對一類圓錐曲線相交弦中點問題的探究

一、試題呈現與解析

題目 已知點A－2，0，B2，0，動點P滿足直線PA與PB的斜率之積為－34，記動點P的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過點F1，0與曲線E相交的兩條線段AB和CD相互垂直（斜率存在，且A，B，C，D在曲線E上），M，N分別是AB和CD的中點，求證：直線MN過定點.（江西省上饒市2024屆高三一模第21題）

解析：（1）設Px，y，由題意得kPA·kPB=yx+2·yx－2=－34，整理得x24+y23=1x≠±2.

（2）設直線AB方程為y=kx－1，Ax1，y1，Bx2，y2，聯立y=kx－1，

3x2+4y2=12，

得4k2+3x2－8k2x+4k2－12=0，由韋達定理得x1+x2=8k24k2+3，所以xM=x1+x22=4k24k2+3，

yM=kxM－1=－3k4k2+3，得M4k24k2+3，－3k4k2+3，同理N43k2+4，3k3k2+4.由對稱性可知直線MN定點在x軸上，不妨記為Tt，0.因為M，T，N三點共線，所以MT∥NT，所以t=xNyM－xMyNyM－yN=47，直線MN過定點47，0.

我們發現xM=4k24k2+3，yM=－3k4k2+3，消去k可得3x2M+4y2M－3xM=0，所以點M的軌跡方程為3x2+4y2－3x=0，不難發現點F，N也在曲線3x2+4y2－3x=0上.如果我們把橢圓方程一般化，F1，0改為定點Px0，y0，kAB·kCD=－1改為kAB·kCD=λ或kAB+kCD=λ（λ為常數），還能得到類似的結論嗎？

二、試題推廣

結論1 過定點Px0，y0作與橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0相交的兩條線段AB和CD

（斜率存在，且A，B，C，D在曲線E上），M，N分別是AB和CD的中點.若kAB+kCD=λλ≠0，

則直線MN恒過定點x0－y0λ，－b2x0a2λ，若kAB·kCD=λλ≠b2a2，則直線MN恒過定點a2λx0a2λ－b2，－b2y0a2λ－b2.

證明：當直線AB斜率不存在時，Mx0，0.當直線AB斜率存在時，設直線AB方程為y=kx－x0+y0，Ax1，y1，Bx2，y2，聯立y=kx－x0+y0，

b2x2+a2y2=a2b2， 得a2k2+b2x2+2a2ky0－2a2k2x0x+a2k2x20－2a2kx0y0+a2y20－a2b2=0，由韋達定理得x1+x2=2a2kkx0－y0a2k2+b2，所以xM=a2kkx0－y0a2k2+b2，yM=－b2kx0－y0a2k2+b2，消去k可得b2x2M+a2y2M=b2x0xM+a2y0yM，所以點M的軌跡方程為b2x2+a2y2=b2x0x+a2y0y，不難發現點P，N也在曲線b2x2+a2y2=b2x0x+a2y0y上.

設直線MN方程為mx－x0+ny－y0=1，對b2x2+a2y2=b2x0x+a2y0y變形b2［x－x0+x0］2+a2［y－y0+y0］2=b2x0［x－x0+x0］+a2y0［y－y0+y0］，化簡整理得a2y－y02+b2x0x－x0+a2y0y－y0+b2x－x02=0，齊次化后得a2y－y02+［b2x0x－x0+a2y0（y－y0）］［mx－x0+ny－y0］+b2（x－x0）2=0，兩邊同除x－x02整理得（a2+a2ny0）y－y0x－x02+（b2nx0+a2my0）y－y0x－x0+b2mx0+b2=0，記k=y－y0x－x0，所以a2+a2ny0k2+（b2nx0+a2my0）k+b2mx0+b2=0，不難發現方程兩根為kAB，kCD，由韋達定理得kAB+kCD=－b2nx0+a2my0a2+a2ny0，kAB·kCD=b2mx0+b2a2+a2ny0.當kAB+kCD=λλ≠0時，即－b2nx0+a2my0a2+a2ny0=λ，整理得－y0λm－b2x0+a2λy0a2λn=1，所以直線MN過定點x0－y0λ，－b2x0a2λ.當kAB·kCD=λλ≠b2a2時，即b2mx0+b2a2+a2ny0=λ，整理得b2x0a2λ－b2m－a2λy0a2λ－b2n=1，所以直線MN過定點a2λx0a2λ－b2，－b2y0a2λ－b2.

如果把橢圓換成雙曲線或拋物線，還會有類似的結論嗎？

結論2 過定點Px0，y0作與拋物線E：y2=2pxp>0相交的兩條線段AB和CD（斜率存在，且A，B，C，D在曲線E上），M，N分別是AB和CD的中點.若kAB+kCD=λλ≠0，則直線MN恒過定點x0－y0λ，pλ，若kAB·kCD=λλ≠0，則直線MN恒過定點x0－pλ，0.

證明：當直線AB斜率不存在時，Mx0，0.當直線AB斜率存在時，設直線AB方程為

y=k（x－x0）+y0，聯立y=kx－x0+y0，

y2=2px， 得

k2x2+（2ky0－2k2x0－2p）x+k2x20－2kx0y0+y20=0，

所以xM=k2x0+p－ky0k2，yM=pk，消去k后得y2M=y0yM+pxM－x0，所以點M的軌跡方程為y2=y0y+px－x0，不難發現點P，N也在曲線y2=y0y+px－x0上.

設直線MN方程為mx－x0+ny－y0=1，對y2=y0y+px－x0變形y－y0+y0〗2=y0y－y0+y0〗+px－x0，化簡整理得y－y02+y0y－y0－px－x0=0，對其齊次化y－y02+［y0y－y0－px－x0］［mx－x0+ny－y0］=0，兩邊同除x－x02整理得1+ny0y－y0x－x02+my0－pny－y0x－x0－pm=0，記k=y－y0x－x0，所以1+ny0k2+my0－pnk－pm=0，由韋達定理可知kAB+kCD=pn－my01+ny0，kAB·kCD=－pm1+ny0.當kAB+kCD=λλ≠0時，即pn－my01+ny0=λ，整理得－y0λm+pλ－y0n=1，所以直線MN過定點x0－y0λ，pλ.當kAB·kCD=λλ≠0時，即－pm1+ny0=λ，整理得－pλm－y0n=1，所以直線MN過定點x0－pλ，0.

結論3 過定點Px0，y0作與雙曲線E：x2a2－y2b2=1a>0，b>0相交的兩條線段AB和CD（斜率存在，且A，B，C，D在曲線E上），M，N分別是AB和CD的中點.若

kAB+kCD=λλ≠0，則直線恒過定點x0－y0λ，b2x0a2λ，若kAB·kCD=λλ≠b2a2，則直線MN恒過定點a2λx0a2λ+b2，b2y0a2λ+b2.