一道橢圓試題中的定值問題及推廣

在一道高三聯考橢圓面積題目進行解答過程中，筆者發現其定值結論，對定值結論進行更一般化的推廣，并把結論進行推廣到雙曲線中.

1.題目呈現及求解

題目（2023年12月重慶巴蜀中學高三聯考）已知點P（x0，y0）是橢圓E：y2a2+x2b2=1（a>b>0）上的動點，離心率e=32，設橢圓的左右焦點為F1，F2，且|PF1|+|PF2|=4.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）若直線PF1、PF2與橢圓E的另一個交點分別為A、B，問ΔPAB的面積是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，請說出理由.

第（1）問考查橢圓方程，屬于基礎知識，其答案為x24+y2=1.第（2）問涉及三角形面積的表示及其轉化為函數最值問題，得分率較低，屬于難題.

解：因SΔPABSΔPF1F2=12|PA||PB|sin∠APB12|PF1||PF2|sin∠APB=|PA||PB||PF1||PF2|，設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），則有SΔPAB=|PA||PB||PF1||PF2|SΔPF1F2=y0－y1y0y0－y2y0c|y0|，因此SΔPAB=（1－y1y0）（1－y2y0）c|y0|.下面把y1y0，y2y0用P的坐標表示.設PA： x=my－3，聯立PA與橢圓有（m2+4）y2－23my－1=0.則y0+y1=23mm2+4，，y0y1=－1m2+4.又因為x0=my0－3，所以y0+y1y0y1=－23m=－23x0+3y0，所以y0+y1y1=－23x0－6，即有y0y1=－23x0－7 .同理有y0y2=23x0－7.由橢圓的對稱性，設y0>0，則y0∈（0，1］. 所以SΔPAB=（1－y1y0）（1－y2y0）cy0=（1+123x0+7）（1－123x0－7）×3y0=3y0x20－163x20－4912=3y04－4y20－1634－4x20－4912=3y0（y20+13）y20+148.

令f（x）=3x（x2+13）x2+148（x∈（0，1］）.猜想f（x）≤f（1），即3x（x2+13）x2+148≤64349成立，即證明3x3+x48x2+1≤449，即證明147x3－192x2+49x－4≤0，即證明（x－1）（147x2－45x+4）≤0，又147x2－45x+4<0恒成立，所以在x∈（0，1］時（x－1）（147x2－45x+4）≤0恒成立，且在x=1時取等，即P在上頂點時， ΔPAB面積存在最大值為64349.

此題第1步是把ΔPAB的面積轉化ΔPF1F2.第2步把y1y0，y2y0轉化為x0，y0的形式.第3步是求f（x）的最值問題，直接求導難度大，不易計算，此處數形結合，判斷最大值在頂點取到，并可證明.

2.提出問題及探究

此題解答過程中，不難發現有y0y1+y0y2=－23x0－7+23x0－7=－14.又PF1F1A=|y0y1|，PF2F2B=|y0y2|，所以PF1F1A+PF2F2B=14.

在任意橢圓中，當直線AP，BP過焦點，長度比值和PF1F1A+PF2F2B為定值嗎？

在任意橢圓中，當直線AP，BP過x軸上對稱的兩點T1，T2，此刻PT1T1A+PT2T2B為定值嗎？

在雙曲線中也有此類定值嗎？

定值問題是命題和研究的熱點，文獻［1-3］等有諸多相關研究.基于此，帶著這些問題，本文作了思考，并有下文結論.

結論1 點P是橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的動點，T1（－t，0），T2（t，0）（t>0，t≠a）是x軸兩點，若PT1、PT2與橢圓的另一個交點分別為A，B，則有PT1T1A+PT2T2B=2a2+t2|a2－t2|.

證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由橢圓的對稱性，設y0>0，則PT1T1A+PT2T2B=y0|y1|+y0|y2|.

由P、F1、A共線有x0y1－x1y0=t（y0－y1） ⑴，又x0y1+x1y0=x20y21－x21y20x0y1－x1y0，由⑻式和P、A在橢圓上有x0y1+x1y0=x20y21－x21y20x0y1－x1y0=（a2－a2b2y20）y21－（a2－a2b2y21）y20t（y0－y1）=－a2t（y1+y0） ，即有x0y1+x1y0=－a2t（y1+y0）⑵.

式子⑴⑵相加有2x0y1=（－t－a2t）y1+（t－a2t）y0，所以y0y1=2tx0+a2+t2t2－a2.同理y0y2=－2tx0+a2+t2t2－a2. 所以PT1T1A+PT2T2B=y0|y1|+y0|y2|=2tx0+a2+t2|t2－a2|+－2tx0+a2+t2|t2－a2|=2（a2+t2）|t2－a2|.

本文例題背景即t=c，有如下推論.

結論2 點P是橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的動點，F1，F2是其左右焦點，若PF1、PF2與橢圓的另一個交點分別為A，B，則有PF1F1A+PF2F2B=2（a2+c2）a2－c2.

3.橫向類比

類比到雙曲線中有以下結論.

結論3 點P是雙曲線E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）一支上的動點，T1（－t，0），T2（t，0）（t>0，t≠a）是x軸兩點，若PF1、PF2與雙曲線的另一支交點為A，B，則有PF1F1A+PF2F2B=2a2+t2|a2－t2|.

結論4 點P是雙曲線E：x2a2－y2b2=1（a>b>0）一支上的動點，F1，F2是其左右焦點，若PF1、PF2與雙曲線的另一支交點為A，B，則有PF1F1A+PF2F2B=2（a2+c2）c2－a2.

參考文獻

［1］王寅，李兆慶，陶閨秀.新舊課標下高考圓錐曲線定點定值問題探究——以近5年全國卷試題為例［J］.數學教學研究，2022，41（06）：60-64.

［2］高繼浩.探究圓錐曲線中一類坐標和為定值性質［J］.中學數學研究（華南師大），2023（11）：6-7.

［3］胡芳舉.橢圓內接三角形的幾個斜率定值［J］.中學數學研究（江西師大），2023（11）：40-41.