關于三角形中線長的一個不等式

文［1］給出了一個涉及三角形三邊長的恒等式：

設△ABC的三邊長為a，b，c，三個內角為A，B，C，r，R分別為內切圓和外接圓半徑，求證：

b+c2bccosA+c+a2cacosB+a+b2abcosC=5+2rR ①

本文首先給出①式的一個證明，在此基礎上得到一個關于中線長的不等式.

證明：令l=a2+b2+c2，則

b2+c2bccosA+c2+a2cacosB+a2+b2abcosC=∑cycb2+c2bc·b2+c2－a22bc=∑cycl－a2l－2a22b2c2

=∑cyca2l2－3a2l+2a42a2b2c2

=a2+b2+c23－3a2+b2+c2a4+b4+c4+2a6+b6+c62a2b2c2

=∑cyca6+3∑cyca2b2a2+b2+6a2b2c2－3∑cyca6－3∑cyca2b2a2+b2+2∑cyca62a2b2c2=3.

又因為∑cyccosA=1+rR，所以

b+c2bccosA+c+a2cacosB+a+b2abcosC=∑cycb2+c2+2bcbccosA=∑cycb2+c22bccosA+2∑cosA

=3+21+rR=5+2rR.

推論 在△ABC中，有∑cycb2+c2bccosA=3.②

下面給出一個三角形中線長不等式.

命題 在△ABC中，有

54-r22R2≤∑ma 2bccosA≤218-3rR.③

引理1 在△ABC中，有∑a2=2（s2－4Rr－r2）;∑bc=s2+4Rr+r2;abc=4Rrs.

引理2 在△ABC中，有∑a2cosAbc=s2－4Rr－r2R2－3 ④.

證明：由引理1有

∑a2cosAbc=∑a2bc·b2+c2－a22bc

=∑a4b2+c2－a22a2b2c2=∑a4b2+c2－∑a62a2b2c2

=∑a4b2+c2－∑a2∑a4－∑b2c2－3a2b2c22a2b2c2

=∑a2b2a2+b2－∑a2∑a4－∑b2c2－3a2b2c22a2b2c2

=∑a2∑b2c2－∑a2∑a4－∑b2c2－6a2b2c22a2b2c2

=∑a22∑b2c2－∑a4－6a2b2c22a2b2c2

=∑a24∑b2c2－∑a22〗－6a2b2c22a2b2c2

=∑a24∑bc2－8abc∑a－∑a22〗－6a2b2c22a2b2c2

=∑a24∑bc2－8abc∑a－∑a22〗2a2b2c2－3

=∑a24s2+4Rr+r22－64Rrs2－4s2－4Rr－r22〗32R2r2s2－3

=∑a24s24Rr+r2－16Rrs2〗8R2r2s2－3

=∑a22R2－3=s2－4Rr－r2R2－3.

命題的證明：由②④兩式，結合三角形中線長公式，知

∑ma 2bccosA = ∑142b2 + 2c2-a2bccosA

=12∑b2+c2bccosA－14∑a2cosAbc

=32－14s2－4Rr－r2R2－3=94－s2－4Rr－r24R2.

由Gerretsen不等式16Rr－5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2，知∑ma 2bccosA = 94-s2-4Rr-r24R2≤94-16Rr-5r2-4Rr-r24R2=94－12Rr－6r24R2=94－3rR+3r22R2

≤94－3rR+38=218－3rR;∑ma 2bccosA = 94-s2-4Rr-r24R2≥94-4R2 + 4Rr + 3r2-4Rr-r24R2=94－4R2+2r24R2=94－1－r22R2=54－r22R2.

所以54-r22R2≤∑ma 2bccosA≤218-3rR.

參考文獻

［1］ Nguyen Viet Hung. BONUS PROBLEMS.B129.Crux Mathematicorum， Vol.49（7）， September 2023.