一道解析幾何模考題的推廣研究

1.問題的提出

典例 已知橢圓C：x26+y2b=1（b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，C是橢圓的中心，點M為橢圓C上的一點，且滿足MF1·MF2=5，MC=2.

⑴求橢圓C的方程；

⑵設定點Tt，0，過點T的直線l交橢圓C于P，Q兩點，若在橢圓C上存在一點A，使得直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為定值，求實數t的取值范圍.

上述題目來自于長郡中學2024屆高三年級第二次月考試卷壓軸題，筆者將其作為所帶高三年級培優班的練習題讓學生課下思考，反饋結果不容樂觀，很多學生雖然理清題目的思路，但是由于解答過程中所含變量過多，無法進行必要的化簡整理. 教學過程中發現，很多優秀的學生并不是計算環節不熟練，而是運算目標不明確，導致其毫無章法地盲目進行機械運算. 鑒于此，本文在將上述典例進行推廣的過程中通過引入更多的參數，從更一般的角度探討關于數學運算的問題，旨在數學運算的培養與實施層面與讀者進行交流探討.

2.推廣與論證

推廣1 已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），設定點Tt，0，過點T的直線l交橢圓E于P，Q兩點，若在橢圓E上存在一點A，使得直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為定值λ，則t的取值范圍是－∞，－a∪a，+∞，點A的坐標為a2t，±b1－a2t2，定值λ=2y0x0－t，其中x0=a2t，y0=±b1－a2t2.

證明：設Ax0，y0，Px1，y1，Qx2，y2，直線l的方程為x=my+t.由x2a2+y2b2=1，

x=my+t， 可得a2+b2m2y2+2mtb2y+b2t2－a2=0，故y1+y2=－2mtb2a2+b2m2，y1y2=b2t2－a2a2+b2m2，x1+x2=2ta2a2+b2m2，x1x2=a2t2－b2m2a2+b2m2，則kAP+kAQ=y1－y0x1－x0+y2－y0x2－x0=2y0－y1+y2〗x0－x1+x2y0－y1+y2t－2my1y2〗x20－x1+x2x0+x1x2=2x0y0b2m2+2x0t－a2b2m+2y0a2x0－tx20－a2b2m2+a2x0－t2.

若直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為定值，則滿足下式：2x0t－a2b2=0，

2x0y0b2x20－a2b2=2y0a2x0－ta2x0－t2=2y0x0－t， 據題意，由x0∈－a，a，可得t∈－∞，－a∪a，+∞，點A的坐標為a2t，±b1－a2t2，定值λ=2y0x0－t，其中x0=a2t，y0=±b1－a2t2.

評注：結合典例可以看到，條件中只有a，b是已知量，而論證過程中除已有變量外，又引入了Ax0，y0，Px1，y1，Qx2，y2，以及直線l方程中的參數m等變量，那么在計算的過程中該如何處理這些變量？期望得到什么樣的化簡結果？又該如何化簡？注意到，假設定點T確定了，那么直線會隨著m的變化而變化，進而會影響P，Q兩點的變化，因此，在計算的過程中，我們可以僅把參數m當做變元，其余的量均看作常數進行變形整理，也就是轉化為以參數m為主元的表達式，這樣化簡整理的方向就明確了，雖然計算環節略微復雜，但是目標明確，變形整理也就更有針對性. 實際教學過程中，筆者也做了測試，借助共同探究使學生明晰運算的方向后，他們能進行合理運算也就是水到渠成的事了.

推廣2 已知雙曲線E：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），設定點Tt，0，過點T的直線l交雙曲線E于P，Q兩點，若在雙曲線E上存在一點A，使得直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為定值λ，則t的取值范圍是t∈－a，0∪0，a，點A的坐標為a2t，±ba2t2－1，定值λ=2y0x0－t，其中x0=a2t，y0=±ba2t2－1.

推廣3 已知拋物線E：y2=2px（p>0），設定點Tt，0，過點T的直線l交拋物線E于P，Q兩點，若在拋物線E上存在一點A，使得直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為定值λ，則t的取值范圍是－∞，0，點A的坐標為－t，±－2pt，定值λ=2y0x0－t，其中x0=－t，y0=±－2pt.

上述推廣證明類同推廣1，此略.

推廣4 過圓錐曲線Ax2+By2=1上一點Px0，y0作直線PM，PN分別交曲線于M，N兩點，若直線PM的斜率與直線PN的斜率之積為定值λ，則直線MN過定點QA+BλBλ－Ax0，－A+BλBλ－Ay0. 特別地，若λ=－AB，定點Q為坐標原點，此時M，N兩點關于原點對稱.

證明：令Mx1，y1，Nx2，y2，則直線PM的斜率kPM=y1－y0x1－x0，直線PN的斜率kPN=y2－y0x2－x0. 令x′=x－x0，

y′=y－y0， 則kPM = y1 x1 ，kPN = y2 x2 ，圓錐曲線的方程即為Ax′+x02+By′+y02=1，整理可得Ax′2+By′2+2Ax0x′+By0y′=0，設直線MN的方程為mx′+ny′=1，則Ax′2+By′2+2Ax0x′+By0y′·mx′+ny′=0，整理可得B+2By0n·y′x′2+2Ax0n+By0m·y′x′+A+2Ax0m=0. 由kPM·kPN=λ，可知A+2Ax0mB+2By0n=λ，整理可得2Ax0m－2By0nλ=Bλ－A，據題意Bλ－A≠0，由此可知2Ax0Bλ－Am－2By0λBλ－An=1.由x = x' + x0 = 2Ax0 Bλ-A + x0 = A + BλBλ-Ax0 ，y = y' + y0 = -2By0 λBλ-A + y0 = -A + BλBλ-Ay0 ，可得直線MN過定點A+BλBλ－Ax0，－A+BλBλ－Ay0.特別地，當λ=－AB時，等式2Ax0m－2By0nλ=Bλ－A即為mx0+ny0=－1，則直線MN過定點0，0.

評注：上面給出的論證方法不同于傳統的解答，通過構造經過M，N兩點的曲線系，結合齊次化整理，得到以兩直線斜率為根的二次方程，進而得到定點坐標. 這種計算方法的優點是能簡化運算，缺點是思維量較大，需要較多知識模塊的融合. 教學過程中引入多角度解決問題的目的是能夠幫助學生開拓思路，熟悉各種運算的優缺點及適用條件，為運算能力的提升打下堅實的基礎.

類似地，我們也可以將上述結論推廣至拋物線.

推廣5 過拋物線y2=2px（p>0）上一點Ax0，y0作直線AM，AN分別交拋物線于M，N兩點，若直線AM的斜率與直線AN的斜率之積為定值λ，則直線MN過定點x0－2pλ，－y0.

3.教學思考

解析幾何問題求解需更高的數學運算能力，在培養學生的數學運算能力的過程中，要兼顧算理和算法，知其然也要知其所以然，同時，在做算法層面的教學時，盡可能挖掘多樣化的算法，以培養學生的數學運算與數學思維的發散性與靈活性，在學生得到多樣化算法的基礎上，需引導他們進一步分析算法之間的區別與聯系，并進行適當的優化. 運算能力的提升也是一個緩慢的過程，需要教師在日常教學過程中慢慢引導與培育.