分賭注問題的歷史、求解與應用

1.分賭注問題的歷史背景

分賭注問題又稱為分點問題或點問題. 在概率論中它是個極其著名的問題. 在歷史上它對概率論這門學科的形成和發展曾起過非常重要的作用.1654年法國有個叫德·梅耳的賭徒向法國數學家帕斯卡提出了分賭注問題. 帕斯卡為了解決這一問題，就與法國數學家費馬頻繁通信，交流這個問題［1］.

2.分賭注問題的內容

分賭注問題：甲、乙兩個賭徒下了賭注，按某種規則賭博起來，規定：甲、乙誰勝一局就得一分，且誰先得到某個確定的分數誰就贏得所有賭注. 但是在誰也沒有得到確定的分數之前，賭注因故中止了. 如果甲需再得n分才贏得所有賭注，乙需再得m分才贏得所有賭注，那么，甲、乙兩人該如何分配這些賭注？

3.分賭注問題的轉化

那么如何解決這一問題呢？即如何合理地分配這些賭注呢？帕斯卡提出了一個重要思想：賭徒分得賭注的比例應該等于從這以后繼續賭下去它們能獲勝的概率之比［2］.

甲、乙兩人獲勝的概率又應如何求呢？（實際上只需求他們中一人獲勝的概率）

首先，要作必要的假設，假設：①甲勝一局的概率為一常數p，乙勝一局的概率為1-p；②各局賭博（無論誰勝）均互不影響. 顯然這兩個假設是合理的.

其次，根據帕斯卡的思想和上述的兩個假設，可把分賭注問題歸納成如下的一般問題：

進行某種獨立重復試驗，設每次試驗成功的概率為p，失敗的概率為1-p. 問在m次失敗之前取得n次成功的概率（即甲獲勝的概率）是多少？

這問題也等價于有放回摸球問題：從裝有a個白球和b個黑球的袋中有放回摸球，求在摸到m次黑球之前摸到n次白球的概率.這里把摸到白球（概率為p=aa+b）理解為成功，摸到黑球理解為失敗（概率為1-p）.

4.分賭注問題的解

方法1：（帕斯卡的解法）為了使n次成功發生在m次失敗之前，必須且只需在前n+m-1次試驗中至少成功n次. 因為如果在前n+m-1次試驗中至少成功n次，那么，在前n+m-1次試驗中至多失敗m-1次，于是n次成功發生在m次失敗之前；另一方面，如果在前n+m-1次試驗中成功次數少于n，則在前n+m-1次試驗中失敗次數至少為m次，這樣在m次失敗之前就得不到n次成功. 由二項分布的概率公式，在前n+m-1次試驗中有k次成功的概率為Ckn+m－1pk（1－p）n+m－1－k.，故在前n+m-1次試驗中至少成功n次的概率［記為P（n，m）］為P（n，m）=∑n+m－1k=nCkn+m－1pk（1－p）n+m－1－k. （1）

方法2：（惠更斯的解法）無論n次成功發生在m次失敗之前，還是m次失敗發生在n次成功之前，試驗最多進行n+m-1次. 又n次成功發生在m次失敗之前（即甲獲勝）進行試驗的次數可能是n，n+1，n+2，…，n＋m－1. 如果n次成功發生在m次失敗之前是在第k（n≤k≤n+m-1）次試驗實現，則第k次試驗一定是成功的，且在k-1次試驗中應有n-1次成功，k-n次失敗，由二項分布的概率公式，得只需進行k次試驗的概率為

Cn-1k-1pn-1（1-p）k-np=pnCN-1K-1（1-P）k-n，k=n，n+1，…，n＋m－1.

從而n次成功發生在m次失敗之前的概率為P（n，m）=pn∑n+m－1k=nCn－1k－1（1－p）k－n. （2）

注：費馬也給出了問題的解法，有興趣的老師可參看文［2］.

5.分賭注問題的應用

例1 甲、乙進行某項比賽，甲得失一分的概率分別為0.8與0.2，且每得失1分互相獨立. 由于甲的實力比乙強得多，乙提出了如下不公平的比賽規則（否則乙將不與甲比賽）：甲在乙得2分之前得5分甲勝，乙在甲得5分之前得2分乙勝. 求甲獲勝的概率.

解：此規則的一般情形是：甲在乙得m分之前得n（n>m）分甲勝，乙在甲得n分之前得m分乙勝，此即是分賭注問題. 由（1）式知甲獲勝的概率為P（5，2）=∑6k=5Ck60.8k0.26-k=0.589824+0.262144=0.851968.

例2 甲、乙進行某項比賽，設甲得失1分的概率分別為p與q（q=1-p），且每得失1分互相獨立. 比賽規則規定：甲比乙多得n分甲勝，乙比甲多得m分乙勝. 求甲獲勝的概率.

解：設p（j）表示甲比乙多得n-j分情況下甲獲勝的概率，j=0，1，…，n+m，則顯然有p（0）=1，p（n+m）=0，且所求概率為p（n）. 由全概率公式得p（j）=pP（j-1）+qP（j+1）.（3）

下面用待定系數法解此差分方程.令P（j）=xj，由（3）式得代數方程qx2-x+p=0解之得x1=1，x2=p/q，（p≠q），故其通解為P（j）=C1+C2（p/q）j.由邊界條件p（0）=1，p（n+m）=0，可確定常數C1，C2，它們分別是C1=1-11-（p/q）n+m，C1=11-（p/q）n+m

，于是P（j）=（p/q）j－（p/q）n+m1－（p/q）n+m.當p=q時，x1=1，x2=1，通解為P（j）=A1+A2j. 由P（0）=1，P（n+m）=0得A1=1，A2=-1n+m.于是得P（j）=1－jn+m，從而，所求概率為P（n）=pn（qm-pm）qn+m-pn+m，p≠q，mn+m，p=q.

例3 甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為p（p≥12）.問：對甲而言，采用3局2勝制有利，還是采用5局3勝制有利. 設各局勝負相互獨立.

評析：例3的解析可參看文［2］.我們來看一個特例，即當p=0.6時，根據（1）式或（2）式知，采取3局2勝制甲獲勝的概率為P（2，2）二0.648；采取5局3勝制甲獲勝的概率為P（3，3）二0.68256. 由此可見，采用5局3勝制對甲有利. 這還表明：如果甲每局勝的概率p>12，則多比賽幾局對甲更有利. 易知P（n+1，n+1）（n≥0）是2n+1局n+1勝制下甲贏乙的概率.

參考文獻

［1］劉新求，張垚.探尋“賭金分配問題”的歷史解答［J］.數學通報，2008，47（10）：45-47.

［2］李鴻昌. 高考題的高數探源與初等解法［M］.合肥：中國科學技術大學出版社，2022.4.