一道雙重最值問題的賞析

九省聯考數學填空壓軸題是一道雙重最值問題，題目涉及到三個變量，約束條件較多且復雜.筆者對該題予以深入研究，分別從代數角度和幾何角度思考解法，給出兩個思路六種解法，現與讀者分享、交流，以期拋磚引玉.

1.試題的呈現與分析

題目 以maxM表示數集M中最大的數，設0<a<b<c<1，已知b≥2a，或a+b≤1，則max{b－a，c－b，1－c}的最小值為 .（2024年九省聯考14題）

這是一道典型的雙重最值問題（求若干個量的最大值的最小值或最小值的最大值），題目給了三個約束條件，一個是三個變量均在區間（0，1）內，且按照字母順序依次排列大小，另外兩個條件是變量a，b滿足兩個不同的線性約束關系，這里注意到“b≥2a”和“a+b≤1”是或的關系，所以解題時可以分別使用這兩個條件求出max{b－a，c－b，1－c}的最小值，再取兩個最小值的較小者即可.

2.試題的多角度思考與解答

思考1 記M=max{b－a，c－b，1－c}，有M≥b－a，M≥c－b，M≥1－c，注意到約束條件“b≥2a，或a+b≤1”中并沒有變量c，自然思考對“M≥c－b”和“M≥1－c”采取同系數相加處理，設（x+2y）M≥x（b－a）+y（c－b）+y（1－c），其中x，y>0，得到M≥－xa+（x－y）b+yx+2y.根據條件b≥2a，令－xx－y=2－1，得x=2y.根據a+b≤1，令－x=x－y，得y=2x.

解法1：記M=max{b－a，c－b，1－c}，有M≥b－a，M≥c－b，M≥1－c，則2M≥c－b+1－c，即b≥1－2M.

若b≥2a，則1－2M≤b=2b－b≤2b－2a≤2M，則M≥14，當且僅當b－a=c－b=1－c=14時，即a=14，b=12，c=34時，等號成立.

若a+b≤1，則1≥（a－b）+2b≥－M+2（1－2M），則M≥15，當且僅當b－a=c－b=1－c=15時，即a=25，b=35，c=45時，等號成立.

綜上，得Mmin=15，即max{b－a，c－b，1－c}的最小值為15.

解法2：記M=max{b－a，c－b，1－c}，有M≥b－a，M≥c－b，M≥1－c，則M≥12（b－a）+14（c－b）+14（1－c）≥14+14（b－2a）≥14（當且僅當a=14，b=12，c=34時，等號成立），或M≥15（b－a）+25（c－b）+25（1－c）≥25－14（a+b）≥15（當且僅當a=25，b=35，c=45時，等號成立），所以Mmin=15，即max{b－a，c－b，1－c}的最小值為15.

解法3：設b－a=p，c－b=q，1－c=r，由0<a<b<c<1，得p，q，r∈（0，1），a=1－（p+q+r），b=1－（q+r），c=1－r.由b≥2a，或a+b≤1，得2p+q+r≥1，或p+2q+2r≥1，問題轉化為求max{p，q，r}的最小值.

記M=max{p，q，r}，則4M≥2p+q+r≥1（當且僅當p=q=r=14時，等號成立），或5M≥p+2q+2r≥1（當且僅當p=q=r=15時，等號成立），所以Mmin=15，即max{b－a，c－b，1－c}的最小值為15.

解法4：假設b－a，c－b，1－c均小于15，則a+b=2－（b－a）－2（c－b）－2（1－c）>1，由b≥2a，得b－a≥a+b3>13，與假設矛盾，所以b－a，c－b，1－c中至少有一個不小于15，即max{b－a，c－b，1－c}≥15，驗證知a=25，b=35，c=45時，等號成立，所以max{b－a，c－b，1－c}的最小值為15.

思考2 根據數軸上的點與實數一一對應這一性質，如圖1，數軸上的點O，A，B，C，D分別對應實數0，a，b，c，1，不難得到b－a=AB，c－b=BC，1－c=CD，記AB=p，BC=q，CD=r，問題轉化為求三線段AB，BC，CD的長度的最大值的最小值，即求max{p，q，r}的最小值.設p+q+r=3k，若max{p，q，r}=p，則3p≥p+q+r，得p≥k；若max{p，q，r}=q，則3q≥p+q+r，得q≥k；若max{p，q，r}=r，則3r≥p+q+r，得r≥k.由此，不難發現max{p，q，r}的最小值為p=q=r=k，再根據條件“b≥2a，或a+b≤1”計算得k的最小值即可.另外，也可以分別從條件“b≥2a”，“a+b≤1”入手分析.由b≥2a，得b－a≥a，即AB≥OA，則max{AB，BC，CD}=max{OA，AB，BC，CD}≥14（OA+AB+BC+CD） =14OD=14；由a+b≤1，得2a+（b－a）≤1，即OA+OB≤OD，即OA≤BC+CD，則max{AB，BC，CD}≥15AB+25BC+25CD≥15（OA+AB+BC+CD）=15OD=15.由此，得到max{p，q，r}的最小值為15.

解法5：如圖1所示，依次用數軸上的點O，A，B，C，D表示實數0，a，b，c，1，則b－a=AB，c－b=BC，1－c=CD.問題轉化為求max{AB，BC，CD}的最小值.設AD=AB+BC+CD=3k，若max{AB，BC，CD}=AB，則3AB≥AB+BC+CD，得AB≥k；若max{AB，BC，CD}=BC，則3BC≥AB+BC+CD，得BC≥k；若max{AB，BC，CD}=CD，則3CD≥AB+BC+CD，得CD≥k.由此，不難發現max{AB，BC，CD}的最小值為AB=BC=CD=k，即b－a=c－b=1－c=k，解得a=1－3k，b=1－2k，c=1－k.

由b≥2a，得1－2k≥2（1－3k），即k≥14，當且僅當a=14，b=12，c=34時，等號成立.

由a+b≤1，得（1－3k）+（1－2k）≤1，即k≥15，當且僅當a=25，b=35，c=45時，等號成立.

綜上，得max{b－a，c－b，1－c}的最小值為15.

解法6：如圖1所示，依次用數軸上的點O，A，B，C，D表示實數0，a，b，c，1，則b－a=AB，c－b=BC，1－c=CD，問題轉化為求max{AB，BC，CD}的最小值，記M=max{AB，BC，CD}.

由b≥2a，得b－a≥a，即AB≥OA，則1=OD=OA+AB+BC+CD ≤2AB+BC+CD≤4M，得M≥14，當且僅當a=14，b=12，c=34時，等號成立.

由a+b≤1，得2a+（b－a）≤1，即OA+OB≤OD，即OA≤BC+CD，則1=OD= OA+AB+BC+CD ≤AB+2BC+2CD≤5M，得M≥15，當且僅當a=25，b=35，c=45時，等號成立.

綜上，得max{b－a，c－b，1－c}的最小值為15.

參考文獻

［1］劉海濤.落實立德樹人根本任務全面考查學科核心素養——2023年全國乙卷數學試題評析與備考建議［J］.數學通訊，2023，（23）：38-42.

［2］劉海濤，何浩成.例談極坐標換元法在二元最值問題中的應用［J］.中學數學研究（華南師大），2021（15）：22-24.