1|，α1+β1=π2+kπ，其中k=0或－1.不妨設(shè)α1≥β1，令c1=（1+k）π2，c2=kπ2，則c1+c2=α1+β1，c1≥c2，c1≥α1.

令f（x）=|cosx|，其中x∈－π2，π2〗，則f（x）是一個(gè)凹函數(shù)（上凸函數(shù)，如圖2），由卡拉瑪特不等式，得f（c1）+f（c2）≤f（α1）+f（β1），即|cosα1|+|cosβ1|≥1，所以|cosα|+|cosβ|≥1，且當(dāng)α=π2，β=0時(shí)可以取到等號(hào)，即|cosα|+|cosβ|的最小值為1.

3.以退為進(jìn)，探索解法

由上述解答可以看出，含有兩個(gè)變量的最值問題1可以通過“幾何意義、構(gòu)造函數(shù)、放縮法、卡拉瑪特不等式”等手段來解決. 那么，增加變量的個(gè)數(shù)后，上述的解題方法還能適用嗎？

問題2 已知a1+a2+a3=π2，求|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|的最小值.

分析問題2，會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)a1=a2=π2，a3=－π2時(shí)，|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|=0，顯然0為其最小值.因此研究問題2毫無意義.

注意到，例1中變量的個(gè)數(shù)是偶數(shù)（2022個(gè)），故將變量的個(gè)數(shù)增加到4個(gè)，提出問題3. 并思考對(duì)于問題3，問題1的解決方法還能適用嗎？

問題3 已知a1+a2+a3+a4=π2，求|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|+|cosa4|的最小值.

3.1 解法1和解法2的局限性

問題1的解法1是利用題設(shè)等式代入消參，然后運(yùn)用正余弦線來解決問題；而解法2則是利用題設(shè)等式代入消參，然后構(gòu)造函數(shù)來求解. 兩者均是通過消參，將問題1轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)變量的最值問題，顯然，這兩種方法是無法拓展遷移到“題設(shè)只有一個(gè)等式，且含有4個(gè)參變量”的問題3中.

3.2 解法3的遷移與拓展

在問題1的解法3中，得到一個(gè)結(jié)論：|cosα|+|cosβ|≥|sin（α+β）|.對(duì)于問題3，利用此結(jié)論可得|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|+|cosa4|≥|sin（a1+a2）|+|cosa3|+|cosa4|.之后有兩種思路：其一是繼續(xù)使用此結(jié)論，得到|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|+|cosa4|≥|sin（a1+a2）|+|sin（a3+a4）|，繼而類似解法3中的放縮可得到問題3的解答過程（記為*，略）；其二是想到結(jié)論的右側(cè)如果是余弦形式，那么便可反復(fù)使用這個(gè)結(jié)論來解決問題. 于是想到利用誘導(dǎo)公式來實(shí)現(xiàn)“正弦化余弦”，將解法3的結(jié)論轉(zhuǎn)化為|cosα|+|cosβ|≥cosπ2+α+β，從而得到利用放縮法解決例1和問題3的過程（兩者類似，問題3的解答略）.

例1的解法1：（放縮法） 首先，證明結(jié)論：|cosα|+|cosβ|≥cosπ2+α+β.因?yàn)閨sin（α+β）|=|sinαcosβ+cosαsinβ|≤|sinα||cosβ|+|cosα||sinβ|≤|cosα|+|cosβ|，所以|cosα|+|cosβ|≥|sin（α+β）|=cosπ2+α+β.其次，反復(fù)使用上述結(jié)論，得|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|≥cos（π2+a1+a2）+|cosa3|+…+|cosa2022|≥cos（2π2+a1+a2+a3）+|cosa4|+…+|cosa2022|≥…≥cos（2021π2+a1+a2+…+a2022）≥cos2022π2=1.故|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|的最小值為1，且當(dāng)a1=a3=…=a2021=π2，a2=a4=…=a2020=－π2，a2022=0時(shí)取到最小值.

眾所周知，“降維”處理后的問題常常是數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)，其解答過程、方法或所得結(jié)論常常是歸納遞推突破的關(guān)鍵，由此便想到運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來解決例1. 在此之中，問題1的解法3是歸納的基礎(chǔ)，而上述問題3的解答過程（*）是歸納遞推突破的關(guān)鍵.

例1的解法2：（數(shù)學(xué)歸納法） 首先，證明結(jié)論：|cosx1|+|cosx2|+…+|cosx2n|≥|sin（x1+x2+…+x2n）|.

① 當(dāng)n=1時(shí)，由|sin（x1+x2）|=|sinx1cosx2+cosx1sinx2|≤|sinx1||cosx2|+|cosx1||sinx2|≤|cosx1|+|cosx2|，得n=1時(shí)結(jié)論成立.

② 假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即|cosx1|+|cosx2|+…+|cosx2k|≥|sin（x1+x2+…+x2k）|.

當(dāng)n=k+1時(shí)，由|cosx1|+|cosx2|+…+|cosx2k+2|≥|sin（x1+x2+…+x2k）|+|sin（x2k+1+x2k+2）|≥|sin（x1+x2+…+x2k）||cos（x2k+1+x2k+2）|+|cos（x1+x2+…+x2k）||sin（x2k+1+x2k+2）|≥|sin（x1+x2+…+x2k+1+x2k+2）|，得n=k+1時(shí)結(jié)論成立.

