探究一道不等式恒成立壓軸小題

山東省菏澤市2024屆高三下學期一模考試第14題，是一道含有兩個參數的不等式恒成立的典型試題，該題蘊含著等價轉化的數學思想方法，本文探究其解法和同型變式.

1.試題再現

關于x的不等式xeax+bx-lnx≥1（a>0）恒成立，則ba的最小值為 .

2.解法探析

分析1：將不等式恒成立轉化最值，逆用冪和對數的運算法則變形不等式及常見不等式“ex≥1+x，當且僅當x=0等號成立”進一步變形不等式，最后根據題意x>0求解.

解法1：因為不等式xeax+bx-lnx≥1恒成立，即不等式xeax+bx-lnx-1≥0恒成立，所以elnx·eax+bx-lnx-1≥0恒成立，所以elnx+ax+bx-lnx-1≥0恒成立，于是（elnx+ax+bx-lnx-1）min≥0.因為elnx+ax+bx-lnx-1≥1+lnx+ax+bx-lnx-1=ax+bx=（a+b）x≥0，當且僅當lnx+ax=0時等號成立.因為x>0，因此只需a+b≥0，所以ba≥-1.故ba的最小值為-1.

點評：上述的解題思路是“最值法”，結合運用指數冪、對數的運算法則及二級結論不等式求解的，很好反映了化歸轉化思想的應用.

分析2：逆用冪和對數的運算法則變形不等式，配湊并運用常見不等式“ex≥1+x，當且僅當x=0等號成立”，最后運用“臨界值”思想求解.

解法2：因為不等式xeax+bx-lnx≥1恒成立，所以elnx+ax+bx-lnx-1≥0恒成立，所以elnx+ax-（lnx+ax）≥1-ax-bx=1-（a+b）x.由于elnx+ax≥1+（lnx+ax），當且僅當lnx+ax=0時等號成立，所以elnx+ax-（lnx+ax）≥1.

令1≥1-（a+b）x，所以（a+b）x≥0，因為x>0，因此只需a+b≥0，所以ba≥-1.若a+b<0，則由lnx+ax=0的解為x=x0，即lnx0+ax0=0，此時對于elnx+ax-（lnx+ax）≥1-（a+b）x而言，左邊=1，右邊>1矛盾，舍去，所以ba≥-1.故ba的最小值為-1.

點評：上述解法從臨界值的角度思考問題，數學抽象素養要求較高.

分析3：變形不等式，分離、配湊得到ba的不等表達式，然后構造函數轉化證明不等式，進行二次構造函數后，利用導數工具和“隱零點”求解.

解法3：因為不等式xeax+bx-lnx≥1恒成立，所以bx≥1+lnx-xeax恒成立.

因為x>0，a>0，所以ba≥1+lnx-xeaxax恒成立.

令g（x）=1+lnx-xeaxax（x>0），取x0滿足x0eax0=1，則lnx0+ax0=0，即lnx0=ax0，代入φ（x），得g（x）=1=lnx0-x0eax0ax0=-1.

以下證明g（x）≤-1，即證明1+lnx-xeax+ax≤0.

令h（x）=1+lnx-xeax+ax，則h（x）=1x-（eax+axeax）+a=1x-（1+ax）eax+a=1+axx（1-xeax）.令h（x）=1+axx（1-xeax）=0，由于x>0，a>0，所以1-xeax=0，所以xeax=1，所以x=x0.當0<x<x0時，h（x）<0，當x>x0時，h（x）>0，所以h（x）在（0，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）單調遞增.所以當x=x0時，h（x）取得最大值，且最大值為h（x0）=0，此時g（x）有最大值g（x0）=-1. 故ba的最小值為-1.

點評：上述解法在將不等式變形的基礎上，分離、配湊出關于ba的不等式，通過構造函數挖掘出“隱零點”，進而二次構造函數利用導數求解的.

3.同型變式

變式1 （2024屆河南省鄭州市二模14）已知不等式ex-1a+1-2ax≥b對任意的實數x恒成立，則ba的最大值為 .

解析：不等式ex-1a+1-2ax≥b對任意的實數x恒成立.令f（x）=ex-1a+1-2ax，則f′（x）=ex-1a+1-2a.當a<0時，f′（x）>0，f（x）在（-∞，+∞）遞增，f（x）可取任意實數，不合題意.

當a>0時，由f′（x）=0，得x=1a-1+ln2a，當x<1a-1+ln2a時，f′（x）<0，當x>1a-1+ln2a時，f′（x）>0，所以f′（x）在（-∞，1a-1+ln2a）上單調遞減，在（1a-1+ln2a，+∞）單調遞增.所以當x=1a-1+ln2a時，f（x）取得最小值，且最小值為f（1a-1+ln2a）=e1a-1+ln2a-1a+1-2a（1a-1+ln2a）=4a-2-2aln2a，所以b≤4a-2-2aln2a，所以ba≤4-2a-2ln2a.令g（a）=4-2a-2ln2a=4-2a-2ln2-2lna，則g（a）=2a2-2a=2-2aa2.令g（a）=0，得a=1.當0<a<1時，g（a）>0，當a>1時，g（a）<0，所以g（a）在（0，1）上遞，在（1，+∞）上遞減.所以當a=1時，g（a）取得最大值，且最大值為2-2ln2.故ba的最大值為2-2ln2.

變式2 若關于x的不等式aex-alnbx+（a-b）x-lna≥0在x∈0，2上恒成立，則ba的最大值為 .

解析：由aex-alnbx+（a-b）x-lna≥0，得ex+x≥lnbax+bax，即ex+x≥elnbax+lnbax，令ba=t，則ex+x≥elntx+lntx.

記f（x）=ex+x，則f'（x）=ex+1>0恒成立，所以f（x）在R上單調遞增，所以ex+x≥elntx+lntx等價于x≥lntx在x∈0，2上恒成立，即等價于0<t≤exx在x∈0，2上恒成立.記g（x）=exx，x∈0，2，則g（x）=ex（x-1）x2.令g（x）=0，解得x=1.當0<x<1時，g（x）<0，當x>1時，g（x）>0，所以g（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增.所以當x=1時，g（x）取得最小值，且最小值為e，所以0<t≤e.故ba的最大值為e.