綜上，n∈N，不等式|cosx1|+|cosx2|+…+|cosx2n|≥|sin（x1+x2+…+x2n）|成立.

其次，利用上述結(jié)論，得|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|≥|sin（a1+a2+…+a2022）|=1，因?yàn)楫?dāng)a1=a3=…=a2021=π2，a2=a4=…=a2020=－π2，a2022=0時(shí)上述等號(hào)成立，所以|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|的最小值為1.

3.3 解法4的適用性

問題1的解法4利用了卡拉瑪特不等式，此不等式又稱優(yōu)超不等式、控制不等式.

卡拉瑪特不等式 定義兩個(gè)數(shù)組A=（a1，a2，…，an），其中a1≥a2≥…≥an，B=（b1，b2，…，bn），其中b1≥b2≥…≥bn. 若a1+a2+…+an=b1+b2+…+bn且a1≥b1，a1+a2≥b1+b2，…，a1+a2+…+an－1≥b1+b2+…+bn－1，則稱數(shù)組A優(yōu)于數(shù)組B. 若數(shù)組A優(yōu)于數(shù)組B，f（x）為一個(gè)凸函數(shù)（下凸函數(shù)），則∑ni=1f（ai）≥∑ni=1f（bi）；若f（x）為一個(gè)凹函數(shù)（上凸函數(shù)），則∑ni=1f（ai）≤∑ni=1f（bi）.

根據(jù)卡拉瑪特不等式的內(nèi)容，可以看出其適用條件里數(shù)組中元的個(gè)數(shù)并無限制，故問題1的解法4對(duì)于問題3（解答略）和例1均適用.

例1的解法3：（卡拉瑪特不等式）設(shè)bi=ai+kiπ，其中ki∈Z，bi∈－π2，π2〗，i=1，2，…，2022.（若ki不唯一，則任取一個(gè)）.則|cosai|=|cosbi|，且存在整數(shù)k∈［－1011，1010］，使得b1+b2+…+b2022=（2k+1）π2.不妨設(shè)b1≥b2≥…≥b2022.令c1=c2=…=c1011+k=π2，c1012+k=0，c1013+k=c1014+k=…=c2022=－π2，則有c1≥c2≥…≥c2022，c1+c2+…+c2022=b1+b2+…+b2022.結(jié)合bi∈－π2，π2〗，可得c1≥b1，c1+c2≥b1+b2，…，c1+c2+…+cn－1≥b1+b2+…+bn－1，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=|cosx|在－π2，π2〗為凹函數(shù)（上凸函數(shù)）.所以由卡拉瑪特不等式，得f（c1）+f（c2）+…+f（cn）≤f（b1）+f（b2）+…+f（bn），即|cosb1|+|cosb2|+…+|cosbn|≥1， 所以|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|≥1.又因當(dāng)a1=a2=…=a1011=π2，a1012=a1013=…=a2021=－π2，a2022=0時(shí)上述等號(hào)成立，所以|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|的最小值為1.

4.問題延伸，加深認(rèn)識(shí)

通過對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行變式或延伸，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行抽象與概括，學(xué)會(huì)從理論的高度來分析問題、深化問題，使問題本身的意義得到拓展，有助于結(jié)構(gòu)性思維的形成. （注：結(jié)構(gòu)性思維是一種整體性、關(guān)聯(lián)性的思維.）

例1拓展 設(shè)a1，a2，…，an為n（n≥2）個(gè)實(shí)數(shù)，若a1+a2+…+an=3π4+（－1）n+1π4，求|cosa1|+|cosa2|+…+|cosan|的最小值.

拓展的解答過程與例1類似，在此略. 值得注意的是，解答過程中需要討論n的奇偶性，其中n為奇數(shù)時(shí)，類似于例1解法2的數(shù)學(xué)歸納法在此不適用.

例1變式 設(shè)a1，a2，…，an為n（n≥2）個(gè)實(shí)數(shù)，若a1+a2+…+an=π2，求|sina1|+|sina2|+…+|sinan|的最小值.

變式的解答過程與例1類似，此略.

5.結(jié)語

很多試題貌似很難，令人無從下手，實(shí)際上卻是蘊(yùn)涵著豐富的探索問題思路的理念和方法.如果能運(yùn)用“降維”思考、以退為進(jìn)等邏輯推理手段，逐步探索得到解決思路，那么這些試題便可迎刃而解.此過程有助于學(xué)生靈活使用數(shù)學(xué)知識(shí)，理解思想方法的本質(zhì)，構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的知識(shí)和思維體系，從而促使邏輯推理等學(xué)科核心素養(yǎng)的穩(wěn)步提升.正如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：“數(shù)學(xué)教師必須提升自身的‘四基’水平、提升數(shù)學(xué)專業(yè)能力，自覺養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題、用數(shù)學(xué)的思維分析和解決問題、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和交流問題的習(xí)慣.”在實(shí)際教學(xué)中，多從探索問題解決思路的角度展開教學(xué)活動(dòng)，通過不斷的積累和應(yīng)用，內(nèi)化知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，形成探索問題解決思路的自覺意識(shí)，應(yīng)對(duì)千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)問題，必將提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，使邏輯推理等核心素養(yǎng)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中落地生根.

參考文獻(xiàn)

［1］ 寧銳. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)及其教學(xué)意義［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（2）：24-29.

［2］ 中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）［M］．北京：人民教育出版社，2018，4-5.